1、三、不定积分 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(CxFdxxf )()( 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. 求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法(代换: )(tx3. 分部积分法分部积分法vuxvudxvud例. 求求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dl
2、n1xaaaxxdlnd3232lnln)arctan(xC 例. 求求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx例. 求求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分例例. .解解:.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin211arcsin.xCx
3、x (倒代换倒代换)例. 求求.d1xx解解:1x 1x,1x1x,1x则( )1 dF xxx 1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续 , (10)(10)(1),FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 分段函数求不定积分4.几种特殊类型的积分一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换要注意综合运用各种基本积分法例. 求求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 则,l
4、n6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323例. 求求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明: 此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA例例 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令 dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 661,1xttx则则,d),(xbaxxRn,d),(xxRndxcbxa,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat., 的最小公倍数为nmp
