1、第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第一节 总体与样本第二节 直方图和箱线图第三节 抽样分布例例: : 某公司生产了一批产品，每件产某公司生产了一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一个不合格品率品总有一个不合格品率 p 。 p 的大小如何；的大小如何； p 大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为 p 满足设定要求满足设定要求（如（如 p 0.01）。）。 第第1 1节节 随机样本随机样本总体：研究对象的全体总体：研究对象的全体个体：每个对象个体：每个对象1.72 1.65 1.73.总体总体: :研究对象的某项数量
2、研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值指标的全部可能的观察值个体个体: :每一个可能观察值为个体。每一个可能观察值为个体。1.72 1.65 1.73.u从总体中任取一个个体，以从总体中任取一个个体，以X表示该结果。表示该结果。u随机变量随机变量X的的所有可能取值就是总体。所有可能取值就是总体。u从总体从总体X中随机抽取一个个体，中随机抽取一个个体，以以X1表示其结果，表示其结果，X1和和X有相同的分布。有相同的分布。u放回，从总体放回，从总体X中再随机抽取一个个体，中再随机抽取一个个体，以以X2表示其结果，表示其结果，X2和和X X有相同的分布。有相同的分布。u放回，从总体放回，从总体X中
3、再随机抽取一个个体，中再随机抽取一个个体，以以Xn表示其结果，表示其结果，Xn和和X有相同的分布。有相同的分布。uX1Xn为来自总体为来自总体X的的简单随机样本简单随机样本。从总体中抽取的部分个体称为一个样本。从总体中抽取的部分个体称为一个样本。 抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母随机变量，用大写字母 X1, X2, , Xn 表示；表示； 抽取后经观测就有确定的抽取后经观测就有确定的 观测值，因此，样本观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小又是一组数值。此时用小 写字母写字母 x1, x2, , xn 。样本的两重性样本的两重性
4、7 若若X1,X2,.,Xn为为F的一个样本的一个样本, 则则X1,X2,.,Xn相互独立相互独立, 且它们的分布函数且它们的分布函数都是都是F, 所以所以(X1,X2,.,Xn)的分布函数为的分布函数为. )F(x)x,x(xFn1iin21* n1iin21*)f(x),x,x(xf若若X具有概率密度具有概率密度f, , 则则( (X1,X2,.,Xn) )的的概率密度为概率密度为8定义定义 设设X1,X2,.,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本, g(X1,X2,.,Xn)是是X1,X2,.,Xn的函数的函数, 若若g中不中不含未知参数含未知参数, 则称则称g(X1,X2,.
5、,Xn)是一是一.第三节第三节 抽样分布抽样分布X1,X2,.,Xnx1,x2,.,xn样本值样本值g(X1,X2,.,Xn)g(x1,x2,.,xn)观察值观察值设为来自总体设为来自总体 的一个样本，的一个样本，nXX ,1),(2 NX已已知知，未未知知其其中中2, 问下列那些是统计量问下列那些是统计量?;2XXn1 思考？思考？;nXXn1 ;)X(X22n1 n.n)X(Xn1 1.样本均值 (1)niiXnX11观测值记为 (2)niixnx112.样本方差 (3) niiniiXnXnXXnS1222121111观测值记为 (4)niiniixnxnxxns1222121111数理
6、统计中最常用的统计量及其观测值有：3. 样本标准差 (5)它的观测值记为 (6)4. 样本k阶原点矩 (7) 它的观测值记为 (8)niiXXnSS12211niixxnss12211, 2 , 1,11kXnAnikik, 2 , 1,11kxnanikik5.样本k阶中心矩 (9) 它的观测值记为 (10) , 2 , 1,11kXXnBkniik, 2 , 1,11kxxnbkniiknix X1,X2,Xn 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本, ,则称统计量则称统计量222212nXXX 来自正态总体的几个常用统计量的分布来自正态总体的几个常用统计量的分布服从自由度为服从自由
7、度为n的的 2分布分布. ( (一一) ) 2 2分布分布记为记为 2 2(n).15 2分布的可加性分布的可加性 设设 12 2(n1), 22 2(n2), 并且并且 12, 22独立独立, 则有则有 12+ 22 2(n1+n2).16 2分布的分位点分布的分位点 对于给定的正数对于给定的正数a a, 0a a1, 称满足称满足a a a a2(n).)()(d)()(22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点a a a a a a a aa annyyfnPn ( (二二) ) t t分布分布设设 X N(0,1), Y 2(n), 且且X,Y相互独立相互独立,称称 服从自
8、由度为服从自由度为n n的的t t分布分布. .记为记为t tt(nt(n).).nYXt/ 1819t分布的分位点分布的分位点 对于给定的对于给定的a a, 0a a1, 称满足条件称满足条件h(t)dt(n)tPt(n)t 的点的点ta a(n)为为t(n)分布的上分布的上a a分位点分位点.ta a(n)a a(三三) F分布分布设设 U 2(n1), V 2(n2), 且且U,V相互独立相互独立,服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布分布.记为记为 F F (n1,n2).称随机变量称随机变量21/nVnUF ).,(/1),(F 1221nnFFnnF则则若若21(n1,n
9、2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O，称满足条件：，称满足条件：对于给定的对于给定的)10( a aa a。分位点分位点上上分布的分布的为为的点的点a aa aFnnF),(21a),(21nnFa aF F分布的分位点分布的分位点a a a aa a ),(2121d)(),(nnFyynnFFP),(/1),(12211nnFnnFa aa a ( (四四) ) 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体设总体X的均值为的均值为 ,方差为方差为 2,X1,X2,Xn是是X的一个样本的一个样本.,)( XEnXD2)( 24定理一定理一 设设X1
10、,X2,.,Xn是来自总体是来自总体N( , 2)的的样本样本, X是样本均值是样本均值, 则有则有 nNX2, .)2();1()1()1(2222独立独立与与SXnSn 定理二定理二 设设X1,X2,.,Xn是来自总体是来自总体N( , 2)的的样本样本, X和和S2是样本均值和样本方差是样本均值和样本方差, 则有则有定理三定理三 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有),(2 N2SX和和)1(/ ntnSX 定理定理四四 ( (两正态总体的样本方差两正态总体的样本方差) ) ，设设),(),(222211
11、 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本1, 12221222121 nnFSS 定理四定理四 ( (两正态总体样本均值两正态总体样本均值) ) 221212222112121112)1()1()( nntnnnnSnSnYX ，设设),(),(222211 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本uP147 1P147 1题题 4 4题题
