1、 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点. C.F.Guass 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. R.C.Buck 1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:一质量为m的质点，在重力作用下从定点A沿曲线下滑到定点B，AB试确定一条曲线，使得质点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力和其他阻力等因素.问题导致数学新分支的产生.问 题近似方法如图建立坐标系,设A为原点,
2、B为(c,H),将带状区域0 y H用平行于x 轴的直线y=yk=kH/nABxycyk-1xk-1ykxk把这区域分成n个带状小区域在带状域yk-1yyk ,可近似认为kkgyv2221)()(iiiyxx而曲线段近似认为是直线段,其长度于是质点从A到B所需时间近似为niiiiivyxxT121)(n -1元函数!)求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解(为简单计,取g =1000cm/s2)In1:=Out1:=In3:=In4:= Graphics12345246810一个辅助结论设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点OC=x 那么
3、质点由A1到A2需时间22122)(vxcvaxtA1A2a1a2ClOD如图，若A1,A2到l 的垂足分上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？别为O,D, A1,A2 到l的距离分别为a, b, OD =c, 质点经过l于C何时越过l ？2222)(bxcvxcaxux2222)(bxcvxcaxuxdxdtA1A2a1a2ClOD惟一驻点满足也即2211sinsinvv这就是光学中的Snell折射定律建立数学模型分析；如图建坐标系，AB 分割成小段, 考虑在第kABxycak+1ak层与k+1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知1
4、1sinsinkkkkvv由于上式对任何k成立，（常数）1sinCvkk故导出若用与x 轴平行的直线将ABxyca令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点（常数）1sinCvgyv2211sin,cotyy其中a为该点切线与铅垂线的夹角由于其中y=y(x)为曲线函数，又因于是得到最速降线的方程：22)1 (1CyyCyy)1 (2), 0 (),(cxxyygyv2另一种方法变分法ABxyc设曲线为满足 y(0)=0, y(c)=H在曲线上P(x,y）处质点速度为又设从A到P的弧长为s,则gydxydtdtdxydtdsv21122从而质点沿曲线由A到B需时间dxyygyTTc0212
5、1)(设集合)(, 0)0(, , 0)(1HcyycCyxyE,Ey)(min) (yTyTEy那么我们的问题成为求某个使得引进集合0)(, 0)0(, , 0)(10ccCxE显然若)( xy是最速曲线函数,则0,)()( E,ExxyR于是函数)()(yTF在0取得最小值故得00ddFdxyyfFc0),()()0(F为了计算,记yygyyf2121),(那么对dxyyfyyfFcyy),(),()(0 dxyyfyyfFycy), (), ()0(0依复合函数求导法注意第二项dxyyfdxdyyfdxyyfcycycy000), (), (), (于是导出00, 0), (), (Ed
6、xyyfdxdyyfycy由于的任意性,得到0), (), (yyfyyfdxdyy)1 (21121),(22yyygfyygyyfy上式乘以0), (), (yyfyyfydxdyy 可化为1),(),(Cyyfyyfyy这里代入方程且化简,得到也就是说y 满足方程Cyy)1 (2解方程Cyy)1 (2令 y = cott , 那么由方程导出tCyCty22sincsc又因tdtCdxtdxtdttCdxydy2sin2cotcossin2从而1)2sin21(CttCx由x=0时,y=0,且注意2, 0t, 故C2 = 0, 于是令)cos1 (),sin(RyRx由 x=c,y=H 得
7、到t 2)cos1 ()sin(cH求出根再确定 R0(旋轮线)下降所需时间2222)()(yxdydxds计算弧微分)cos1 (2sin)cos1 (2222RdRR从而下降时间STgydRvdsdtT00002)cos1 (2000gRdgRT实验任务1. 给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和)0后得到曲线和时间,将两种结果比较.2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面的面积最小3. 伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动周期与振幅无关, 试分析情况是否如此?线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所4. 如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从需时间精品课件精品课件！精品课件精品课件！5. 圆柱面方程为)0(122yzx用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得AB弧长最短的曲线(短程线)
