1、u随机变量统计规律的描述随机变量统计规律的描述 分布函数分布函数 分布律分布律 （离散型）（离散型） 概率密度（连续型）概率密度（连续型）u特点：全面、详细、完整特点：全面、详细、完整u缺点：复杂、重点不突出缺点：复杂、重点不突出第四章 随机变量的数字特征第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩矩 协方差矩阵协方差矩阵 某射击手在同样的条件下某射击手在同样的条件下,瞄准靶子瞄准靶子相继射击相继射击90次次,(每次命中环数每次命中环数X是一是一个随机变量个随机变量).射中次
2、数记录如下射中次数记录如下:引例引例 射击问题射击问题试问试问:该射手射击平均命中靶多少环该射手射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定定义义.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机
3、变量数学期望的定义.d)()(. )(,d)(,d)(),( xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即即记记为为的的数数学学期期望望变变量量的的值值为为随随机机则则称称积积分分绝绝对对收收敛敛若若积积分分的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量7则E(X)=pX01pk1-pp 两点分布的数学期望8设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布, 其概率密度为其概率密度为 . 0, 0, 0,e1)(/xxxfx 其中其中 0, 求求E(X)。指数分布的数学期望.,可可以以用用两两种种方方法法进进行行个个人人的的血血此此要要抽抽验验为为的的团团体体中中普普查查某某种种疾疾病病
4、在在一一个个人人数数很很多多N例例5分组验血分组验血.,(i)次次这这就就需需化化验验验验将将每每个个人人的的血血分分别别去去化化N.1,.,(ii)次次最最多多需需化化验验个个人人的的血血共共这这样样验验个个人人的的血血液液分分别别进进行行化化则则再再对对这这若若呈呈阳阳性性个个人人的的血血就就只只需需验验一一次次这这这这样样个个人人的的血血都都呈呈阴阴性性反反应应就就说说明明性性反反应应如如果果这这混混合合血血液液呈呈阴阴验验的的血血混混合合在在一一起起进进行行化化个个人人抽抽来来把把从从个个人人一一组组进进行行分分组组按按 kkkkkkk10 例6 泊松分布的数学期望0,.,2 , 1
5、, 0,!)( kekkXPk则E(X)= 11例例7 7 均匀分布的数学期望均匀分布的数学期望 ., 0,1)(其其它它bxaabxf 2baXE 常用的分布常用的分布期望期望两点分布两点分布Xb(1,p)p二项分布二项分布Xb(n,p)？泊松分布泊松分布Xp p( ) 均匀分布均匀分布XU(a,ba,b)(a+b)/2指数分布指数分布XE( ) 正态分布正态分布XN(m m,s s 2),？ p已知圆轴截面直径的分布，需要求截面已知圆轴截面直径的分布，需要求截面面积的数学期望。面积的数学期望。p已知风速已知风速V的分布，需要求飞机机翼受到的分布，需要求飞机机翼受到压力的数学期望。压力的数学
6、期望。p281DSp p X的分布已知，如何计算的分布已知，如何计算g(X)的期望？的期望？ 2kVW 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望kxX kkpxXP 2101 1p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求求若若 15定理定理 设设Y是是X的函数的函数, Y=g(X)(g是连续函数是连续函数).(1) X是离散型是离散型, 分布律为分布律为PX=xk=pk, k=1,2,., )3 . 1(.)()()(,)(11 kkkkkkpxgXgEYEpxg则有则有绝对收敛绝对收敛若若 .1 kkkpxXE16定理定理 设设Y是是X的函数的函数, Y=g(X)(g是连续函
7、数是连续函数).(1) X是离散型是离散型, 分布律为分布律为PX=xk=pk, k=1,2,., )3 . 1(.)()()(,)(11 kkkkkkpxgXgEYEpxg则有则有绝对收敛绝对收敛若若)4 . 1(.d)()()()(,d)()( xxfxgXgEYExxfxg则有则有绝对收敛绝对收敛(2) X是连续型是连续型, 概率密度为概率密度为f(x). 17u若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y), 则有则有 yxyxfyxgYXgEZEdd),(),(),()( 11),(),()(jiijjipyxgYXgEZEu若若(X,Y)的分布律的分布律PX=xi,Y=yj=p
8、ij, i,j=1,2二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望设设Z=g(X,Y)(g是连续函数是连续函数)18例例9 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度.1),(., 0. 1,1,23),(23 XYEYExxyxyxyxf求数学期望其它其它?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出
9、售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 例例10 性质性质1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有.)(CCE 性质性质2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 数学期望的性质数学期望的性质性质性质3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 此性质可推广到任意有限个随机变量之和此性质可推广到任意有限个随机变量之和. Xb(n,p),随机变量随机变量X是是n重伯努利试验重伯努利试验
10、中事件中事件A发生的次数发生的次数, 且在每次试验中且在每次试验中A发发生的概率为生的概率为p. ., 2 , 1, 0, 1nkkAkAXk 次试验不发生次试验不发生在第在第次试验发生次试验发生在第在第. ),()(,.10,20旅客是否下车相互独立旅客是否下车相互独立并设各并设各下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以客下车就不停车客下车就不停车如到达一个车站没有旅如到达一个车站没有旅个车站可以下车个车站可以下车客有客有旅旅位旅客自机场开出位旅客自机场开出一机场班车载有一机场班车载有XEX解解.10, 2 , 1, 1, 0
11、iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第例例12标准正态分布的数学期望标准正态分布的数学期望ZN(0,10,1). 求求E(Z).正态分布的数学期望正态分布的数学期望XN(m,sm,s2 2),求求E(X).常用的分布常用的分布期望期望两点分布两点分布Xb(1,p)p二项分布二项分布Xb(n,p)np泊松分布泊松分布Xp p( ) 均匀分布均匀分布XU(a,ba,b)(a+b)/2指数分布指数分布XE( ) 正态分布正态分布XN(m m,s s 2),m m性质性质4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXY
12、E n11月月15日要交作业日要交作业n5 6 12 第一节第一节 数学期望数学期望 定义定义 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 数学期望的性质数学期望的性质 数学期望体现了随机变量取值的平均数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。水平，是随机变量的重要的数字特征。 但在一些场合，仅仅知道平均值是但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。不够的，还需了解其他数字特征。a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a 甲仪器测量结果甲仪器测量结果因为第二批灯泡的质量比较稳定。因为第二批灯泡的质量比较稳定。 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命
13、都是 E(X)=1000小时小时. 为此需要引进另一个数字特征，用它来为此需要引进另一个数字特征，用它来 度量随机变量取值偏离其均值的程度度量随机变量取值偏离其均值的程度 （或者度量随机变量取值的分散程度）。（或者度量随机变量取值的分散程度）。第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩矩 协方差矩阵协方差矩阵).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或
14、记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 方差的定义方差的定义X为离散型，为离散型，PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的的数学期望数学期望 。 ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk X为连续型，为连续型，f (x)为概率密度为概率密度.)()()(22XEXEXD 利用公式计算利用公式计算35例例1 设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E(X)=m m, 方差方差D(X)=s s2 0. 称称X *为为X的的标准化变量标准化变量. .s sm m XX*36
15、例例2 设随机变量设随机变量X具有具有(0-1)分布分布, 其分布律其分布律为为PX=0=1 p, PX=1=p.求求D(X).解解 E(X)=0 (1 p)+1 p=p, E(X2)=02 (1 p)+12 p=p.由由(2.4)式式 D(X)=E(X2) E(X)2=p p2=p(1 p).37例例3 设设Xp p( ), 求求D(X). 0, 2 , 1 , 0,!e kkkXPk38例例4 设设XU(a,b), 求求D(X).解解 X的概率密度为的概率密度为12)(2d1)()()(.2)(., 0.,1)(22222abbaxabxXEXEXDbaXEbxaabxfba 已算得其它3
16、9例例5 设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布, 其其概率密度为概率密度为 . 0, 0, 0,e1)(/xxxfx 其中其中 0, 求求E(X), D(X). 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD(2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD XDCXD )(3)对任意两个随机变量对任意两个随机变量X,Y,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y) (2.5)特别特别, 若若X,Y相互独立相互独立, 则则D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6)推广推广则则有有相
17、相互互独独立立若若,21nXXX).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,10)()4(CXXD . 1 CXP随机变量随机变量X是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数的次数, 且在每次试验中且在每次试验中A发生的概率为发生的概率为p. ., 2 , 1, 0, 1nkkAkAXk 次试验不发生次试验不发生在第在第次试验发生次试验发生在第在第例例6 6 Xb(n,p),求求E(X), D(X).例例7 7 XN(m,sm,s2 2),求求E(X), D(X).10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pn
18、p 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参参数数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 246 若若XiN(m mi,s si2), i=1,2,.,n, 且它们相互独立且它们相互独立, 则则C1X1+C2X2+.+CnXn仍然服从正态分布仍然服从正态分布 (C1,C2,.,Cn是不全为是不全为0的常数的常数). P77)8 . 2(.,12212211 niiiniiinnCCNXCXCXCs sm m.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率
19、求活塞能装入气缸求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只气缸任取一只活塞任取一只活塞相互独立相互独立气缸的直径气缸的直径计计以以设活塞的直径设活塞的直径YXNYNX例例8切比雪夫不等式切比雪夫不等式.,)(,)(222成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX .122XP 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y),u仅讨论仅讨论X与与Y的期望和方差是不够的，的期望和方差是不够的，u还需要讨论还需要讨论X与与Y的相互关系。的相互关系。D(X + Y) = D(X)+D (Y)+ 2EX E(X)Y E(Y)u当当X与
20、与Y独立时独立时，EX E(X)Y E(Y) = 0.u若若EX E(X)Y E(Y) 不为不为 0，则则X与与Y 存在某种关系。存在某种关系。E(XY) - -E(X)E(Y)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩矩 协方差矩阵协方差矩阵).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量定义定义(3) Cov(, )()() ( );X YE XYE X E Y(2)()(
21、)( )2Cov(, ).D XYD XD YX Y);,Cov(),Cov()1(XYYX 性质性质 (1) Cov(,)Cov(, ) , ,;aX bYabX Ya b为常数1212(2) Cov(, )Cov(, )Cov(, ).XX YX YX Y.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY 相关系数性质相关系数性质; 1| ).1( XY 1| ).2( XY 的充要条件是，存在常数的充要条件是，存在常数a,b使使 1 bXaYP.,的线性相关程度较高的线性相关程度较高较大时较大时当当YXXY.,的线性相关程度较差的线性相关程度较
22、差较小时较小时当当YXXY.,0不相关不相关YXXY和和时时当当 Y XY X-2-2-1-11 12 2P(Y=j)P(Y=j)1 10 00.25 0.25 0.25 0.25 0 00.50.54 40.25 0.25 0 00 00.25 0.25 0.50.5P(X=i)P(X=i)0.250.250.250.250.250.250.250.251 1例例1 验证验证X和和Y不相关，即不相关，即 XY = 0 0； 验证验证X和和Y不是相互独立的。不是相互独立的。结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相
23、互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机变量二维正态随机变量YXYX.),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX例例2 P74定义：定义： 设设X是随机变量是随机变量, 若若E(Xk) 存在存在(k =1, 2, ), 则称其为则称其为X 的的 k 阶原点矩；阶原点矩；E(X) 是是 X 的一阶原点矩；的一阶原点矩； 若若 EX-E(X)k 存在存在(k = 1,2, ), 则称则称其为其为X的的 k 阶中心矩；阶中心矩；Var(X) 是是 X 的二阶中心矩。的二阶中心矩。第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵定义：设定义：设X和和
24、Y是随机变量是随机变量, 若若 E(XkYl) 存在存在(k, l=1, 2,), 则称其为则称其为X与与Y的的 k+l 阶混合原点矩；阶混合原点矩； 若若 EX-E(X)k Y-E(Y)l存在存在(k, l=1,2,)则称其为则称其为X与与Y的的 k+l 阶混合中心矩。阶混合中心矩。Cov(X,Y)是是X和和Y的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩4.4.2 协方差矩阵协方差矩阵 将随机向量将随机向量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成一个排成一个22矩阵矩阵 ，则称此矩阵为则称此矩阵为(X1, X2)的协方差矩阵。的协方差矩阵。22211211cccc)(),()(),()(
25、,)(2222211222122111221111XEXEcXEXXEXEcXEXXEXEcXEXEc 中心矩中心矩的二阶混合的二阶混合维随机变量维随机变量设设),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 则称矩阵则称矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211.协方差矩阵协方差矩阵维随机变量的维随机变量的为为 n.,), 2 , 1,(阵阵为为对对称称的的非非负负定定矩矩阵阵所所以以协协方方差差矩矩由由于于njiccjiij 协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随协方差矩阵可用来表示多
26、维随机变量的概率密度，从而可通机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究变量的研究.)()(21exp)(det)2(1 ),(1212221 XCXCxxfT p p 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxfn元元正态分布的几条重要性质：正态分布的几条重要性质：(1). X =(X1, X2, , Xn) 服从服从 n 元正态分布元正态分布对一切不全为对一切不全为 0 的实数的实数 a1, a2, , an， a1X1+ a2 X2+ + an Xn 服从正态分布。服从正态分布。. ),(,),
27、(.22122112121不不全全为为零零其其中中服服从从一一维维正正态态分分布布性性组组合合的的任任意意的的线线态态分分布布的的充充要要条条件件是是维维正正服服从从维维随随机机变变量量nnnnnlllXlXlXlXXXnXXXn (3). 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n 元正态分布，元正态分布，Y1,Y2,Yk 是是 Xj (j=1, 2, n)的线性组合的线性组合,则则(Y1,Y2, , Yk)服从服从k 元正态分布。元正态分布。这一性质称为正态变量的线性变换不变性。这一性质称为正态变量的线性变换不变性。 (4). 设设(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，则元正态分布，则“X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关”。“X1, X2, , Xn 相互独立相互独立” 等价于等价于11月月22日要交作业日要交作业n116页页n 22（2） 29
