1、第四节第四节 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理一、陪集及其性质 1陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，aG.令Ha=ha | hH称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例 设A=1,2,3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中f1=,， f2=,f3=,， f4=,f5=,， f6=,令G=f1, f2, , f6，则G关于函数的复合运算构成群. 考虑G的子群H=f1, f2. 做出H的全体右陪集如下： Hf1=f1f1, f2f1=f1, f2=H，Hf2=f1f2, f2f2=f2, f1=H Hf3=f1f3, f2f3=f3, f5，Hf4=
2、f1f4, f2f4=f4, f6Hf5=f1f5, f2f5=f5, f3， Hf6=f1f6, f2f6=f6, f4 Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. 2陪集的基本性质陪集的基本性质 定理11.8 设H是群G的子群，则 （1）He = H （2）aG有aHa. 定理11.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG, R ab1H 则R是G上的等价关系，且aR = Ha.证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R对称性. 任取a,bG，则 R ab1H (ab
3、1) 1H ba1H R 传递性. 任取a,b,cG，则 RR ab1Hbc1H ac1H R下面证明：aG，aR = Ha. 任取bG，baR R ab1H Ha=Hb bHa推论 设H是群G的子群,则 （1）a,bG，Ha = Hb 或 HaHb = （2）Ha | aG = G 定理11.11 设H是群G的子群，则 aG，H Ha 类似地，也可以定义H的左陪集的左陪集，即aH = ah | hH，aG 关于左陪集有下述性质： （1）eH = H （2）aG，aaH （3）a,bG，abH b1aH aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,bG，R b1aH 则R是G上的等价关系，
4、且aR = aH. （5）aG，H aH 例题：设G为模12加群, 求 在G中所有的左陪集.解： = 0, 3, 6, 9, 的不同左陪集有3个，即 0+ = , 1+ = 4+ = 7+ = 10+ = 1, 4, 7, 10 , 2+ = 5+ = 8+ = 11+ = 2, 5, 8, 11.对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身.任选元素aGH，求Ha, 作为第二个右陪集. 任选元素bG(HHa), 做第三个陪集Hb.任选元素cG(HHaHb), 做第四个右陪集，. 依次做下去，由于G是有限群，经过有限步就可以得到G的全体右陪集. 分析：求
5、群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明.二、拉格朗日定理及其应用 1拉格朗日定理及其推论 证 设R是G中的一个等价关系，所以由定理11.10知，R必将G划分成不同的等价类a1R,a2R, ,ak R,使得G = Ha1Ha2Har|G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har|由定理11.11知，HaiH ，所以|Hai| = |H|m，i = 1,2,k, 得 n|G| = |H|k = mk从而 m|n定理11.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，|G|=n, |H|=m, 则m|n推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有an = e. 推论2 对
6、阶为素数的群G，必存在aG使得G = .证 任取aG，是G的子群，的阶是n的因子. 是由a生成的子群，若|a| = r，则 = a0=e,a1,a2,ar1即的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子.从而an = e.证 设|G| = p，p是素数. 由p2知G中必存在非单位元. 任取aG，a e，则是G的子群. 根据拉格朗日定理，的阶是p的因子，即的阶是p或1.显然的阶不是1，这就推出G = 2拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,yG，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel
7、群. 证 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是Abel群.设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=.由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群. 例 证明阶小于6的群都是Abel群.本节内容及要求 熟悉陪集的定义和性质 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该定理解决简单的问题第五节第五节 正规子群与商群正规子群与商群一、正规子群的定义与实例一、正规子群的定义与实例 1正规子群的定义正规子群的定义 2正规子群的实例正规子群的实例二、正规子群的判别法二、正规子群的判别法 1正规
8、子群的判定定理正规子群的判定定理 2正规子群的判别实例正规子群的判别实例三、商群 1. 商群定义及其实例商群定义及其实例 2. 商群的求解商群的求解第五节第五节 正规子群与商群正规子群与商群一、正规子群的定义与实例一、正规子群的定义与实例1正规子群的定义正规子群的定义定义11.10设H是群G的子群. 如果aG都有Ha=aH，则称H是G的正规子群，记作H G.任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和e，都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群. 2正规子群的实例正规子群的实例例例 设A=1, 2, 3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中 f1=,
9、f2=,f3=, f4=,f5=, f6=,令G=f1, f2, , f6，则G关于函数的复合运算构成群. G的全体子群是： H1 = f1, H2 = f1, f2, H3 = f1, f3， H4 = f1, f4,H5 = f1, f5, f6, H6 = G H1, H5和H6是G的正规子群，而H2, H3和H4不是正规子群. 二、正规子群的判别法二、正规子群的判别法1正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，N G gG,nN有gng1N.定理11.14 设N是群G的子群，N G gG有 gNg1=N 2正规子群的判别实例 例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则N
10、G. 证 任取gG，易证gNg1是G的子群，下面证N gNg1. nN，令f(n) = gng1，则f：N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1gNg1，nN，f(n) = gng1 ，f是满射. 从而N gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以N G.三、商群1. 商群定义及其实例 商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即G/N = Ng | gG在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, NbG/N，Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的
11、商群.例 设是整数加群,令3Z = 3z | zZ 则3Z是Z的正规子群. Z关于3Z的商群 Z/3Z = 0, 1, 2其中 i = 3z+i | zZ，i = 0, 1, 2且Z/3Z中的运算如下表所示.例题设为模18加群，求商群Z18/, /. 解：解： = 0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14. = 0, 3, 6, 9, 12, 15 = 0, 9Z18/ = , 1+, 其中1+ = 1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15，运算表为 1+ 1+ 1+ 1+ 2.商群的求解商群的求解/ = , 3+, 6+其中 3+ = 3, 12, 6+
12、= 6, 15. 运算表为 说明：求解商群的方法：商群G/ N = Ng | g G .先计算子群N求所有陪集的集合G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|. 若商群为有限群，给出运算表；若商群为无限群，给出运算表达式本节内容及要求 正规子群的判别定理和方法 商群的定义和实例 会判别和证明子群的正规性会判别和证明子群的正规性 了解商群的概念了解商群的概念第六节第六节 群的同态与同构群的同态与同构一、同态映射的定义一、同态映射的定义二、典型同态映射的实例二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质三、同态映射的性质 1同态映射保持元素的对应性同态映射保持元素的对应性 2同态映射保持
13、子群的对应性同态映射保持子群的对应性 3有关同态核的性质有关同态核的性质 4 4同态基本定理同态基本定理第六节第六节 群的同态与同构群的同态与同构一、同态映射的定义 1. 定义11.11 设G1,G2是群，：G1G2，若a,bG1都有(ab)= (a)(b) 则称是群G1到G2的同态映射，简称同态.abcacbcG1G2f(a)=f(b)f(c)f(a)f(c)=f(b)f(c)定义11.12 设：G1G2是群G1到G2的同态. （1）若 ：G1G2是满射，则称为满同态，这时也称G2是G1的同态像。 （2）若 ：G1G2是单射的，则称为单同态. （3）若 ：G1G2是双射的，则称为同构，记作G
14、1 G2. （4）若G1=G2，则称是群G的自同态. 类似的可以定义满自同态、单自同态和自同构.2. 特殊同态的分类：满同态、单同态、同构二、典型同态映射的实例二、典型同态映射的实例 例（1）G1=是整数加群，G2=是模n的整数加群. 令 ：ZZn，(x) = (x)mod n 则是G1到G2的满同态. x,yZ有(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n(y)mod n = (x)(y)（2）设G=是模n整数加群，可以证明恰有n个G的自同态，即p：ZnZn, p (x) = (px)mod n，p = 0,1,n1 例 （3）设G1=是实数加群，G2=是非零实数乘法群. 令：
15、RR*，(x)= ex 则是G1到G2的单同态, x,yR有 (x+y) = ex+y = exey = (x)(y) （4）设G1,G2是群，e2是G2的单位元. 令：G1G2，(a) = e2，aG1 则是G1到G2的同态，称为零同态. 因为a,bG1有 (ab) = e2 = e2e2 = (a) (b) 例 设G为群，aG. 令 ：GG, (x)=axa1，xG则是G的自同构，称为G的内自同构.证 x,yG有 (xy)=a(xy)a1=(axa1)(aya1)= (x) (y) 所以是G的自同态. 任取yG，则a1yaG，且满足 (a1ya)=a(a1ya)a1=y 所以是满射的. (
16、x)= (y) axa1=aya1 x=y，从而证明了是单射的. 综合上述，是G的自同构.注意：如果G是Abel群. 则G的内自同构只有恒等映射.三、同态映射的性质 1同态映射保持元素的对应性 定理11.5 设是群G1到G2的同态映射，e1和e2分别为G1和G2的单位元，则（1）(e1) = e2（2）(a1) = (a)1，aG1 例 设G1=是有理数加群，G2=是非零有理数乘法群. 证明不存在G2到G1的同构.证 假设是G2到G1的同构，那么有 ：G2G1，(1) = 0 于是有(1)+(1) = (1)(1) = (1) = 0从而得(1) = 0，这与的单射性矛盾. 定理11.16设是
17、群G1到G2的同态，H是G1的子群，则（1）(H)是G2的子群.（2）若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群. 2同态映射保持子群的对应性定义11.13 设是群G1到G2的同态，令ker = x | xG1(x) = e2其中e2为G2的单位元. 称ker为同态的核. 3有关同态核的性质实例：（1）：ZZn， (x) = (x) mod n， ker = z | zZn整除z = nZ（2）：RR*，(x) = ex，ker = 0（3）：G1G2，(a) = e2，aG1，是零同态， ker = G1 定理11.17 设是群G1到G2的同态，则 （1）ker G1（2）是
18、单同态当且仅当ker = e1，其中e1为G1的单位元.定理11.18 (同态基本定理) 设G是群，N是G的正规子群，则G/N是G的同态像，反之，G是G在下的同态像，则 G/ker G 4同态基本定理本节内容及要求 群同态映射的定义及其性质 熟悉群同态映射的定义及其性质熟悉群同态映射的定义及其性质作业P230 26，29，30第七节第七节 循环群与置换群循环群与置换群一、循环群的定义及分类一、循环群的定义及分类 1 循环群的定义循环群的定义 2 循环群的分类循环群的分类二循环群的生成元二循环群的生成元三、循环群的子群三、循环群的子群四四n元置换及其表示元置换及其表示 1n元置换的定义元置换的定
19、义 2. n元置换的乘法元置换的乘法 3. n元置换的分解式元置换的分解式 五五n元置换群元置换群第七节第七节 循环群与置换群循环群与置换群一、循环群的定义及分类 1 循环群的定义定义11.14 设G是群，若存在aG使得 G=ak| kZ 则称G是循环群，记作G=，称a为G的生成元. 2 循环群的分类 G=根据生成元a的阶可以分成两类：n阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n阶元，则 G = a0=e,a1,a2,an1 那么|G| = n，称G为n阶循环群. 若a是无限阶元，则 G = a0=e,a1,a2, 这时称G为无限循环群. 定理11.19 设G=是循环群. （1）若G是无
20、限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1. （2）若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元. 且对于任何小于等于n且与n互质的正整数r，ar是G的生成元.二循环群的生成元二循环群的生成元 注： (n)是欧拉函数. 对于任何正整数n，(n)是小于等于n且与n互素的正整数个数. 例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个： 1, 5, 7, 11，所以(12)=4. 例（1）设G=e,a,a11是12阶循环群，则(12)=4. 小于或等于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理11.19可知a，a5，a7和a11是G的生成元.（2）设G=是模9的整数加群，则(9)=6.
21、小于或等于9且与9互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理11.19，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8. （3）设G=3Z=3z | zZ,G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和3. 定理11.20 设G=是循环群. （1）设G=是循环群，则G的子群仍是循环群.（2）若G=是无限循环群，则G的子群除e以外都是无限循环群. （3）若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群. 三、循环群的子群三、循环群的子群例（1）G=是无限循环群，其生成元为1和1. 对于自然数mN，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，mN. 即 = 0 = 0Z =
22、mz | zZ= mZ， m0（2）G=Z12是12阶循环群. 12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是： 1阶子群=0 2阶子群=0,6 3阶子群 =0,4,8 4阶子群 =0,3,6,9 6阶子群=0,2,4,6,8,1012阶子群=Z12 1n元置换的定义 定义11.15 设S = 1, 2, , n, S上的任何双射函数：SS称为S上的n元置换. 一般将n元置换记为四四n元置换及其表示元置换及其表示)()2(2) 1 (1nn 例如S=1, 2, 3, 4, 5, 则 都是5元置换. 1 2 3 4 51 2 3 4 5,5 3 2 1 44 3 1 2 5定义11.16
23、 设,是n元置换, 和的复合也是n元置换, 称为与的乘积, 记作.例如 2. n元置换的乘法元置换的乘法1 2 3 4 51 2 3 4 5,5 3 2 1 44 3 1 2 51 2 3 4 51 2 3 4 5,5 1 3 4 21 2 5 3 43. n元置换的分解式 （1）k阶轮换定义11.17 设是S=1,2,n上的n元置换. 若 (i1) = i2，(i2) = i3，(ik1) = ik，(ik) = i1且保持S中的其他元素不变，则称为S上的k阶轮换，记作(i1i2ik).若k=2，称为S上的对换.例如5元置换 1 2 3 4 51 2 3 4 5,2 3 4 1 53 2 1
24、 4 5分别是4阶和2阶轮换 = (1 2 3 4), = (1 3), 其中也叫做对换.（2）置换分解为轮换之积设 S = 1, 2, , n，对于任何S上的n元置换一定存在着一个有限序列i1, i2, , ik, k1,（可以取i1=1）使得 (i1) = i2, (i2) = i3, , (ik1) = ik，(ik) = i1令1 = (i1 i2 ik). 它是从中分解出来的第一个轮换. 根据复合定义可将写作1，其中作用于Si1, i2, , ik上的元素. 继续对进行类似的分解. 由于S中只有n个元素, 经过有限步以后，必得到的轮换分解式 = 1 2 t例 设S = 1, 2, ,
25、 8, 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8,5 3 6 4 2 1 8 78 1 4 2 6 7 5 3从中分解出来的第一个轮换式(1 5 2 3 6)；第二个轮换为(4)；第三个轮换为(7 8). 的轮换表示式 = (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8)用同样的方法可以得到的分解式 = (1 8 3 4 2) (5 6 7) （3）轮换分解式的特征轮换的不交性在上述分解式中任何两个轮换都作用于不同的元素上. 分解的惟一性 = 1 2 t 和 = 1 2 s 是的两个轮换表示式，则有 1, 2, , t = 1, 2, ,
26、s （4）对换与对换分解方法 设S = 1,2,n， = (i1 i2 ik) 是S上的k阶轮换，可以进一步表成对换之积，即 (i1 i2 ik) = (i1 i2) (i1 i3) (i1 ik) 任何n元置换先表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积. 例如8元置换1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8,5 3 6 4 2 1 8 78 1 4 2 6 7 5 3=(1 5 2 3 6)(7 8) = (1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8) =(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7)（5）对换分解式
27、的特征：在对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一. 例如4元置换 可以有下面不同的对换表示： = (1 2) (1 3)， = (1 4) (2 4) (3 4) (1 4) 表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的. 如果n元置换可以表示成奇数个对换之积，则称为奇置换，否则称为偶置换，不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个.1 2 3 42 3 1 4 n元置换群及其实例 考虑所有的n元置换构成的集合Sn. Sn关于置换的乘法是封闭的. 置换的乘法满足结合律. 恒等置换(1)是Sn中的单位元. 对于任何n元置换Sn，逆置换1是 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为n元对称群
28、.n元对称群的子群称为n元置换群. 五五n元置换群元置换群S3的运算表如下表所示. 3的 运 算 表 如 下 表 所 示 . (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3) 例例 设S = 1, 2, 3，3元对称群 S3=(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) 基本要求 会求循环群的生成元及其子群 熟悉n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群.
