1、第一节 数列的极限一、数列的定义二、数列的极限三、数列极限的性质第二章一、数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定义定义: 自变量取自然数的函数称为数列,)(nfxn或.nxnx其中 为数列的第n项，称为通项或一般项 .记作按自然数顺序可将对应的函数值排列起来：12,nxxx说明：说明： 数列对应着数轴上一个点列，可看作一数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33,
2、 3 二、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有0, 任任意意给给定定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx问题
3、问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它？刻划它？ 1nxnnn11)1(1 此时也称数列为收敛数列，否则称数列为发散数列此时也称数列为收敛数列，否则称数列为发散数列.说明：说明：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn 2.N 不不是是唯唯一一的的，通通常常与与 有有关关x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 因此数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关因此数
4、列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关.lim0,.nnnxaNnNxa使使得得当当时时 恒恒有有所以，改变数列的前有限项不改变其收敛性和极限所以，改变数列的前有限项不改变其收敛性和极限.数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 0, 1,nx 要要使使,1 n只要只要1,n 即即所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任
5、给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证0, 0,nnxqlnln ,nq 只只要要,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 0,nnxq 要要使使例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn
6、求证求证且且设设证证.limaxnn 故故,limaxnn 0,nNnNxaa使使得得当当时时恒恒有有axaxaxnnn 从而有从而有aaxn aa nnnnxaxaxaxaa 23baab22abnabax证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯
7、一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 .nx满足的不等式三、数列极限的性质2.有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则
8、. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .此性质反过来不一定成立 .例如,1)1(n虽有界但不收敛 .数列12,knnnxxx在数列nx中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为的子数列（或子列）原数列nx设在数列 中，nx第一次抽取 ，1nx第二次在 后抽取 ，1nx2nx第三次在 后抽取 ，2nx3nx这样无休止地抽取下去，得到一个数列knx这个数列 就是数列 的一个子数列.nx注意：注意：在子数列 中，knxk
9、nx一般项 是第k项，Kn而在原数列中却是第 项.3.收敛数列与子数列间的关系收敛数列与子数列间的关系显然， . knk ,axkn定理：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .Kn证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取,KN 则当Kk 时, 有knNn 从而有由此证明 .limaxknkN 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 则原数列一定发散 .说明说明: 说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 任一子数列收敛于同一极限思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个发散的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.lim0nnnx y 证证明明：lim0nny 又又， 2.nx设设数数列列有有界界，
