1、教学设计稿纸（第 1 页） 【本学期第 67 个教案】授课课题11.4.1 无理数与实数无理数与实数授课时间第 8 周，第 2 课时课时计划本课题计划 3 课时，本节课为第 1 课时本节课型新授教学目标教学目标知识技能知识技能：1.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程； 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围；数学思考：数学思考：培养数感和估算能力；问题解决问题解决：通过拼图、折纸和画图等活动体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系；情感态度情感态度：经历无理数的探索过程，体会无理数引入的必要性，在一系列探究活动中，体会数系的扩展过程，提高数学素养，形成科学的思维方式.重点
2、难点重点难点重点重点：通过实际操作，理解无理数的概念和它的本质特征无限不循环小数；难点：难点：探究无理数的无限不循环特性.教学方法教学方法小组合作探究小组合作探究是否要录课是否要录课是是器材资源器材资源边长为 1dm 的正方形纸片两张,边长为 2dm 的正方形纸片一张，剪刀是否用多媒体是否用多媒体是是板书设计板书设计11.4 无理数无理数112222222 124124122即教学过程教学过程师生活动师生活动设计意图设计意图一、一、创设情境创设情境提出问题提出问题问题问题 1: 2 的算数平方根是多少？ 问题问题 2 2：生活中能否找到？2探究活动一：寻找2如何通过面积为 1 和 4 的正方形
3、纸片构造出？2方案 1：利用面积为 1 的两个正方形纸片拼图；方案 2：利用面积为 4 的正方形纸片折叠.1111 22通过构造面积为 2 的正方形的探究活动，求出面积为 2 的正方形边长，引出了长度，使学生感受的22客观存在性，为认识提供2实际研究对象.为在数轴上表示做好铺垫.2无无理数：无限不循环小数. ，235-353有理数整数分数实数 教学设计稿纸（第 2 页）教学过程教学过程师生活动师生活动设计意图设计意图二、二、问题引领问题引领探究新知探究新知探究活动二：认识2问题问题 3 3：是有理数吗？为什么？2（1）有理数按组成可以怎样分类？ （2）判断分析：从有理数组成的两个部分说明:1.
4、是否是整数;2.是否是分数.我们可以通过测量，发现是 1.5 左右的数，2也可以结合三个正方形面积进行推理124 ，综上，我们知道124122即 介于整数 1 和 2 之间，所以不是整数，而22是小数小数.如果是分数的话，分数的平方还是一个2分数，而的平方是 2，所以不是分数不是分数，分数22可以化为有限小数或无限循环小数. 小结：小结：不是有理数.2问题问题 4 4：多大？2学生独立思考，小组合作探究.方法 1：测量法判断方法 2：结合图形，借助计算器估算 1.9622.251.9622.251.421.5即1.988122.01641.988122.01641.4121.42即小结：小结：
5、条件允许的话，我们可以借助计算机找到比2 小的完全平方数和比 2 大的完全平方数，通过对通过引导学生分析不2是有理数,以及对分数都可以化为有限小数和无限循环小数的分析,让学生初步感受的无限不循环性.2通过探究有多大让学2生知道有限小数只是的近2似值,或是用来表示大致2范围的.进一步体会的无2限不循环性.有理数整数分数教学设计稿纸（第（第 3 页）页）教学过程教学过程教师主导与预设活动教师主导与预设活动学生主体与期望活动学生主体与期望活动三个数求算术平方根，估计出更精确的范围.我2们用有理数可以表示它的近似值.观察观察：请大家打开教材 37 页，看章前图 的小2数点后 464 位排成的“回”形图
6、，感受一下这个无限不循环小数.无理数概念：无理数概念：无限不不循环小数叫做无理数无理数.剖析无理数概念要点：首先是小数其次是无限小数最后是不循环的无限小数在分析推理的基础上，再眼见为实，直观感受无限不循环小数.三、三、拾级而上拾级而上深入理解深入理解问题问题 5：如何在数轴上表示？2学生受面积为 2 的正方形启发,利用边长结果在数轴上作出表示的点.22A321-3-20-1小结:无理数也可以用数轴上的点表示.数学史阅读：数学史阅读：无理数的发现实数：有理数实数：有理数和无理数无理数统称为实数实数.拓展到用数轴上的点表示无理数，为说明实数与数轴上的点一一对应做好铺垫. 真理是在不断创新中发现的，
7、我们的生活也需要不断的创新.四、四、应用新知应用新知强化理解强化理解例例 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？， -3-0163351133-2371.70.1212212221（两个 1 之间依次多一个 2）小结：小结：无理数常见的形式有：化简后含有 ，含有根号且被开方数不是完全平方数的数，构造的无限不循环小数. 例例 2：判断：（1）无限小数是无理数（ ）巩固概念，小结无理数的几种形式.巩固对无理数的概念.帮助学生在“尝试错误、排除（2）无理数是无限小数（ ）干教学设计稿纸（第（第 4 页）页）教学过程教学过程教师主导与预设活动教师主导与预设活动学生主体与期望活动学生主体与期望活动
8、（3）无理数是带根号的数（ ）（4）带根号的数是无理数（ ）（5）（ ）4153（6）形如的数是无理数（ ）3,aa练习：练习：估计，介于哪两个连续的整数之间，1135更接近哪个整数？应用应用：我们班的学农基地是一块 400的正方形2m土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积为 300的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之2m比为 3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？扰、抓住本质”中正确认识无理数的意义.进一步熟练掌握用整数估计无理数的方法.结合实际背景的估算问题
9、，使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.五、五、课堂小结课堂小结颗粒归仓颗粒归仓1.本节课我们学习了什么知识？2.你感触最深的是什么？3.你还有哪些困惑？回顾所学知识，梳理方法，交流困惑，进行回味总结.六、六、课后实践课后实践拓展延伸拓展延伸基础达标基础达标 1.数学书 P49,8、9.2.操作实践：制作一个表面积是 12的正方体纸2dm盒.（1）这个正方体纸盒的棱长是多少？（2）做出这个正方体纸盒.能力提升：能力提升：阅读学习：用反证法证明不是有理数.2通过基础练习、操作实践和进一步延伸学习，深化对无理数的理解.备课用笔颜色建议：一备用黑色水笔，二备用红色水笔。无理数的发现无理数就是不
10、能表示为整数或整数之比的数，如、 等等 。这些数不像自然数或负2数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。 人们发现的第一个无理数是 。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达2哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数之比。有一个名叫希帕蒂斯的学生，在研究 1 和 2 的比例中项时，左思右想都想不出这个中项值。后来他画一边长为 1 的正方形，设对角线为 ，他想： 代表正方形对角线长，而 =2，那么 必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明 不能是整数，因11=1, 22=4, =2， 必定大于 1 而小于 2，1
11、 与 2 之间却没有别的整数。那么 会不会是分数呢? 毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。 这样，如果 既不是整数又不是分数，就与毕达哥拉斯学派的信条有了矛盾。于是许多人都否定这个数的存在。而希帕索斯等人却认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯学派的“比例论”动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次 “数学危机 ”。而希帕索斯本人因违背了“比例论”的信条而受到处罚，被扔到大海里淹死了。后人为了纪念希帕索斯为真理献身的精神，将他发现的数命名为无理数。 无理数的发现，使数的概念又扩展了一步。11.4 无理数与实数北京版义务教育教科书北京版义务教育教科书探究活动小于小于大于大于整数
12、精确到0.1精确到0.01精确到0.001数学课本37页章前图拾级而上，深入理解如何在数轴上表示如何在数轴上表示数学阅读无理数的发现无理数的发现 无理数就是不能表示风 整数或整数之比的数，如 、等 。风 些数不像自然数或风 数那风 ，可在风风 生活中直接碰到，它是在数学风 算中风 接风风 的。 人风风风的第一个无理数是 。据风 ，它的风风风曾掀起一风 巨大的风 波。 古希腊毕达哥拉斯达哥拉斯 学派是一个研究数学、科学、哲学的风 体，他风 推崇比例风 ，即风风 一切数都是整数或者是整数之比。有一个名叫希帕蒂斯希帕蒂斯 的学生，他画一风风风1的正方形，风风 角风风 x，他想：x代表正方形风 角风风
13、 ，而xx=2，那么x必定是确定的数。但它是整数风 是分数呢? 他风 明x不能是整数，因11=1, 22=4, xx=2，x必定大于1而小于2，1与2之风却没有风 的整数。那么x会不会是分数呢? 风 达哥拉斯和他的学生风风 尽风 汁也找不到风 个分数。 数学阅读无理数的发现无理数的发现 风风 ，如果x既不是整数又不是分数，就与风 达哥拉斯学派的信条有了矛盾。于是风 多人都否定风 个数的存在。而希帕蒂斯等人却风风风必定是一个新数。风 一风风 ，使得风 达哥拉斯学派的“比例风 ”风风 了，从而风 致了西方数学史上的第一次 “数学危机 ”。而希帕索斯本人因风 背了“比例风 ”的信条而受到风风 ，被扔
14、到大海里淹死了。后人风 了风 念希帕蒂斯风 真理献身的精神，将他风风 的数命名风 无理数无理数。 无理数的风风 ，使数的概念又风 展了一步。例例1 1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？应用新知，强化理解例例2 2 判断判断（1）无限小数是无理数（ ）（2）无理数是无限小数（ ）（3）无理数是带根号的数（ ）（4）带根号的数是无理数（ ）（5） （ ）（6）形如 的数是无理数（ ）应用新知，强化理解1.1.估计估计 ， 介于哪两个连续的整数之间，介于哪两个连续的整数之间，更接近哪个整数？更接近哪个整数？ 我们班的学农基地是一块我们班的学农基地是一块400400平方米的正方形平方米的正方形
15、土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积为为300300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之比为之比为3:23:2，老师不知能否划分出来，老师不知能否划分出来. .体育委员见了体育委员见了说：说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？应用新知，强化理解应用新知，强化理解课后实践，拓展延伸基础达
16、标基础达标 1.1.数学书数学书P49P49：8 8、9.9.2 2. .操操作作实实践践：制制作作一一个个表表面面积积是是1 12 2平平方方分分米米的的正方体纸盒正方体纸盒. .（1 1）这个正方体纸盒的棱长是多少）这个正方体纸盒的棱长是多少？（2 2）做出这个正方体纸盒）做出这个正方体纸盒. .Thank You!1 11 1. .4 4 无无理理数数与与实实数数（1 1）【课前知识准备课前知识准备】分类有理数【课堂探究课堂探究】小小于于2大大于于2整整数数精精确确到到 0 0. .1 1精精确确到到 0 0. .0 01 1精精确确到到 0 0. .0 00 01 1精精确确到到 2近近似似值值结结论论： 【新知札记新知札记】1.1.概念：概念： 2.2.在数轴表示在数轴表示：2 【练习练习】1.估计，介于哪两个连续的整数之间，更接近哪个整数？11352.我们班的学农基地是一块 400的正方形土地，老师想沿着朝南一边的方向2m划分出一块面积为 300的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之比为 3:2，老2m师不知能否划分出来.体育委员见了说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？
