1、高三数学 第1页（共 6 页） 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （一） 数学（参考答案） 2022.03 一、选择题：一、选择题： 1C 2B 3D 4B 5A 6D 7C 8D 二、二、选择选择题：题： 9BCD 10AD 11BC 12AB 三、填空题填空题： 132 141(02 ， 15 2 2 ，52 1632 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 解：10 25sinsinsin93BCA+=，由正弦定理sinsinsinABC
2、aac=， 可得553bca+=以下如所示以下如所示 因为10coscos9BC+=，由余弦定理得22222210229acbabcacab+=， 所以22222220()()9b acbc abcabc+=， 所以22220()(2)9bc abcbcabc+=，其中2222cosabcbcA= ， 所以10()(1cos )9bcAa+= 4 分 若 A 为锐角，则281cos1sin193AA=，则5bc+= 由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc+= =， 所以6bc =，又5bc+=，解得23bc= =，或32bc= =， 所以ABC的面积为112 2si
3、n62 2223bcA= = 8 分 高三数学 第2页（共 6 页） 若 A 为钝角，则281cos1sin193AA= = = ，则532bca+=，舍去 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 因为5bc+=，由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc+= = 3 分 若 A 为锐角，则281cos1sin193AA=，则8113bc =， 所以6bc =，又5bc+=，解得23bc= =，或32bc= =， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA= = 7 分 若 A 为钝角，则281cos1sin193AA= = = ，则8113bc = ，
4、所以12bc =，又5bc+=，无解，舍去 9 分 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 18（12 分） 解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件， 由题意得，11623pp + + =，解得1p = 所以甲在每个项目中通过的概率都为12623p+= 2 分 设事件 A 为甲能进入到数学建模社团， 因为甲在每个项目中通过的概率都为23，且在每个项目中的成绩均相互独立， 所以( )222833327p A = 答：甲能进入到数学建模社团的概率为827 5 分 （3）X 的可能取值为 0，1，2，3 6 分 ()103P X =；()2121339P X =； ()2214233
5、327P X =；()2228333327P X = 高三数学 第3页（共 6 页） 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 13 29 427 827 10 分 所以 X 的数学期望 E(X)124838012339272727+ + = 12 分 19. （12 分） 解：（1）1111(1)1nnaan nnn+= =+ 1 分 当2n时，211121aa=，321132aa=，1111nnaann=， 相加得1111naan=，所以1nan= 3 分 当1n =时，11a =也符合上式，所以数列 na的通项公式1nan= 5 分 （2）由（1）得221nan=， 所以22211
6、11111111()()42222nannnnnn=+ 8 分 所以222111111111111112222222211112nSnnn+=+， 4111122112nnn=+ 所以421nnSn+ 12 分 20（12 分） 解：（1）当12t =时，11112C EBDtBCC B= =，即点 D，E 分别为 BC，11BC的中点， 在直三棱柱111ABCABC中，11AABB，11AABB=，平面11BBC C为平行四边形， 连接 DE，则1DEBB，1DEBB=，所以1DEAA，1DEAA=， 所以四边形1DEAA是平行四边形，所以1ADAE 3 分 高三数学 第4页（共 6 页）
7、又因为AD 平面1AEB，1AE 平面1AEB， 所以AD平面1AEB 5 分 （2）方法一：方法一：在平面 ABC 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结1C H，则 1C HC为二面角1CADC的平面角，即13C HC=， 在直角三角形1C HC中，13C C =，所以3CH = 在直角三角形CHA中，3CH =，3AC =， 所以32sin32CHCAHAC=，又因为CAH为锐角， 所以6cos3CAH=且04CAH ， 所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 CDA中，62 3sinsin()46CDHCAH+=+=，63 2sinCHCDCDH=，所以3 2(63 2
8、)223 2BDtBC= 12 分 方法二：方法二：1AA 平面ABC，又90BAC=，以1AB AC AA， ，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则点(0 0 0)A ， ，(30 0)B ， ，(030)D ， ，1(0 33)C， ， 从而1(033)AC =， ，(3 3 0)BC = ，(30)BDtBCtt= ， 所以(3330)ADtt= ， ， 设平面1AC D的一个法向量为1()nx y z= ， 由11100nnACAD= = ， 有030(1)333t xtyyz+= = ， 取1(1 1)nt tt= ，又平面 ADC 的一个法向量为2(0 0 1)n =
9、 ， 因为二面角1CADC的大小为3，所以12121cos32nnn n= 9 分 即2112342ttt=+，得2420tt+=， 又因为01t ，所以22t = 12 分 HDCAB高三数学 第5页（共 6 页） 21（12 分） 解：（1）因为椭圆 C 的离心率为22，且其右焦点 F 到右准线的距离为3， 所以22ca=，且23acc=，解得6a =，3c = 2 分 所以2223bac=，所以椭圆C的标准方程为22163xy+= 4 分 （2）设直线 MN 的方程为yxm=+，点11()M xy ，22()N xy ，00()A xy ， 直线 MN 的方程与椭圆方程联立得22163x
10、yyxm+= =+ ， 则2234260 xmxm+=，所以1221222432631612(26)0 xxmmx xmm+= = = ， 由102010200yyyyxxxx+=，得120012002()()2()0 x xmxyxxx my+= 所以200002642()()2()033mmxymx my+=，整理得， 00002(2)2403yx mx y+=， 所以000020240yxx y= = ， 10 分 因为点 A 在第一象限，所以0021xy= = ， 所以点 A 的坐标为(2 1)A ， 12 分 高三数学 第6页（共 6 页） 22（12 分） 解：（1）当ea =时，
11、2( )eln(e)f xxxx=+， 则2e2(12e)e(21)(e)( )12(e)=xxxxfxxxxx+= +=，（0 x ） 令( )0fx，得ex ；令( )0fx，得ex ； 所以，函数( )yg x=的单调增区间为(e,)+，单调减区间为(0,e) 3 分 （2）22(ln2e)( )ln2(e)axaxafxaxxx+=+=， 令2( )2(ln2e)0t xxaxa=+=，因为2(ln2e)80aa =+， 所以方程22(ln2e)0 xaxa+=，有两个不相等的实根12x x ，（12xx）， 又因为1202ax x = ，所以120 xx，令02xx=，列表如下 x
12、0(0)x ， 0 x 0()x +， ( )fx 0 + ( )f x 减 极小值 增 所以( )f x存在极值点0 x 7 分 因为2002(ln2e)0 xaxa+=，所以200022elnxxaxa=， 记0( )lnu ttxt= ，0( )1xu tt= ， 当00tx 时，( )0u t，( )u t单调递减；当0tx时，( )0u t，( )u t单调递增 所以当0tx=时，0( )lnu ttxt= 的最小值为0000()lnu xxxx= 所以200000022elnlnxxaxaxxx=， 即200002(2e1)ln0 xxxx+， 10 分 因为00 x ，所以002ln(2e1)0 xx+， 因为( )2ln(2e1)v ttt=+在(0) +，上单调递增，且0()(e)0v xv=， 所以0ex ，则0 x的最小值是 e 12 分
