1、第二节 函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结第二章( ),yf x 对对于于函函数数 000(4) xxxxx从从 的的左左右右两两侧侧趋趋向向于于00000(5)(xxxxxxxxx 且且即即 从从右右侧侧趋趋于于 ）00000(6)(xxxxxxxxx 且且即即 从从左左侧侧趋趋于于 ） (1) xxx 既既可可取取正正值值也也可可取取负负值值且且无无限限增增大大(2)(xx 取取正正值值无无限限增增大大） (3) xxx 取取负负值值且且无无限限增增大大自变量变化过程的六种形式:limnnxa :nx对对于于数数列列0,nN
2、nNxa 使使得得当当时时恒恒有有( )( )f xAf xA 表表示示任任意意小小xXx 表表示示的的过过程程如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.一、自变量趋向无穷大时函数的极限Xx说说明明 充充分分大大的的程程度度0, 定定义义X 0,0,( )XxXf xA使使得得当当时时 恒恒有有 Axfx)(lim:(),)( ,)()fD fRD f 设设是是一一个个函函数数,(-,(-:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xlim( )xf xA.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA
3、另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理lim( )lim( ).xxf xf xA 几何解释几何解释:A A X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA例例1. 0sinlim xxx证明证明证证sinsin0 xxxx1x 1x 即即, 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx sin0,xx 要要使使. 0sinlim xxx故故coslim0 xxx 证证明明例例2,0sin xx1x 只只要要二、自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 00
4、0.xxxx 表表示示的的过过程程x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 0, 定义定义 00,0,0,( ).xxf xA 使使得得当当时时恒恒有有 0:fU xR设设是是一一个个函函数数几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：00001. ( )( )( )( );f xxxf xxf xxf xx在在时时的的极极限限只只与与在在的的某某去去心心 邻邻域域
5、的的值值有有关关，与与在在处处是是否否有有定定义义或或在在处处取取值值的的大大小小无无关关. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例3).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(,成立成立 0 .lim0CCxx 例例4.lim00 xxxx 证明证明证证0( )f xAxx, 取取00,xx 当当时时0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx Axf)(CC 0故,0对任意的当00 xx时 , 总有,0,0故例例5. 211lim21 xxx证明证明证证21( )21xf xAx 0, 1,x 只只要要,00时时当当 xx(函数在点函数在点x=1处没
6、有定义处没有定义)1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx, 取取例6. 证明证明: 当当0( )f xAxx00 x证证:001xxx,00 xx因此只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取0 x 则当00 xx时,必有,)( Axf要使要使例例72221lim44xxx 证证明明证证221( )44xf xAx 0, 22221( ),444212xxxf xAxx 只只要要,00时时当当 xx242xx ,)( Axf要使要使. 211lim21 xxx min 1,12, 取取02xxx由由于于，故故可可限限
7、制制 在在 的的一一个个小小邻邻域域内内考考虑虑极极限限，(2,1)021,xUx不不妨妨限限制制 在在内内考考虑虑极极限限，即即23x 从从而而212 ,x 即即22144xx 左极限左极限00,0,0,( ).xxf xA 使使当当时时恒恒有有右极限右极限00,0,0,( ).xxf xA 使使当当时时恒恒有有000:000 xxxxxxxxx 注注意意Axfxfxx )(lim)0(00记作记作Axfxfxx )(lim)0(00记作记作,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近);0(00 xxxx或或记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近);0(00 xxxx或或记记作作另两种情
8、形另两种情形:.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例8证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim 11x 说明：若左右极限中有一个不存在或者虽然左右说明：若左右极限中有一个不存在或者虽然左右极限都存在但不相等极限都存在但不相等,则此时极限不存在则此时极限不存在.在函数极限不存在的情况中，还有一种比较特别： 0:fU xR设设是是一一个个函函数数. .00,0,0,Mxx若若使使得得当当时时( )
9、f xM 恒恒有有0( )xxf x则则称称当当时时的的极极限限为为无无穷穷大大， 00lim( )( )xxf xf xxx 记记作作或或0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有00,0,0,Mxx使使得得当当时时00,0,0,Mxx使使得得当当时时类似：三、函数极限的性质2.局部有界性局部有界性1.唯一性唯一性, 00)(lim0 与与存存在在，则则若若MxfxxMxfxUx )(),(0都都有有使使得得 00lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x若若且且或或则则当当时时或或
10、定理定理( (局部保号性局部保号性) )00lim( ),0,(, ),( )0( )0),0(0).xxf xAxU xf xf xAA若若且且当当时时或或则则或或推论推论思考: 若推论中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能0lim20 xx如 3.不等式性质不等式性质推论推论000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 设设且且则则有有定理定理( (局部保序性局部保序性) )000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxU xf xg xAB 设设若若有有则则四、小结
11、函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(1lim( )xf x 1lim( 31)2,xx 左极限存在左极限存在,1lim( )xf x 1lim1,xx 右极限存在右极限存在,1lim( )xf x 1lim( )xf x 1lim( )xf x不不存存在在习题：习题：解解
