1、教学设计稿纸（第 1 页）【本学期第67个教案】授课课题11.4.1 无理数与实数无理数与实数授课时间第8周，第2课时课时计划本课题计划3课时，本节课为第1课时本节课型新授教学目标教学目标知识技能知识技能：1.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程；2.能用有理数估计一个无理数的大致范围；数学思考：数学思考：培养数感和估算能力；问题解决问题解决：通过拼图、折纸和画图等活动体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系；情感态度情感态度：经历无理数的探索过程，体会无理数引入的必要性，在一系列探究活动中，体会数系的扩展过程，提高数学素养，形成科学的思维方式.重点难点重点难点重点重点：通
2、过实际操作，理解无理数的概念和它的本质特征无限不循环小数；难点：难点：探究无理数的无限不循环特性.教学方法教学方法小组合作探究小组合作探究是否要录课是否要录课是是器材资源器材资源边长为1dm的正方形纸片两张,边长为2dm的正方形纸片一张，剪刀是否用多媒体是否用多媒体是是板书设计板书设计11.4 无理数无理数124124122即教学过程教学过程师生活动师生活动设计意图设计意图一、一、创设情境创设情境提出问题提出问题问题问题 1:2 的算数平方根是多少？问题问题 2 2：生活中能否找到2？探究活动一：寻找2如何通过面积为 1 和 4 的正方形纸片构造出2？方案 1：利用面积为 1 的两个正方形纸片
3、拼图；方案 2：利用面积为 4 的正方形纸片折叠.通过构造面积为 2 的正方形的探究活动， 求出面积为2 的正方形边长，引出了长度2，使学生感受2的客观存在性，为认识2提供实际研究对象.为在数轴上表示2做好铺垫.无无理数：无限不循环小数.2，3，5-，353，有理数整数分数实数教学设计稿纸（第 2 页）教学过程教学过程师生活动师生活动设计意图设计意图二、二、问题引领问题引领探究新知探究新知探究活动二：认识2问题问题 3 3：2是有理数吗？为什么？（1）有理数按组成可以怎样分类？（2）判断分析：从有理数组成的两个部分说明:1.是否是整数;2.是否是分数.我们可以通过测量，发现2是 1.5 左右的
4、数，也 可 以 结 合 三 个 正 方 形 面 积 进 行 推 理124 124122即 ，综上，我们知道2介于整数 1 和 2 之间，所以2不是整数，而是小数小数.如果2是分数的话，分数的平方还是一个分数，而2的平方是 2，所以2不是分数不是分数，分数可以化为有限小数或无限循环小数.小结：小结：2不是有理数.问题问题 4 4：2多大？学生独立思考，小组合作探究.方法 1：测量法判断方法 2：结合图形，借助计算器估算1.9622.251.9622.251.421.5即1.988122.01641.988122.01641.4121.42即小结：小结：条件允许的话，我们可以借助计算机找到比2 小
5、的完全平方数和比 2 大的完全平方数，通过对通过引导学生分析2不是有理数,以及对分数都可以化为有限小数和无限循环小数的分析,让学生初步感受2的无限不循环性.通过探究2有多大让学生知道有限小数只是2的近似值,或是用来表示2大致范围的.进一步体会2的无限不循环性.有理数整数分数教学设计稿纸（第（第 3 页）页）教学过程教学过程教师主导与预设活动教师主导与预设活动学生主体与期望活动学生主体与期望活动三个数求算术平方根，估计出2更精确的范围.我们用有理数可以表示它的近似值.观察观察：请大家打开教材 37 页，看章前图2的小数点后 464 位排成的“回”形图，感受一下这个无限不循环小数.无理数概念：无理
6、数概念：无限不不循环小数叫做无理数无理数.剖析无理数概念要点：首先是小数其次是无限小数最后是不循环的无限小数在分析推理的基础上， 再眼见为实， 直观感受无限不循环小数.三、三、拾级而上拾级而上深入理解深入理解问题问题 5：如何在数轴上表示2？学生受面积为2的正方形启发,利用边长结果在数轴上作出表示2的点.小结:无理数也可以用数轴上的点表示.数学史阅读：数学史阅读：无理数的发现实数：有理数实数：有理数和无理数无理数统称为实数实数.拓展到用数轴上的点表示无理数， 为说明实数与数轴上的点一一对应做好铺垫.真理是在不断创新中发现的， 我们的生活也需要不断的创新.四、四、应用新知应用新知强化理解强化理解
7、例例 1： 下列各数中， 哪些是有理数？哪些是无理数？3-，0，16，335113，3-，2，37，1.7，-0.1212212221（两个 1 之间依次多一个 2）小结：小结：无理数常见的形式有：化简后含有，含有根号且被开方数不是完全平方数的数，构造的无限不循环小数.例例 2：判断：（1）无限小数是无理数（）（2）无理数是无限小数（）巩固概念， 小结无理数的几种形式.巩固对无理数的概念.帮助学生在“尝试错误、排除干教学设计稿纸（第（第 4 页）页）教学过程教学过程教师主导与预设活动教师主导与预设活动学生主体与期望活动学生主体与期望活动（3）无理数是带根号的数（）（4）带根号的数是无理数（）（
8、5）4153（）（6）形如3,aa的数是无理数（）练习：练习：估计11，35介于哪两个连续的整数之间，更接近哪个整数？应用应用：我们班的学农基地是一块 4002m的正方形土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积为3002m的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了说： “老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？扰、抓住本质”中正确认识无理数的意义.进一步熟练掌握用整数估计无理数的方法.结合实际背景的估算问题， 使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.五、五、课堂小结课堂
9、小结颗粒归仓颗粒归仓1.本节课我们学习了什么知识？2.你感触最深的是什么？3.你还有哪些困惑？回顾所学知识，梳理方法， 交流困惑， 进行回味总结.六、六、课后实践课后实践拓展延伸拓展延伸基础达标基础达标1.数学书 P49,8、9.2.操作实践：制作一个表面积是 122dm的正方体纸盒.（1）这个正方体纸盒的棱长是多少？（2）做出这个正方体纸盒.能力提升：能力提升：阅读学习：用反证法证明2不是有理数.通过基础练习、 操作实践和进一步延伸学习， 深化对无理数的理解.备课用笔颜色建议：一备用黑色水笔，二备用红色水笔。无理数的发现无理数就是不能表示为整数或整数之比的数，如2、等等 。这些数不像自然数或
10、负数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。人们发现的第一个无理数是2。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数之比。有一个名叫希帕蒂斯的学生，在研究 1 和 2 的比例中项时，左思右想都想不出这个中项值。后来他画一边长为 1 的正方形，设对角线为，他想：代表正方形对角线长，而=2，那么必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明不能是整数，因 11=1, 22=4, =2，必定大于 1 而小于 2，1 与 2 之间却没有别的整数。那么会不会是分数呢? 毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。这样，如果既不是整数又不是分数，就与毕达哥拉斯学派的信条有了矛盾。于是许多人都否定这个数的存在。而希帕索斯等人却认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯学派的“比例论”动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次 “数学危机 ”。而希帕索斯本人因违背了“比例论”的信条而受到处罚，被扔到大海里淹死了。后人为了纪念希帕索斯为真理献身的精神，将他发现的数命名为无理数。无理数的发现，使数的概念又扩展了一步。
