1、勾股定理勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。1、一个直角三角形的两条直角边的长分别为一个直角三角形的两条直角边的长分别为5cm和和12cm，则斜边长为，则斜边长为_cm。2、如图，以、如图，以 的一条直角边的一条直角边BC做正方形，则正方形的面积是做正方形，则正方形的面积是 .41 01384ABC在在RtABC，分别以，分别以a,b,c为边向外作正方形为边向外作正方形，如图所示，则，如图所示，则s1,s2,s3有什么数量关系？有什么数量关系？ 直角三角形中两条直角边所直角三角形中两条直角边所在正方形的面积之和等于斜边所在正方形的面
2、积之和等于斜边所在正方形的面积。在正方形的面积。结论：结论：1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形形若正方形A、B、C、D的面积分别是的面积分别是9、25、4、9，则最大正方形，则最大正方形E的面积是的面积是 （ ）A、13 B、26 C、47 D、94CGH341347AEDCB2、如图，直线、如图，直线l上有三个正方形，面积分别上有三个正方形，面积分别为为a,b,c,若若a=5,c=11，则，则b为（）为（）A5 B6C16 D55Cc51116 如果以直角三角形的
3、三条边如果以直角三角形的三条边a，b，c为边，为边，向外分别作图形，你是否能画出这三个图形向外分别作图形，你是否能画出这三个图形也满足也满足s1+s2=s3呢呢？如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为为边，向外分别作正三角形，那么是否存在边，向外分别作正三角形，那么是否存在s1+s2=s3呢呢？如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为为直径，向外分别作半圆，那么直径，向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成依然成立吗？立吗？变式变式1:如图，已知如图，已知ABC的三边长为别为的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作
4、三个半圆，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积之和求图中阴影部分的面积之和.1.学习了这节课谈谈你的收获？学习了这节课谈谈你的收获？s1+s2=s3a2+b2=c2 图形拓展基本模型图形拓展基本模型1.学习了这节课谈谈你的收获？学习了这节课谈谈你的收获？结论：在一个直角三角形中，在斜边上所结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和上所画的与其相似的图形的面积之和.2.数学思想：数学思想：类比思想类比思想1.四边形ABCD中ABCD，ADCBCD90，以AD、AB、BC为斜边均向形外
5、作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1S34S2，则CD()A2.5AB B3AB C3.5AB D4AB2.如图，在ABC中，ACB90，ACBC，分别以AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（ ）AS1S2S3 BS1S2S3CS1S3S2 DS2S3S1ABCMDEFGS1S2S3N从勾股定理到图形面积关系的拓展学习单一：回顾旧知知识点：勾股定理： _ 用字母表示： _ 1、一个直角三角形的两条直角边的长分别为 5cm 和 12cm，则斜边长为_
6、cm。2、如图，以 RtABC 的一条直角边 BC 做正方形， A则正方形的面积是 _ B C二：新课引入例：在 Rt ABC，分别以 a,b,c 为边向外作正方形，如图所示，则 s1,s2,s3有什么数量关系？如何证明？数量关系：_证明： 结论： _练习 1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别是 9、25、4、9，则最大正方形E的面积是 （ ）A、13 B、26 C、47 D、94410练习 2、如图，直线l上有三个正方形，面积分别为 a,b,c,若 a=5,c=11，则b 为（） A5 B6C16 D55 画一画：如
7、果以直角三角形的三条边 a，b，c 为边，向外分别作图形，你是否能画出这三个图形也满足 s1+s2=s3呢？请说明理由？变式 1：如图，已知ABC 的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积?变式 2：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4， 分别以 AB,AC,BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABEF, 正方形 ACPQ,正方形 BDMC，四块阴影部分的面积分别为 S1,S2,S3,S4，则 S1+S2+S3+S4等于（ ）AEDCBbcaACBbcaACBbcaACB1 13 31 12 25 5CBA43S4S3S2S1EM
8、DPQBACF从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股定理到图形面积关系的拓展教学设计教学设计教学目标：教学目标：1.1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维。通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维。2.2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。渗透数学建模的思想。3.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，感受数学在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，感受数学学习的魅力。学习的魅力。教学重点：教学重点：1.1.利
9、用勾股定理，探索图形间的面积关系，解决实际问题。利用勾股定理，探索图形间的面积关系，解决实际问题。教学难点：教学难点：1.1.基本图形的翻折问题，求阴影部分面积。基本图形的翻折问题，求阴影部分面积。2.2.通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。教学过程：教学过程：通过观看勾股定理的历史背景故事，以动画的形式呈现，引起学生的兴趣。通过观看勾股定理的历史背景故事，以动画的形式呈现，引起学生的兴趣。一一. .复习回顾复习回顾 1.1.勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜直角三角形两条直角边的平方和
10、等于斜边的平方。边的平方。2.2.字母表示：字母表示： （a a，b b 表示直角边，表示直角边，c c表示斜边）表示斜边）3.3. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为一个直角三角形的两条直角边的长分别为 5cm5cm 和和12cm12cm，则斜边长为，则斜边长为_cm_cm。4.4. 如图如图. .以以 的一条直角边的一条直角边 BCBC 做正方形，则正方形的面积是做正方形，则正方形的面积是 _ 二二. .新课引入新课引入问题：在问题：在 RtRtABCABC，分别以，分别以 a,b,ca,b,c 为边向外作正方形，如图所示，则为边向外作正方形，如图所示，则 S S1 1,S,S2 2,S
11、,S3 3有有什么数量关系？什么数量关系？第一步：通过观察视频中的实验，让学生有一个直观发现，以两条直角边向外第一步：通过观察视频中的实验，让学生有一个直观发现，以两条直角边向外作的正方形中的水刚好流入了以斜边向外作的正方形，猜想作的正方形中的水刚好流入了以斜边向外作的正方形，猜想 S S1 1,S,S2 2,S,S3 3之间的关之间的关系？系？猜想；猜想；S S1 1+S+S2 2=S=S3 3. .222abcRt ABC第二步：证明猜想第二步：证明猜想. .证明：证明：222123,SaSbSc2212SSab222abc2123SScS得出结论：直角三角形中两条直角边所在正方形的面积之
12、和等于斜边所在正方得出结论：直角三角形中两条直角边所在正方形的面积之和等于斜边所在正方形的面积。形的面积。课堂练习课堂练习 1 1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形直角三角形若正方形A A、B B、C C、D D的面积分别是的面积分别是 9 9、2525、4 4、9 9，则最大正方形，则最大正方形E E的面积是的面积是 （ ）A.A. 1313 B.26B.26 C.C. 4747 D.D. 9494课堂练习课堂练习 2 2、如图，直线如图，直线l l上有三个正方形，面积分别
13、为上有三个正方形，面积分别为 a,b,c,a,b,c,若若 a=5,c=11a=5,c=11，则，则 b b 为（为（） A.5A.5 B.6B.6 C.16C.16 D.55D.55三：探究活动三：探究活动独立思考：独立思考：1.1.通过向外拓展正方形的模型，引导学生加入把每个正方形变为原来的通过向外拓展正方形的模型，引导学生加入把每个正方形变为原来的 ，可，可12以画出什么样的图形，变为以画出什么样的图形，变为等等，并探究和发现其实等等，并探究和发现其实 S S1 1+S+S2 2还是等于还是等于 S S3 3的。的。14让学生自己思考和发现，请学生上台动手操作，并且要求会证明，呈现不同的
14、让学生自己思考和发现，请学生上台动手操作，并且要求会证明，呈现不同的图形，可以是长方形，可以是三边为直角边的等腰直角三角形，还可以是三边图形，可以是长方形，可以是三边为直角边的等腰直角三角形，还可以是三边为斜边的等腰直角三角形等多种多样的图形拓展。为斜边的等腰直角三角形等多种多样的图形拓展。基本模型：基本模型：小组合作：小组合作：2.2.刚才是在正方形的基础上去思考，现在是自由去构造任何图形，通过小组的刚才是在正方形的基础上去思考，现在是自由去构造任何图形，通过小组的讨论，合作探究，所构造的图形要求讨论，合作探究，所构造的图形要求 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3，并证明，并证明. .
15、试一试：如果以直角三角形的三条边试一试：如果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c 为边，向外分别作图形，你是否为边，向外分别作图形，你是否能画出这三个图形也满足能画出这三个图形也满足 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3呢？呢？bcaACB在黑板上呈现学生学习单上能想到的基本图形，比如说正三角形和半圆，以在黑板上呈现学生学习单上能想到的基本图形，比如说正三角形和半圆，以这两个为重点，分析并且证明，在黑板上板书完整的证明过程。这两个为重点，分析并且证明，在黑板上板书完整的证明过程。拓展一拓展一: : 如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c
16、 为边，向外分别作正三角为边，向外分别作正三角形，那么是否存在形，那么是否存在 S S1 1+S+S2 2=S=S3 3呢？呢？拓展二拓展二cbacbaBEFDACcbaFEDBACbcaLJKIHBACG222123333,444SaSbSc222212333()444SSabab222abc212334SScS如图，如果以直角三角形的三条边如图，如果以直角三角形的三条边 a a，b b，c c 为直径，向外分别作半圆，那么为直径，向外分别作半圆，那么S S1 1+S+S2 2=S=S3 3依然成立吗？依然成立吗？四：模型翻折四：模型翻折通过前面所画的许多基本的图形，我们可以通过前面所画的许
17、多基本的图形，我们可以把斜边向外拓展的图形向上翻折，就会与以两条直角边向外拓展的图形产生重把斜边向外拓展的图形向上翻折，就会与以两条直角边向外拓展的图形产生重叠部分，从而求面积之间的关系。叠部分，从而求面积之间的关系。通过几何画板的演示，让学生充分感受这个翻折的过程，有直观感受性。通过几何画板的演示，让学生充分感受这个翻折的过程，有直观感受性。变式变式 1:1:如图，已知如图，已知ABCABC 的三边长为别为的三边长为别为 5 5，1212，1313，分别以三边为直径向上，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积之和作三个半圆，求图中阴影部分的面积之和. .13125CAB变式变式
18、 2 2： 如图，在如图，在 RtABCRtABC 中，中，ACB=90ACB=90，AC=AC= 3,3, BC=BC= 4 4 ，分别以，分别以 AB,AC,BCAB,AC,BC 为边在为边在 ABAB 的同侧作正方形的同侧作正方形 ABEFABEF , , 正方形正方形 ACPQACPQ 正方形正方形 BDMCBDMC，四块阴影部分的面积分别为，四块阴影部分的面积分别为 S S1 1,S,S2 2,S,S3 3,S,S4 4，则，则S S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4等于（等于（ ） 2211a1s()a228222311,88sbsc同理，222212111()888
19、ssabab222abc212318sscs43EMDPQBACF43S4S3S2S1EMDPQBACF变式三：自己通过两题翻折，自己来探索面积之间的关系，自己来编题变式三：自己通过两题翻折，自己来探索面积之间的关系，自己来编题. .五：课堂小结五：课堂小结1.1.学习了这节课谈谈你的收获？学习了这节课谈谈你的收获？结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。角边上所画的与其相似的图形的面积之和。2.2.图形拓展基本模型：图形拓展基本模型：FDGHCABEcbacb
20、aBEFDACGHCABa a2 2+b+b2 2=c=c2 2 S S1 1+S+S2 2=S=S3 32.2.数学思想：类比思想数学思想：类比思想六：课后作业六：课后作业见由勾股定理到图形面积关系的拓展测评练习。见由勾股定理到图形面积关系的拓展测评练习。从勾股定理到图形面积关系的拓展测评练习1.如图，已知两个正方形的面积分别为 64 和 289，求正方形 A 的面积.64289A2.如图，已知在 RtABC 中，ACB=Rt，AB=4，分别以 AC,BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1,S2，则 S1+S2的值等于多少？3.如图，在四边形 ABCD 中，DAB=BCD=90，分别以四边形
21、的四条边为边向外作四个正方形，若 S1+S4=100，S3=36，求 S2的面积是多少？4.如图，在直线 L 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1,2,3，正放置的四个正方形的面积依次为 S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=_5.四边形 ABCD 中 ABCD，ADCBCD90，以 AD、AB、BC 为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是 S1、S2、S3 ，且 S1S34S2，则 CD() A2.5AB B3AB C3.5AB D4AB6.如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，ABC+DCB=90，且 BC=2AD，以AB,BC,DC 为边向外作正方形，其面积分别为 S1,S2,S3,若 S1=3,S3=9,则 S2的值为（ ） A.12 B.18 C.24 D. 487.如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，分别以 AB、BC、CA 为一边向ABC 外作正方形 ABDE、BCMN、CAFG，连接 EF、GM、ND，设AEF、BND、CGM 的面积分别为 S1、S2、S3，则下列结论正确的是（ ）AS1S2S3 BS1S2S3CS1S3S2 DS2S3S1ABCMDEFGS1S2S3
