1、1统计推断统计推断估计问题估计问题假设检验假设检验第八章第八章 假设检验假设检验例例1. 1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖. .包得的包得的袋装糖重是一个随机变量袋装糖重是一个随机变量, ,它服从正态分布它服从正态分布. .当机器正常时当机器正常时, ,其均值为其均值为0.50.5公斤公斤, ,标准差为标准差为0.0150.015公斤公斤. .某日开工后为检验包装机是否正某日开工后为检验包装机是否正常常, ,随机地抽取它所包装的糖随机地抽取它所包装的糖9 9袋袋, ,称得净重为称得净重为: : 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.497
2、 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常？问机器是否正常？“概率反证法概率反证法”思想：思想： 为了检验一个假设是否成立，先假定它是为了检验一个假设是否成立，先假定它是成立的，然后看在这个假设成立的条件下，成立的，然后看在这个假设成立的条件下，是否会导致不合理结果。是否会导致不合理结果。 “反证法反证法”思想：思想： 为了证明某个命题不成立，先假定它是成为了证明某个命题不成立，先假定它是成立的，然后在这个命题成立的条件下，推立的，然后在这个命题成立的条件下，推出矛盾。出矛盾。
3、 4如果假设如果假设H0为真为真, 则观察值则观察值 x与与m m0的偏差的偏差| x- -m m0|一般不应太大一般不应太大. cx - -0m mcx - -0m m 1 , 00NnX m m- -检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0接受接受H0检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0接受接受H0knx - - m m0knx - - m m05u因为决策的依据是样本因为决策的依据是样本, 当实际上当实际上H0为为真时仍可能做出拒绝真时仍可能做出拒绝H0的决策的决策.u这是一种错误这是一种错误, 犯这种错误的概率记为犯这种错误的概率记为00HHP为真拒绝当P当当H0为真拒绝为真拒绝H0 a a.(1
4、.1)6由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得: k=za a/2.0000a a m mm m - - knXPHHP为真拒绝为真拒绝当当0a/2za/2a/2-za/27检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0接受接受H020amznx-20amznx-8前面的检验问题常叙述成前面的检验问题常叙述成: 在在显著性水平显著性水平a a下下, 检验假设检验假设H0:m m=m m0, H1:m m m m0. (1.2)H0称为称为原假设原假设或或零假设零假设, H1称为称为备择假设备择假设.当当检验统计量检验统计量取某个区域取某个区域C中的值时中的值时, 我们拒我们拒绝原假设绝原假
5、设H0, 则则C称为称为拒绝域拒绝域, , 拒绝域的边界拒绝域的边界点称为点称为临界点临界点, 01 , HH： ：01 , HH： ：01 , HH： ：0H真实情况真实情况 所作决策所作决策接受接受H H0 0拒绝拒绝H H0 0H H0 0为真为真正确正确犯第犯第I I类错误类错误H H0 0非真非真犯第犯第IIII类错误类错误正确正确冤假错案冤假错案漏网之鱼漏网之鱼真实情况真实情况 所作决策所作决策认为无罪认为无罪认为有罪认为有罪无罪无罪正确正确犯第犯第I I类错误类错误有罪有罪犯第犯第IIII类错误类错误正确正确这种只对犯第这种只对犯第I I类错误的概率加以控制类错误的概率加以控制,
6、 , 而不考虑犯第而不考虑犯第IIII类错误的概率的检验类错误的概率的检验, ,称为称为显著性检验显著性检验. .真实情况真实情况 所作决策所作决策接受接受H H0 0拒绝拒绝H H0 0H H0 0为真为真正确正确犯第犯第I I类错误类错误H H0 0非真非真犯第犯第IIII类错误类错误正确正确12形如形如(1.2)式中的备择假设式中的备择假设H1, 表示表示m m1可能大可能大于也可能小于于也可能小于m m0, 称为称为双边备择假设双边备择假设, 而称形而称形如如(1.2)式的假设检验为式的假设检验为双边假设检验双边假设检验.在显著性水平在显著性水平a a下下, 检验假设检验假设H0:m
7、m=m m0, H1:m m m m0. (1.2)13综上所述综上所述, 处理参数的假设检验问题步骤为处理参数的假设检验问题步骤为:1. 根据实际问题的要求根据实际问题的要求, 提出原假设提出原假设H0及备及备择假设择假设H1;2. 给定显著性水平给定显著性水平a a以及样本容量以及样本容量n;3. 确定检验统计量以及拒绝域的形式确定检验统计量以及拒绝域的形式;4. 按按P当当H0为真拒绝为真拒绝H0m m0. (1.3)形如形如(1.3)的假设检验的假设检验, 称为称为右边检验右边检验。 类似地类似地, 有时需要检验假设有时需要检验假设H0:m m m m0,H1:m mm m0(1.3)
8、的拒绝域的拒绝域.检验法则：检验法则： x c拒绝拒绝H017例例 公司从生产商购买牛奶。公司怀疑生产商在公司从生产商购买牛奶。公司怀疑生产商在牛奶中掺水以谋利。通过测定牛奶的冰点，可以牛奶中掺水以谋利。通过测定牛奶的冰点，可以检测出牛奶是否掺水。天然牛奶的冰点温度近似检测出牛奶是否掺水。天然牛奶的冰点温度近似服从正态分布，均值服从正态分布，均值m0-0.545，标准差为，标准差为0.008.0.008.牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰点温度，测得生产商提交的的冰点温度，测得生产商提交的5 5批牛奶的冰点批牛奶的冰点温度，其均值为温度，其均值为-0.53
9、5. 问是否可以认为生产商在牛奶中掺水？问是否可以认为生产商在牛奶中掺水？ 取显著性水平取显著性水平a a=0.05。第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验一、单个总体均值一、单个总体均值 的检验的检验二、两个总体均值差的检验二、两个总体均值差的检验三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验m m一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验),(2 m mN的检验的检验关于关于为已知为已知m m ,. 12),( 2 m mN体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当m mm m m m . : , : )3
10、( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100m mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm m HHHHHH假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 . , / )1 , 0(00检验法检验法检验法称为检验法称为这种这种来确定拒绝域的来确定拒绝域的的统计量的统计量分布分布为真时服从为真时服从讨论中都是利用讨论中都是利用ZnXZNH m m- - 的检验的检验关于关于为未知为未知m m ,. 22 . , , ),(22a a m m m m显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX。检验假设检验假设 : , :0100m
11、 mm mm mm m HH确定拒绝域确定拒绝域检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0cx - -0m m不是统计量不是统计量 1 , 00NnX m m- -0a/2ta/2(n-1)a/2- - ta/2(n-1)检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0cx - -0m mknsx - -0m m.0000a am mm m - - knSXPHHP为真拒绝为真拒绝当当检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0cx - -0m mknsx - -0m m.0000a am mm m - - knSXPHHP为真拒绝为真拒绝当当检验法则：检验法则：拒绝
12、拒绝H0 120- - - -ntnsxa am m t . )1(/ 2/0- - - - ntnsxta am m拒绝域为拒绝域为 在实际中在实际中, , 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, , 所以我们常用所以我们常用 t t 检验法来检验关于正态总检验法来检验关于正态总体均值的检验问题体均值的检验问题. .上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态分服从正态分布布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的寿命如下只元件的寿命如下:170485260149250
13、168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命等于问是否有理由认为元件的平均寿命等于225(小时小时)?2, m m例例解解 ,225:,225:100mmmHH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 a a取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 m m m mNN. . ,),(,),( , 22212121注意两总体的方差相等注意两总体的方差相等且设两样本独立且设两样本独立样本样本的的为来自正态总体为来自正态总体的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设
14、 m m m mNYYYNXXXnn , , , 2212221均为未知均为未知方差方差是样本是样本分别是总体的样本均值分别是总体的样本均值又设又设 m mm mSSYX。检验假设检验假设 : , :211210 m mm m m mm m - - - -HH确定拒绝域确定拒绝域检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0 cyx - - - knnsyxw - - -2111)( a a m mm m - - - - -knnSYXPw2111)(21 , 00HHP拒绝拒绝为真为真检验法则：检验法则： 拒绝拒绝H0 211)(21221- - - - -nntnnsyx
15、wa a 关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表表8.1,. 0 的情况的情况常用常用 例例2 P1852 P185三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种两种方法等的差异方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比我们常在相同的条件下作对比试验试验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数然后分析观察数据作出推断据作出推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例3 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属用来测量材料
16、中某种金属的含量的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备制备了了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下: 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0%-
17、 - - - yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?)01. 0( a a32 设有设有n对相互独立的观察结果对相互独立的观察结果:(X1,Y1), (X2,Y2), ., (Xn,Yn), 令令D1=X1- -Y1, ., Dn=Xn- -Yn, 由于由于D1,Dn是由同一因素所引起的，可认是由同一因素所引起的，可认为它们来自同一总体。为它们来自同一总体。设设DiN(m mD, D2), i=1,2,.,n, 其中其中m mD, D2未知未知.则则D1,D2,.,Dn相互独立相互独立.D1,Dn是来自总体是来自总体N(m mD, D2
18、)的简单随机样本。的简单随机样本。33我们需要基于这一样本检验假设我们需要基于这一样本检验假设:(1)H0:m mD=0, H1:m mD 0;(2)H0:m mD 0, H1:m mD0;(3)H0:m mD 0, H1:m mD0.D1,Dn是来自总体是来自总体N(m mD, D2)的简单随机样本。的简单随机样本。34分别记分别记D1,D2,.,Dn的样本均值和样本方差的观的样本均值和样本方差的观察值为察值为 d, sD2, 按表按表8.1中单个正态总体均值的中单个正态总体均值的 t 检验检验. 知检验问题知检验问题(1),(2),(3),的拒绝域分别为的拒绝域分别为(显著性水平为显著性水
19、平为a a):).1(0),1(0),1(0|2/- - - - - - - - - - - - - ntnsdtntnsdtntnsdtDDDa aa aa a 0. : 0, : 10 DDHHm mm m拒绝域为拒绝域为 , )1(/0 2/- - - - ntnsdtDa a , 9 n由由,3554. 3)8()8(005. 02/ a att,06. 0 d,1227. 0 Ds467. 1 t可知可知 , 0H所以接受所以接受认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 第三节第三节 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验一、单个总体一、单个总
20、体的情况的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 m mN , , ),( 22均为未知均为未知设总体设总体 m m m mNX , : , : 20212020 HH(1) 要求检验假设要求检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0为已知常数为已知常数其中其中 , 0为真时为真时当当H 1,1 ,1 202或过分小于或过分小于不应过分大于不应过分大于附近摆动附近摆动在在比值比值 s , a a设显著性水平为设显著性水平为检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0检验法则：检验法则： 拒绝拒绝H022021202cscs 或
21、或 2202120211ksnksn - - - - 或或 , 00HHP拒绝拒绝为真为真.)1( )1(2202120220a a - - - - kSnkSnP为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取,2 )1(120220a a - -kSnP,2 )1(220220a a - -kSnP . )1( , )1( 22/222/11- - - - - -nknka aa a 故得故得检验法则：检验法则： 拒绝拒绝H0 111122202221202- - - - - - - -nsnnsna aa a 或或 . 2检验法检验法上述检验法称为上述检验法称为 解解 ,5000:,5000
22、: 2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 a a,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ - - a an)02. 0( a a例例1 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断问根据这一数据能否推断这
23、批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?2 2s,524.11)25()1(299. 022/1 - - - a an )1( 202 - - sn,524.11拒绝域为拒绝域为: )1( 202 - - sn或或. 4.3144 465000920025)1( 202 - - sn因为因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 认为这批电池的寿命波动性较以往认为这批电池的寿命波动性较以往有显著的变化有显著的变化.二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 m m m mNN,),( , 21121的样本的样本为来自正态总体
24、为来自正态总体设设 m mNXXXn , 222121均为未知均为未知又设又设 m mm m , : , : 2221122210 HH需要检验假设需要检验假设: ,),(,22221的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体 m mNYYYn ., ,2221SS其样本方差为其样本方差为且设两样本独立且设两样本独立 , 0为真时为真时当当H),()(22222121SESE 11 2221或过分小于或过分小于不应该过分大于不应该过分大于观察值观察值ss检验法则：检验法则：拒绝拒绝H02222112221csscss 或或检验法则：检验法则：拒绝拒绝H0222212221122212221kss
25、kss 或或 , 00HHP拒绝拒绝为真为真. 2222122211222122212221a a kSSkSSP为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取 )1, 1( 21211- - - - -nnFka a故得故得21222122212221a a kSSP2 2222122212221a a kSSP )1, 1( 2122- - - nnFka a作业：作业：P218 1 2P218 1 2 （可用（可用EXCELEXCEL计算均值和方差）计算均值和方差）可思考：可思考：9 9例例1 1 设总体设总体X服从服从Nm,Nm,2 2,m,m未知，未知， 2 2100100，现有现有样
26、本样本x1,x2,x52,算得样本均值为算得样本均值为62.75.62.75.现在来现在来检验假设检验假设第第8节节 假设检验问题的假设检验问题的p值法值法u以上讨论的假设检验方法称为临界值法。以上讨论的假设检验方法称为临界值法。60 : 60, :100 m mm mm mHH采用采用Z Z检验法，检验统计量为检验法，检验统计量为 1 , 00NnX m m- -983. 152106075.6200 - - - - nxz m m检验统计量的观察值为检验统计量的观察值为 0238. 0983. 11983. 10 - - ZPzZP这个概率称为这个概率称为Z Z检验法的右边检验的检验法的右
27、边检验的p p值。值。看看z z0 0是否落入拒绝域是否落入拒绝域 a azz a azz 和和其实就是要比较其实就是要比较0是原假设是原假设H H0 0可被拒绝的最小显著性水平。可被拒绝的最小显著性水平。 0238. 00 zZPp值值对于任意给定的显著性水平对于任意给定的显著性水平a a， 0H,1下拒绝下拒绝则在显著性水平则在显著性水平值值若若a aa a p 0H,2下接受下接受则在显著性水平则在显著性水平值值若若a aa a p均值的检验中均值的检验中正态总体正态总体),( 2 m mN 2 2 未知时，可采用检验统计量未知时，可采用检验统计量 10- - - ntnSXtm m ;
28、 : , : . : , : ; : , : 010001000100m mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm m HHHHHH假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 ; : , : 0100m mm mm mm m HH假设检验假设检验 右侧尾部面积右侧尾部面积值值000tttPp m mp p值值t0 ; : , : 0100m mm mm mm m HH假设检验假设检验 左侧尾部面积左侧尾部面积值值000tttPp m mp p值值t0 ; : , : 0100m mm mm mm m HH假设检验假设检验值值p0.5p0.5p值值t0时时当当00
29、t 右侧尾部面积右侧尾部面积02t 000ttttP - - m m 00ttP m m ; : , : 0100m mm mm mm m HH假设检验假设检验值值p0.5p0.5p值值t0时时当当00 t 左侧尾部面积左侧尾部面积02t 000ttttP- - m m 00ttP- - m m01. 0 值值若若p称拒绝称拒绝H H0 0的依据很强，的依据很强，或称检验是高度显著的。或称检验是高度显著的。05. 001. 0 值值若若p称拒绝称拒绝H H0 0的依据是强的，的依据是强的，或称检验是显著的。或称检验是显著的。1 . 005. 0 值值若若p称拒绝称拒绝H H0 0的依据是弱的，的依据是弱的，或称检验是不显著的。或称检验是不显著的。1 . 0 值值若若p一般没有理由拒绝一般没有理由拒绝H H0 0
