1、第三节 线性方程组的解第三章二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法 四、小结四、小结一、齐次线性方程组的性质一、齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1）可写成矩阵方程）可写成矩阵方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若为方程为方程 的的0 Ax解，则解，则 121111n
2、x 称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量.若记若记齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间
3、为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间0 Ax10.kAx 故故也也是是的的解解如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 221112,.tk kk其其中中是是任任意意常常数数线
4、性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法111,1,10010000n rrr n rbbbbA 于是于是 可化为可化为A设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨设并不妨设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关rAA R Ar 00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入., 100, 010, 001依次得依
5、次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn, 21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn rn 线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn nrn, 2112(1),.n r 证证明明线线性性无无关关.,2)( 21线线性性表表示示可可由由证证明明解解空空间间的的任任一一解解都都rn .1
6、1方程组的一个解方程组的一个解为上述为上述设设Tnrrx ,rn的的线线性性组组合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax 0 Ax,. 下下面面来来证证明明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程与与由由于于0 又又等等价价于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111,都都是是此此方方程程组组的的解解与与所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11
7、方程组方程组. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.rn, 1说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 rn, 210 Ax.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 定理定理.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线
8、性方程组);0,(,)( 维向量空间维向量空间为为向量向量此时解空间只含一个零此时解空间只含一个零系系故没有基础解故没有基础解方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR .,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空间可表示为解空间可表示为为任意实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组的基础解系和通解求齐次线性方程组的基础解系和通解 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxx
9、xxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换11143011310000000000 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.123452345433xxxxxxxxx 代代入入11143011310226202262 543xxx令令, 010, 001. 100345xxx选选 ， ，为为自自由由未未知知量量，所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.k
10、kkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 例例2 2).()(ARAART 证明证明证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此1212 (1),0.xxAxbxAx设设及及都都是是的的解解 则则
11、为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明 AAA.的解的解是方程是方程所以所以bAxx (2),0,.xAxbxAxxAxb设设是是的的解解是是的的解解则则仍仍是是方方程程的的解解0bb.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性
12、方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题: :bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证
13、明大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法12345123452345123457,3232,22623,534312.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解11111731213202126235343112B 例例3 3 求下述方程组的解求下述方程组的解1111170212623000000000000
14、.,知知方方程程组组有有解解由由BRAR 2,3R Anr .100,010,001543 xxx 令令345xxx选选 ， ，为为自自由由未未知知量量，先求对应的齐次线性方程组的基础解系：先求对应的齐次线性方程组的基础解系：且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组123452345722623xxxxxxxxx .10032,01010,0012121321 故得对应的齐次线性方程组的基础解系故得对应的齐次线性方程组的基础解系依次得依次得.32,10,212121 xx代代入入对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组12345234502260 xxxxxxxxx 1231 2029 2
15、1 21323 2.100001000010 xkkk.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk故所求通解为故所求通解为再求非齐次线性方程组的一个特解：再求非齐次线性方程组的一个特解：3450 xxx令令123452345722623xxxxxxxxx 代代入入12923,.22xx 得得齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结Axb 有有解解 nBRAR nBRAR .有无穷多解有无穷多解bAx BRAR .无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 R AR Ab 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次
16、线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考题, 1)(,3 ARmA矩阵矩阵是是解解 思考题解答.2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba ,21231)(211 bca ,23230)(213 acb ,25210)(212 cba ,21121 23131 .0的基础解系中的解向量的基础解系中的解向量为为 Ax的通解为的通解为故故bAx ,2123123121121321 kkxxx.,21为任意实数为任意实数其中其中kk练习练
17、习：求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B11011 200121 200000( )( )2,R AR B可可见见故故方方程程组组有有解解 并并有有240,xx令令,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 124340,20 xxxxx 在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组中中1243412122xxxxx 2410,01xx 令令及及,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx
