1、关于二次曲线极线理论的初等数学证明以及一些拓展内容关于二次曲线极线理论的初等数学证明以及一些拓展内容二次曲线的极线是解析几何中的研究重点，本文将从中点弦出发，推导出极线的一系列性质以及其他结论。全文除了用到帕斯卡定理外全都只用到初等数学。本文也提出七条线，一种轨迹其实都可以用一个方程统一得到，下面我们开始证明。1 1、中点弦中点弦：思考下面的问题：设点 P(x0，y0)在二次曲线的内部，求二次曲线的以 P 点为中点的弦所在直线的方程。我们可以使用中学阶段比较熟悉的点差法， 来简单地求出这条直线(称为中点弦直线中点弦直线， 简称中点弦中点弦)的方程。注意，二次曲线的一般形式为220AxBxyCy
2、DxEyF（A,B,C 不同时为 0） ，其中还有交叉项 xy，计算会比标准形式复杂一些。设这条弦的 2 个端点分别为11(,)A x y，22(,)B xy则221111110AxBx yCxDxEyF，222222220AxBx yCxDxEyF相减得到1212112212121212()()()()()()()0A xxxxB x yx yC yyyyD xxE yy注意到1202xxx，1202yyy，消去2x，2y整理得到00100010(2)()(2)()0AxByD xxCyBxEyy，显然，向量0000(2,2)AxByDCyBxE，就是中点弦的法向量中点弦的法向量，那么中点弦
3、的方程中点弦的方程就可以写成0000000000(2)(2)(2)(2)AxByD xCyBxE yAxByD xCyBxE y整理成如下形式22000000000000222y xx yxxyyAx xBCy yDEFAxBx yCyDxEyF这个式子是容易记忆的，对于左边，只需要把220AxBxyCyDxEyF中的2x成0 x x，2y换成0y y，xy换成)(2100 xyyx，x换成)(210 xx，y换成)(210yy ， 常数项不变，对于右边由于 P 点在直线上，把 P 点的坐标带入到左边就可以得到。2 2、切线切线：当 A，B 两点无限接近而变成一个点的时候，中点 P 也与 A，
4、B 两点重合，这个时候，所谓中点弦就变成了过二次曲线上一点 P 的切线。 由于 P 点在曲线上， 所以220000000AxBx yCyDxEyF，那么，中点弦公式就可以化简为：0)(21)(21)(21000000FyyExxDyCyyxxyBxAx于是我们也得到了过二次曲线上一点的切线的方程3 3、切点弦切点弦：如下图所示，P 点在二次曲线外部时（以椭圆为例） ，作二次曲线的两条切线（二次曲线不仅仅包括圆锥曲线，还有可能表示别的图形，这里只讨论可以作 2 条切线的情况） ，切点 A,B 所在的弦称为切点弦，我们来求切点弦方程，规定 A 的坐标脚标用 1 作记号。B 的坐标脚标用 2 作记号
5、。由上面的结论，PB，PA 都是切线，其方程可以写为：PA:111111111222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyFPB:111222222222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF由于 P(x0,y0)在 PA,PB 上，所以1111 00110101010222()()()0Ax xB x yx yCy yD xxE yyF111200220202020222()()()0Ax xB x yx yCy yD xxE yyF那么(x1,y1) (x2,y2)，可以看成是方程111000000222()()()0AxxB x yxyCyy
6、D xxE yyF的两组解，由于这个方程是一次的，因此表示一条直线，由于 A,B 的坐标满足这个方程，那么 A，B两点就在这条直线上。由于两点确定一条直线，这个方程就是直线 AB，也就是切点弦方程。注意，这里的切点弦方程与切线方程形式是一样的，只是定点 P 与二次曲线的相对位置不一样而已，分别对应 P 在曲线外部，p 在曲线上。那么 P 在曲线内部时，上面的方程有什么意义呢？4，切线交点轨迹（椭圆为例）如下图 P(x0,y0)是二次曲线内任意一个定点，过 P 点任意作直线交二次曲线于，A,B 两点。过这两点分别作切线，切线的轨迹的交点记为 Q(x3,y3)，我们来求 Q 点的轨迹方程。直线 A
7、B 对于 Q 点来讲是切点弦，于是 AB 方程可以写为111333333222()()()0AxxB x yxyCyyD xxE yyF，由于 P 点在这条直线上，那么就有111033003030303222()()()0Ax xB x yx yCy yD xxE yyF，于是33(,)xy可以看成是方程111000000222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF的解，所以 Q33(,)xy就在直线111000000222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF上，注意，这里的切线交点轨迹方程，和前面的切点弦方程，切线方程形式上一致。说明不管 P
8、 点在什么位置，这条与 P 点对应的直线都是有意义的，这就是我们这篇文章的主角：极线。5，极点与极线我们定义：平面内对于二次曲线220AxBxyCyDxEyF，和一个定点 P（x0,y0)直线111000000222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF， 叫做 P 关于二次曲线的极线， 简称极线，而 P 点称为关于这条极线的极点。P 点在曲线内，曲线上，曲线外都有明确的几何意义。有关极线的其他性质，后面会着重介绍。6，类极线了解了极线后，笔者为了方便，引入了类极线的概念。类极线是指方程为（两边的 F 可以消去，但是为了容易记忆，没有省略）220000000000002
9、22y xx yxxyyAx xBCy yDEFAxBx yCyDxEyF的一条直线， 容易知道这条直线与极线平行。这个解析式很眼熟，P 在曲线内部时，类极线是中点弦，而极线是切线交点轨迹，可见两者是平行的。当 P 点在曲线上时，类极线的右边是 0。极线与类极线是一致的，都表示切线。当 P 点在曲线外部时，极线是切点弦，而类极线是过 P 点，且与切点弦平行的直线。至此，三条极线，两条（有一条切线与极线一致）类极线都可以用前面讲的将2x换成0 x x，2y换成0y y，xy换成1002()x yy x，x换成102()xx，y换成102()yy，常数项不变的方法得到，可以直接得到的是极线。 由于
10、类极线都是过 P 点的， 因此类极线的右边还要加上把 P 点坐标代入到左边的结果。到这里，实现了“六线一方程”7，双切线前面讲了很多与切线有关的问题，但是都没有谈到切线的方程应该怎么求。要注意到切线一般有两条，求出来的方程要是包含这两条的话，也是二次曲线。我们退一步，考察这个问题，如下图，P 是曲线外任意一个定点，任意作两条直线分别于曲线有 2个交点。在已知直线 AC，BD 方程的前提下如何求 PA,PC 的方程。设22( , )G x yAxBxyCyDxEyF，表示二次曲线这个问题非常简单，设直线 AC，BD 方程分别为1( , )0F x y ，2( , )0F x y 那么方程12(
11、, )( , )( , )0G x yF x y F x y，表示经过 A,B,C,D 的二次曲线系，如果把 P 的坐标带入，定出，那么这成了一条确定的二次曲线，而且还过 P 点。我们现在想象，如果让这两条直线旋转起来，使得 A,B 重合，C,D 重合。那么这两条直线都变成了切线。这时 AC 正好是切点弦，于是 F1,F2 都成了极线11112000000222( , )( , )()()()0F x yF x yAxxB x yxyCyyD xxE yyF这时，就有21( , )( , )0G x yF x y，带入 P 的坐标即可求得这样的二次曲线。注意，由于确定这条二次曲线我们只用了两个
12、切点，一个定点也就是三个点，因此这个方程表示的二次曲线只能是两条相交直线，也就是我们要求的双切线方程。这样，就实现“七线一方程”了，用之前的诀窍，可以快速地写出双切线的方程。8，弦中点轨迹思考这样的一个问题：过任意一个定点，作任意一条直线交二次曲线于两点，当直线转动时两个交点的中点（也就是弦的中点）的轨迹是什么？有了前面的基础，这就比较简单了。设那个中点是 Q11( ,)x y,那么这条直线不就是中点弦吗？（注意，中点弦与弦中点的区别） ，那么直线可以写为1112200000011 1111222()()()AxxB x yxyCyyD xxE yyFAxBx yCyDxEyF别忘了这是类极线
13、之一。由于 P 点也在这条直线上，那么111221 0011010101011 1111222()()()Ax xB x yx yCy yD xxE yyFAxBx yCyDxEyF于是 Q11( ,)x y可以看成是方程11122000000222()()()AxxB x yxyCyyD xxE yyFAxBxyCyDxEyF的一个解，那么这也就是其轨迹。我们仔细审查这个式子，我将它这样写：11122000000222()()()AxBxy CyDxEyFAxxB x yxyCyyD xxE yyF左边就是二次曲线的方程，右边是极线方程。这是容易记忆的。关于这个方程我还想说一点题外话，由于二
14、次曲线的种类很大程度上取决于三个二次项系数，A，B，C，而方程右边只不过是多了一些一次项和常数。这对于二次曲线的类型没有太大影响，也就是说弦中点轨迹与原来的二次曲线的类别基本上是一类的。事实上可以肯定，如果原来的二次曲线表示的是圆锥曲线的话，弦中点的轨迹一定是一类的。通俗地将，椭圆的弦中点轨迹一定是椭圆，双曲线的一定是双曲线，抛物线的是抛物线。这方面内容以及超出中学数学的范畴，因此就不再赘述了。9.极线的性质一极线的性质很多，下面来一一介绍。如图，过 P 点任意做直线，交二次曲线于 A,B，交极线与 C 点，则211PBPAPC那么设这条直线的参数方程为0cosxxt，0sinyyt，分别带入
15、二次曲线方程与极线方程，得到：22000000(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )0A xtB ytxtC ytD xtE ytF11000000000022(cos )( (sin ) (cos )(sin )(cos )Ax xtB x ytxtyC ytyD xtx1002(sin )0EytyF不要被这两条“巨蟒”吓唬了设第一个方程两个根为1t，2t，第二个方程的根为3t我们要证明的等价于123121 2211tttttt t注意121 2ttt t的值借助于韦达定理，容易知道只与常数项和一次项有关，我们无需展开第一个方程。整理之后发现，等式确实是成
16、立的。此性质已经在不少考题中出现，应该给予高度重视。9.极线的性质二仍然参考上面的图，其实还有一组数量关系：|PC|AB|=|PA|BC|对于存在这样的关系的四个点，我们称之为调和点列，或者它们调和分割。不少大学解析几何的教材就是这么定义极线的。证明其实很简单，211()()PC ABBC APPCPBPAPCPBPAPBPAPC10.极线的性质三点 P 的极线上的任意一点 Q 的极线过点 P，换句话说如果点 P 的极线过点 Q，那么点 Q 的极线过点 P证明：点 P 的坐标用 0 标记，点 Q 的坐标用 1 标记，P 点的极线为111000000222()()()0AxxB x yxyCyy
17、D xxE yyF由于极线过 Q 点111100110101010222()()()0Ax xB x yx yCy yD xxE yyF这个式子说明 P（x0,y0)是方程111111111222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF的解，也就是 P 点在 Q 的极线上。11极线的性质四点 P 的极线经过 P 的充分必要条件是 P 在二次曲线上。这个命题是很容易证明的，点 P 的极线方程为，111000000222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF必要性，如果点 P 在极线上，代入得到220000000AxBx yCyDxEyF也就是说明 P
18、 在二次曲线上充分性，如果点 p 在二次曲线上，则220000000AxBx yCyDxEyF，显然（x0,y0)是111000000222()()()0Ax xB xyx yCy yD xxE yyF的解，也就是说，P 点在极线上。12.极线的性质五在介绍这个性质，笔者先介绍一下著名的帕斯卡定理，定理的证明网上都有，这里略去帕斯卡定理：圆锥曲线圆锥曲线内接六边形三对边所在直线的交点共线。如图 ABCDEF 就是一个内接六边形，对边三个交点 X,Y,Z 共线，我们把这条线记为 L注意其中的 B,D 两点，我们固定A,C,E,F 点，先让 B与 C 重合，D 与 F 重合，这样，BC,DF 直线
19、就成了椭圆的切线。我们得到一个圆锥曲线的内接四边形，这相当于帕斯卡定理的极限情形，我们对这个“六边形”用帕斯卡定理， 就可以知道对边交点 X,Z 与 C， F 对应切线的交点在 L 上。 值得注意的是 CF 是切点弦，说明 L 是切点弦 CF 上某个点的极线。另一方面，这个四边形我们也可以看成是 B 与 A 重合，F 与 E 重合得到的，再对这个“六边形”使用帕斯卡定理，由于前后 2 次使用帕斯卡定理的对象其实本质上是一个六边形，因此 L 不会变化，那么 A，E 处的切线交点也在 L 上，同理 AE 是切点弦，说明 L 是切点弦 AE 上某个点的极线。两个点的极线都是 L,说明这两个点必须是同
20、一个点，也就是 AE，CF 的交点，也就是四边形对角线的交点。由此我们得到一个重要的结论：对于圆锥曲线内部任意一个定点 P，对于任何内接四边形，只要这个四边形的对角线交点是这个定点，那么其对边所在直线的交点，对顶点处的切线的交点，都在这个定点的极线上。这是后面几个小节论述几何作图的重要基础。15，极线的性质六圆锥曲线的焦点的极线是准线。很简单，用标准方程计算就可以了。至于一般情况下的圆锥曲线方程，只不过是标准情况的圆锥曲线经过平移，旋转得到的。14，几何作图：求圆锥曲线内一点的极线利用前面的分析就非常简单了，过 A 任意作两条直线交圆锥曲线与 4 点，这就构成了一个以 A 为对角线交点的四边形
21、，两组对边所在直线的交点所构成的直线就是准线。这里还有一些结论，我们让其中一组对边所在直线的交点在极线上运动起来，那么这个四边形就是变化的，但是对角线的交点始终是 A。这个性质再武汉市 2018 年二月调考中已经考过了。如果，过 A 点作极线的平行线，那么就是中点弦了，这里还有一个蝴蝶定理，最后再讲。15，几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，进而求出切线设圆锥曲线外一定点是 A，过任意作三条直线交圆锥曲线于 6 个点，将相邻的 4 个点交叉相连，得到 B,C 两点。对于 B，B 相当于是一个四边形的对角线交点，而 A 是对边所在直线的交点，根据之前的结论，B 极线过 A。再根据性质三，A 的极线
22、也过 B。同理，A 极线也过 C，那么根据两点确定一条直线，直线 BC 就是 A 的极线。直线 BC 与圆锥曲线交于 D 和另外一个点（图中没有标出） ，连接 AD，就是切线。对于另外一个点也是如此。这不失为一种画切线的好方法16，几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，也就是切线曲线上有一定点 A，为了求出切线，可以想办法构造图形，方便利用前面的结论。任意做一个以 A 为顶点的四边形，对角线交点为 C，利用前面的结论先作出 C 的极线。在 AC 上任取一点 B，作出 B 的极线与 C 的极线交于 Q。由于 B 的极线，C 的极线过 Q，那么 Q 的极线过 BC,事实上 BC 就是 Q 的极线。那么
23、 A 就是切点弦的一个端点了，连 AQ，即为切线。B 在 AC 上运动时，极线会绕 Q 点转动，这是很明显的结论，不仅仅对极线是这样。证明略。17，蝴蝶定理。蝴蝶定理十分优美，就笔者浅薄的学识，笔者认为这是数学中我见过的最优美的定理！蝴蝶定理：如图，C 点是圆锥曲线内部任意一个点，过 C 点的任意两条直线与圆锥曲线交于 L,F,G,H。过 C 点作其极线的平行线（也就是中点弦） ，被 LF,GH 所截得的两条线段相等。我们来证明这个结论，一番摸索后，发现使用直线的参数方程比较方便。设 C（x0,y0)设 LH,GF 的方程分别是：010()0yyk xx，020()0yykxx过 L,G,H,
24、F 的二次曲线的方程是： （斜率不存在的特殊情况只需要稍加修改即可，不影响结论）22010020()()()0AxBxyCyDxEyFyyk xxyyk xx而 BD 的方程是22000000000000222y xx yxxyyAx xBCy yDEFAxBx yCyDxEyF由此可以知道这条直线的斜率， （不存在的话另加讨论）是000022AxByDkCyBxE 那么参数方程可以设为0 xxt，0yykt带入到22010020()()()0AxBxyCyDxEyFyyk xxyyk xx中 ， 我 们 要 证 明 的 是120tt，只需要计算一次项即可。对于后面那个括号化简得到212()(
25、)tkkkk，只有二次项，因此不需要理会。计算前面括号的一次项得到一次项为：00002(2)AxByDkCyBxE，显然为 0，根据韦达定理，120tt注意， 这里我们代入的那个方程只是表示过 L,G,H,F 的二次曲线，我们的事实上证明了更加一般的结论：中点弦被任何过 L,G,H,F 的二次曲线所截得的线段长度相等。过 L,G,H,F 的二次曲线当然包括LF,GH 两条直线，而且此时的图形想一只翩翩起舞的蝴蝶，太奇妙了！看来，蝴蝶两个翅膀是一样长的，这也和大自然的现象差不多吻合，充分说明了数学的自然之美！当然，还有更加简洁的证法，将方程0 xxt代入到( , )0G x y 中0yykt其中22( , )G x yAxBxyCyDxEyF，由于这条直线的是平行于极线，那么就是类极线，也就是中点弦，那么两解120tt，说明这个得到的二次方程没有一次项把这条直线带入到22010020()()()0AxBxyCyDxEyFyyk xxyyk xx中前面算过010020()()yyk xxyyk xx只提供二次项，而22( , )G x yAxBxyCyDxEyF没有一次项，那么这个方程两解之和也是 0，得证。
