1、1 函数序列的一致收敛概念函数序列的一致收敛概念例例1 1 2( )1nnxfxnx2lim( )lim1nnnnxfxnx2lim( ),(,)11 nxxf xxxnn解：解： 例例2 2 ( ) nnfxx0111lim( )lim1,1 nnnnxxfxxxx，不存在,0,11lim( )( )1,1 nnxfxf xx解：解： 故故 ( )f x连续，但却不连续连续，但却不连续( )nfx例例3 3 2( )1nnnxfxx0,0,1lim( )( )1,12 nnxxfxf xx解：解： ( )f x连续，但却不连续连续，但却不连续( )nfx（一）概念（一）概念 函数序列一致收敛
2、函数序列一致收敛 定义定义 ( )nfxxX设，是一函数序列，0( )N 若对，存在仅与 有关的正整数，( )nN当时，|( )( )|nfxf x xX对一切成立，( )nfx则称在X上一致( ),f x收敛于( )( ).nf xf x记为：X( ),f x或均匀收敛于一致收敛的等价叙述一致收敛的等价叙述nnxXsup | f ( x )f ( x )| ( )0() nnfxn则在X上一致收敛 函数函数项项级数一致收敛级数一致收敛 定义定义1( )nnuxxD对于函数项级数，1( )( )nnknkSxuSxD令，如果在 上一致收( )S x敛于，则称1( )nnuxD级数在 上一致收。
3、敛于)(xS（二）几何描述（二）几何描述0( )N 对，存在仅与 有关的正整数，( )nN当时，( )nnyfxxX函数，的图象都落在带状区域( , )/,( )( )x yxX f xyf x 之中。xyo)(xSy )(xSy)(xSy)(xSyn（三）内闭一致收敛（三）内闭一致收敛 概念概念 定义定义 , a bD若对于任意给定的闭区间，( ) , ( ),nSxa bS x函数序列在上一致收敛于( )( )nSxDS x则称在 上内闭一致收敛于。 性质性质 D函数序列在 上一致收敛D函数列在 上内闭一致收敛。？例例4 4考虑例考虑例1. 1. 2( ),0,11nnxfxxnxlim(
4、 )( )nnfxf xx解：解： 3222,0,111nxxxxxnxnxn由于由于 ( )nfx则在则在0,10,1一致收敛于一致收敛于 x例例5. 5. 证明证明: :22( ),(,)1 nxfxxn x在一致收敛lim( )( )0nnfxf x解：解： 221( )0,(,)12 nxfxxn xn由于由于 ( )nfx则在则在 一致收敛于一致收敛于 0(,) 例例6. 6. 证明证明1( ),0, ,20,1)nnfxx在一致收敛但不一致收敛例例7. 7.证明证明: :22( ),(,)1,(,) nnxfxn x在每一点都收敛到0 但在不一致收敛定理定理12.112.1若函数列
5、若函数列 每一项每一项 在在 a, , b 连续连续( )nfx( )nfx且在且在 a, , b 一致收敛于一致收敛于 ，则，则( )f x( )nfx在在 a, , b 连续。连续。( )f x定理定理12.212.2若函数列若函数列 每一项每一项 在在 a, , b 连续连续( )nfx( )nfx且在且在 a, , b 一致收敛于一致收敛于 ，则，则( )f x( )nfx( )lim( )bbnaanf x dxfx dx即即lim( )lim( )bbnnaannfx dxfx dx下面的例下面的例8 8说明在定理说明在定理12.212.2一致收敛的条件不能少一致收敛的条件不能少
6、例例8 8 221,0212( )(),20,1nn xxnfxnxxnnnxn lim( )( )0nnfxf x解： ( )nfx在每个在每个x连续，但连续，但 却不一致收敛于却不一致收敛于0 0( )nfx而 1100lim( )( )nnfx dxf x dx定理定理12.312.3若函数列在若函数列在a, ba, b逐点收敛于逐点收敛于( )nfx( )f x而在而在 a, , b 连续，且连续，且 一致收敛于一致收敛于 ( )( ) fxx( )nfx则则 在在 a, , b 可微，且可微，且( )f x( )nfx( ) x即即(lim( )lim( ) nnnnfxfx2 2函
7、数项级数的一致收敛性及其判别法例例1 1求的收敛域与和函数求的收敛域与和函数0nnx011( )(,1)11nnknkxSxxnxxx 故收敛域为（故收敛域为（-1,1-1,1）解：解： 220( 1)( !)2kknxk例例2 2求函数项级数的收敛域：求函数项级数的收敛域： 22(1)212( )1( !)2( )(1)!21nnnnuxxnuxnx2210 ()(1)2xnn 故收敛域为故收敛域为 (,) 解：解： 函数函数项项级数一致收敛级数一致收敛 定义定义1( )nnuxxD对于函数项级数，1( )( )nnknkSxuSxD令，如果在 上一致收( )S x敛于，则称1( )nnux
8、D级数在 上一致收。敛于)(xS一、一致收敛的判别一、一致收敛的判别（一）（一）CauchyCauchy收敛原理收敛原理定理定理 12.412.40( )NN 对于，使得对于一切1( )nnuxD级数在 上一致收敛12nnu p|u( x )u( x )u( x )|nNp，,有1|( )|.n pkk nux 定理定理 12.412.4中当中当 p = 1 = 1 时得到时得到: :定理定理 12.512.51( )nnux级数在X上一致收敛( )nux函数序列收敛在X一致收敛于0（二）（二）Weierstrass(Weierstrass(MM-) -)判别法判别法定理定理 2 21( )n
9、nuxxD设函数项级数，的一般( )nux项满足,| )(|Dxaxunn，1nna并且级数收敛，1( )nnuxD则在 上一致收敛。例例6 6 求求 在一致收敛在一致收敛0nnx1 12 2，例例7 7证明：函数项级数在证明：函数项级数在一致收敛一致收敛 21sinnnxn(,) 例例8 8证明：函数项级数在证明：函数项级数在一致收敛一致收敛 231nxxn(,) （ 三三 ） A-DA-D判别法判别法定理定理 3 3若下列两个条件之一满足，则函数项级数1( )nAbelaxxDn（ ）判别法）对每一固定的关于1( )( )nnnax bxD在上一致收敛：为单调的，且( )naxD在 上一致
10、有界：，NnDxMxan,| )(|1( )nnbxD同时，在上一致收敛。例例11 11 已知已知 收敛，收敛，0，11nna证明在一致收敛证明在一致收敛1nnna xDxxaDirichletn对每一固定的判别法）（)(2为单调的，且关于n，上一致收敛于在0)(Dxan上一致有界：的部分和序列在同时，Dxbnn1)(.,| )(|1NnDxMxbnkk，例例9 9 求求 在在 一致收敛一致收敛0，1例例1010证明：函数项级数在证明：函数项级数在一致收敛一致收敛 1sinnnxn( ,2 - ) 11( 1)nnnxn3 3和函数的分析性质函数项级数和函数的分析性质函数项级数和函数的分析性质
11、（一）连续性质（一）连续性质Page-76Page-76：定理定理 1212.1 .1 ( )( )nnSxSx设函数序列的每一项， , , ( ),a ba bS x在连续，且在上一致收敛于( ) , S xa b则在也连续。00lim lim( )lim lim( )nnxx nnxxSxSx0 , xa b即对任意，有定理定理 12.912.9( )nnux设对每个 ， , a b在连续， , a b 也连续。1( ) , ( )nnuxa bS x且在上一致收敛于，( )S x则在0 , xa b即对任意，有)(lim10 xunnxx).(lim10 xunnxx注注 1 1( )(
12、 ) )nnuxSx如果（或( , )a b在连续，连续。1( )( )( , )nnnuxSxa b只要（或在上内闭( )( , )S xa b则也在( )S x一致收敛于，证明证明: :0( , )xa bab对，则存在。使),(0 x1( )( )( , )nnnuxSxa b由于（或在( ) ,S x 由定理12.9（定理12.1）得，在0( )S xx连续。故在 点连续。0( )( , )xS xa b由 点的任意性，故在连续。( )S x上内闭一致收敛于，（二）积分定理（二）积分定理( )( )nnSxSx设函数序列的每一项， , , ( ),a ba bS x在连续，且在上一致收
13、敛于( ) , S xa b则在可积，且.)(lim)(lim)(bannbannbadxxSdxxSdxxSPage-76Page-76：定理定理 1212.2 .2 定理定理 12.1112.11( )nnux设对每个 ， , a b在连续，1( ) , ( )nnuxa bS x且在上一致收敛于，1( )( ).bbnaanS x dxux dx（三）微分定理（三）微分定理( )nSx设函数序列满足 , a b在连续可导；( )1,2,nSxn （）（）( ) , ( ),nSxa bx（）在上一致收敛于( ) , S xa b则在可导，且).(lim)(lim)(xSdxdxSdxdx
14、Sdxdnnnn( ) , nSxa b（）在上逐点收敛于( )S x ；Page-78Page-78：定理定理 1212.3 .3 定理定理 12.12 12.12 1( )nnux设函数项级数满足 , a b在连续可导；）（）, 2 , 1)(nxun1( ) , ( ),nnuxa bx（）在上一致收敛于( ) , S xa b则在可导，且. )()()(11nnnnxudxdxudxdxSdxd1( ) , nnuxa b（）在上逐点收敛于( )S x ；（四）（四）DiniDini定理定理定理定理 7 7( )nSx设函数序列 , a b在连续，）（）, 2 , 1)(nxSn ,
15、a b在上( )nSxn（）关于 单调，( )S x ，如果( ) , S xa b（）在连续，( ) , ( )nSxa bS x则在上一致收敛于。逐点收敛于定理定理 12.1012.101( )nnux设函数项级数 , a b在连续，）（）, 2 , 1)(nxun( )S x ，如果( ) , S xa b（）在连续，1( ) , ( )nnuxa bS x则在上一致收敛于。1 , ( )nnxa bux（）对每个固定的，为正项级数或负项级数， , a b在上逐点收敛于例例1 1 1( )arctannnfxxn1( )( )0,0,22nfxf xxn120,1( )( )11,12n
16、nnxxfxxxx( )( )fxx0,2( )nfx 因因 在在 不一致收敛。不一致收敛。 (1,)11( )xnxn例例2 2 在在 连续且任意次可导连续且任意次可导小结 函数序列的一致收敛概念 一致收敛及其判别法习题 (又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为1、讨论等比级数2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaa
17、aaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.2、 判别级数2211lnnn的敛散性 .解解: :211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln3 3、 讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解:
18、: 1) 若, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: : 因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .4 4、5、 证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收敛 . 证证: : nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正数 ,21对无论多么大的正数 N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101
19、xrN而因此级数在 0, 1 上不一致收敛 . 补充题补充题1、研究级数 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间 0, +) 上的收敛性.解解: : 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任给 0, 取自然数 ,11N则当n N 时有)0()(xxrn这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 .11)(xxS2 2、 设 f (x) 是周期为
20、2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx3、 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .提示提示: : 因,0limlimnnnnvu存在 N
21、 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时2)(nnvu 4 4、.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: : 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 5 5、 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x作业 P98:1:(1)(5)(6)(10)(16) P102:3(5)(6) P110:1(1)(2)(4) P111:3(1)(3)
