1、1.31.3 二次函数的性质学习单二次函数的性质学习单根据图形填表：抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性, 最值最值尝试成功： 1、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则 a、b、c 的符号为_. 2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 3 已知点（-1， y1 ),(-2,y2 ),(-4,y3 )是抛物线 y2x28xm 上的点，则() A y1y2y3 B y3y2y1 Cy2y1y3 D y2y3y
2、1巩固练习：1、二次函数 y=X2 -4X+3 的对称轴是 1 y=2x2-8x+1 y=-3x-6x+12.25米米2.25 米米2、抛物线 y=X2-5X+4 与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个P23 实际问题：篮球运动员投篮时，运动的路线是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：（1）球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；（2）球在运动中离地面的最大高度。 2.25 米米4 米米3.05 米米?2412xxy二次函数【课堂实录】T:T:近期近期 NBANBA 篮球赛如火如荼的进行着，请同学观看视频。篮球赛如火如荼的进行着，请同学观
3、看视频。运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？S:我们可以近似看作一条抛物线（齐答）T T：怎样计算篮球达到最高点时的高度？本节课我们一起来探讨这条抛物线的性：怎样计算篮球达到最高点时的高度？本节课我们一起来探讨这条抛物线的性质。质。T T：根据右边已画好的函数图象回答问题：根据右边已画好的函数图象回答问题：请看题：请看题：抛物线，12212xxy当自变量 x 增大时，函数 y 将怎样变化？ 3 2 1 T T：请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。开口向上，当自变量增大时，：请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。开口向上，当自变量增大时，
4、Y Y的值的值S（齐答）:先减小，后增大.T:二次函数的图象是轴对称图形，请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，二次函数的图象是轴对称图形，请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，当当 X 增大时，对应的增大时，对应的 Y 的变化？任取两点来对比（的变化？任取两点来对比（PPT 演示）演示）S（齐答）:y 随着 x 的增大而减小T:T:当当 x-2x-2 时时,y,y 随着随着 x x 的增大而减小，对称轴的左侧用的增大而减小，对称轴的左侧用号表示。号表示。T T：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X X 增大时，对应的增大时，对应的 Y Y 值变化？（值变化？
5、（PPTPPT演示）演示）S（齐答）:y 随着 x 的增大而增大，T:T: Y Y 随随 X X 的变化情况概括为抛物线的增减性，的变化情况概括为抛物线的增减性，由此发现这条抛物线的增减性，由此发现这条抛物线的增减性，S（齐答）:当 x-2 时,y 随着 x 的增大而减小，当 x-2 时,y 随着 x 的增大而减小，T:T:以对称轴作为分界，分两部分说明抛物线的增减性。以对称轴作为分界，分两部分说明抛物线的增减性。判断二次函数的增减性判断二次函数的增减性，首先要确定它的对称轴，结合开口方向来判断二次函数的增减性，首先要确定它的对称轴，结合开口方向来判断二次函数的增减性思考：二次函数的增减性由什
6、么确定？思考：二次函数的增减性由什么确定？ T T：根据右边已画好的函数图象回答问题：根据右边已画好的函数图象回答问题：我们继续来探索抛物我们继续来探索抛物线当自变量线当自变量x x增大时，函数增大时，函数y y将怎样变化？将怎样变化？T:T:请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。请同学们用手指来比画这条抛物线的形状。这条抛物线开口向是下，这条抛物线开口向是下，S（齐答）:先增大，后减小T:T:观察对称轴右侧部分的抛物线，当观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X X 增大时，对应的增大时，对应的 Y Y 的变化？的变化？由此发现抛由此发现抛物线的增减性，物线的增减性，当当 x2x2 时时,y,y
7、随着随着 x x 的增大而增大的增大而增大T T：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当：继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X X 增大时，对应的增大时，对应的 Y Y 的变化？的变化？S:当 x2 时,y 随着 x 的增大而减小241xxy12212xxyS（齐答）:由此发现抛物线的增减性，当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大,当 x2 时,y 随着 x 的增大而减小T:T:探讨二次函数的增减性和什么有关？探讨二次函数的增减性和什么有关？S:1. 与 a,有关，a 确定抛物线的开口方向，2. 与 a,b 有关，a,b 确定抛物线的对称轴。当 a,b 同号时，对称轴在 Y 轴左侧，当 a,b
8、 异号时，对称轴在 Y 轴右侧。当 a0 时，对称轴左侧 y 随着 x 的增大而减小，对称轴右侧 y 随着 x 的增大而增大。当 a0.学生思考：教师巡视，关注学困生，跟学困生有交流，提醒和点拨思考方向。T:T:请同学思考，请一位同学回答问题（请同学思考，请一位同学回答问题（1 1）S：图象的对称轴直线 X=-7 ， 顶点坐标是（-7，32）T:T:回答正确，请说说你是用什么方法来求的？回答正确，请说说你是用什么方法来求的？S：用顶点公式T:T:同学们再想想，还能用其他方法来求吗？同学们再想想，还能用其他方法来求吗？S：用配方法T: :公式法是求二次函数对称轴和顶点坐标的通用方法，而配方法含有
9、一定的技公式法是求二次函数对称轴和顶点坐标的通用方法，而配方法含有一定的技巧性，需要同学们细心，避免配方时出现错误。现在请同学们思考问题（巧性，需要同学们细心，避免配方时出现错误。现在请同学们思考问题（2 2）S：点 A 的坐标是（-15，0） ，点 B 的坐标是（1，0）点 C 的坐标是（0，）215T:T:你能向同学们说说你的求解思路吗？你能向同学们说说你的求解思路吗？S：点 A、B 在 x 轴上，而 X 轴上的点的特征是纵坐标为 0，因此，令y=0，可得关于 X 的一元二次方程。利用配方法或公式法可以求出方程的两个实数根，而这两个实数根就是点 A 和点 B 的横坐标，就得到点 A,点 B
10、 的坐标。点 C 是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为 0，所以当 X=0 时，可得y=，点 C 的坐标是（0，）215215T:T:这位同学分析得很好！下面我们来解决问题（这位同学分析得很好！下面我们来解决问题（3 3） ，请哪位同学来回答这个问，请哪位同学来回答这个问题，题，如何画出函数的图象。如何画出函数的图象。S：由刚才的问题（1）和问题（2）可知，把这四点连接起来，T:T:这位学生的方法可以！为了画图更准确，再找点这位学生的方法可以！为了画图更准确，再找点 C C 关于对称轴的对称点，用关于对称轴的对称点，用五点来画图更准确。通常选择顶点，两对对称点（与五点来画图更准确。通常选择
11、顶点，两对对称点（与 X X 主轴的交点，与主轴的交点，与 Y Y 轴的轴的交点，及关于对称轴的对称点）交点，及关于对称轴的对称点）现在我们根据这位学生的分析，演示图象的生成过程。现在我们根据这位学生的分析，演示图象的生成过程。（多媒体展示并归纳二次函数五点法的画法）现在请同学们结合图象，思考问题（4） ，哪位同学来回答？S：从图象中可以直接看出，在对称轴的左侧，抛物线的分支是呈上升趋势，即X-7 时，y 随 X 的增大而增大，而在对称轴的右侧，抛物线的分支是呈下降趋势，即 X-7 时，y 随 X 的增大而减小。当 X=-7 时，y有最大值，因为抛物线的开口向下，图象有最高点，顶点坐标为（-7
12、，32） 。T:T:这同学的回答正确吗？注意最大值是顶点的纵坐标，而不是横纵坐标。这同学的回答正确吗？注意最大值是顶点的纵坐标，而不是横纵坐标。S：正确T T：下面我们结合图象，来考虑问题上（：下面我们结合图象，来考虑问题上（5 5） ，哪位同学来回答？，哪位同学来回答？S：从图象上来看，y0 时，抛物线的图象在 X 轴的上方T T：在：在 X X 轴的上方的一支抛物线，请问轴的上方的一支抛物线，请问 X X 的取值有何特点？的取值有何特点？S:从图象上可以看出，抛物线与 X 轴的两个交点的横坐标分别为-15 和 1，即 X的取值范围为-15 和 1 之间，当-15X0.T T：同学们还能提出
13、类似于问题：同学们还能提出类似于问题(5)(5)的问题吗？的问题吗？S：说 出 x 取哪些值时， y0; y=0;T:T:当当y y00 时，时， 怎样来找符合条件的怎样来找符合条件的 X X 的值？（用手在图上演示）的值？（用手在图上演示）S：当y0 时，抛物线所对应的是 X 轴下方的抛物线，抛物线与 X 轴的两个交点的横坐标分别为-15 和 1，那么当 X1 时，y0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)顶点坐标abacab44,22abacab44,22对称轴abx2直线abx2直线位置由由 a,ba,b 和和 c c 的符号确定的符号确定由由 a
14、,ba,b 和和 c c 的符号确定的符号确定开口方向向上向上向下向下增减性时时当当a2bx y y 随着随着 x x 的增大而减的增大而减小小. ., , 时时当当a2bx y y 随着随着 x x 的的增大而增大增大而增大时时当当a2bx ,y,y 随着随着 x x 的增大的增大而增大而增大. ., , 时时当当a2bx y y 随着随着 x x 的增的增大而减小大而减小. .最值abacabx44最小值为,时2当2a4bac4,a2bx2 最最大大值值为为时时当当T T：这个同学回答的非常好！小组成员补充。：这个同学回答的非常好！小组成员补充。运用二次函数的性质我们来小试牛刀。运用二次函
15、数的性质我们来小试牛刀。尝试成功： 1、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则 a、b、c 的符号为_. T:T:请说说你的分析过程。请说说你的分析过程。S:从开口方向，可知 a0，从抛物线与 Y 轴的交点，可知 c0。2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值 y=2x2-8x+1 y=-3x-6x+1T T：请两位同学来回答，教师板书：请两位同学来回答，教师板书02157212xx3已知点（-1， y1 ),(-2,y2 ),(-4,y3 )是抛物线y2x2_8xm 上的点，则 ( ) A y1y2y3 B y3y2y1 C y2y1y3 D y2y3y1T
16、T：请一位同学回答，同学们认可他的答案？：请一位同学回答，同学们认可他的答案？S:认可T T：请你分析解答过程：请你分析解答过程S1：（1）把-1，-2，-4，代入函数解析式，求得y1，y2，y3 ，比较大小。S2：从 a=-2 可知抛物线开口向下，存在最大值，当 X=-2 时，Y 最大值为 7点离对称轴越近，对应的 Y 的值越大，所以y1y3T:T: 这位同学从数的角度来解决问题，从形的角度，画出示意图，可知对称轴为这位同学从数的角度来解决问题，从形的角度，画出示意图，可知对称轴为X=2X=2，y2最大，离对称轴越近，最大，离对称轴越近，Y Y 值越大。数形结合是我们数学中常用的方法。值越大
17、。数形结合是我们数学中常用的方法。T:T:刚才同学们在例刚才同学们在例 1 1 中，刚才同学还可以提出的中，刚才同学还可以提出的x x 取哪些值时，取哪些值时， y y=0 0？这个问？这个问题可以转化为题可以转化为 问题（问题（6 6）方）方程和函数程和函数之间之间2157221xxy的关系。的关系。求方程的解，通过图象与求方程的解，通过图象与 X X 轴的交点为（轴的交点为（-15-15，0 0）（）（1 1，0 0），所以当），所以当 X=-15X=-15，或或 X=1X=1 时，时，y y=0=0。T T：我们来探索二次函数与一元二次方程的关系：我们来探索二次函数与一元二次方程的关系4
18、.探索二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示.(1).每个图象与 x 轴有几个交点？(2).一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?(3)验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?T T：请同学们思考，从图象中观察到，：请同学们思考，从图象中观察到，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况:2.25米米2.25 米米2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 我们发现：当二次函数我们发现：当二次函数 y=axy=ax2
19、2+bx+c+bx+c 的图象和的图象和 x x 轴有交点时轴有交点时, ,此时交点的此时交点的纵坐标为纵坐标为 0 0，交点的横坐标就是当，交点的横坐标就是当 y=0y=0 时自变量时自变量 x x 的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 的根的根. .当二次函数当二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 的图象和的图象和 x x 轴有交点时轴有交点时, , 交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0 时自变量时自变量 x x 的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 的根的根. .
20、T:T:下面通过练习检验同学们的学习效果下面通过练习检验同学们的学习效果巩固练习：1、二次函数 y=x2 - x+3 的对称轴是直线X=2T:T:请一位学生口答。请一位学生口答。S:直线X=22、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个T:T:请同学分析请同学分析S:b2-4ac0，与 X 轴有两个交点，与 Y 轴有一个交点，所以选择 D。T：同学们注意，与坐标轴交点。同学们掌握的很好，下面我们来解决我们一开始碰到的实际问题：P23 实际问题：篮球运动员投篮时，运动的路线是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：（1）球运
21、动路线的函数解析式和自变量的取值范围；（2）球在运动中离地面的最大高度。T:T:求函数解析式有三种方法，对于这个问求函数解析式有三种方法，对于这个问题哪种方法更简便，因为告诉我题哪种方法更简便，因为告诉我们对称轴，选择用顶点式更方便。们对称轴，选择用顶点式更方便。板书第二种方法过程。解: 设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：2.25 米米3.05 米米?解析式为: y=-0.2(x2.5)2+3.5y=0.2x2+x+2.25,自变量 x 的取值范围为：0 x4.球在运动中离地面的最大高度为 3.5 米。T:T:同学们还有其他方法吗同学们还有其他方法吗 ？S:设为一般式 y
22、=ax2 +bx+c，由题意得到 b=-5a.y=ax2 -5ax+2.25，得到 a=-0.2T T：顶点式可直接求得第二小题的答案，但一般式在计算时更简便，各有千秋。：顶点式可直接求得第二小题的答案，但一般式在计算时更简便，各有千秋。通过本节课的学习你有那些收获？通过本节课的学习你有那些收获？1、 你能正确地说出二次函数的性质吗？T：从 6 块内容概括二次函数的性质：顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值2、 二归纳二次函数与一元二次方程的及的判别式之间的关系归纳:二次函数与一元二次方程，和根的判别式之间的关系 b2-4ac0 时有两个交点,有两个相异的实数根有两个相异的实数根 b
23、2-4ac=0 有一个交点,有两个相等的实数根有两个相等的实数根 b2-4ac 0 没有交点.没有实数根没有实数根布置作业1.作业本(1)1.32.书本 P23,B 组(5)则：a=0.2,k=3.5abx2直线浙教版数学九年级上册第一章运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？生活中的数学生活中的数学XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象回答问题根据右边已画好的函数图象回答问题：(1)(1)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数值增大时，函数值 y y将怎样变化？将怎样变化？先减小，后先减小
24、，后 增增大大. .当当x x 时时,y ,y随着随着 x x的增大而的增大而 减小减小-2-2-2-2直线直线x=-2思考：二次函数的增减性由什么确定的？当当x x 时时,y ,y随着随着 x x的增大而的增大而 增大增大 . .新知探究新知探究XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5(2)(2)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数值增大时，函数值 y y将怎样变化？将怎样变化？根据右边已画好的函数图象回答问题根据右边已画好的函数图象回答问题：先增大，后减先增大，后减小小. .当当x x 时时,y ,y随着随着 x x的增大而的增大而 增大增大当当x
25、 x 时时,y ,y随着随着 x x的增大而的增大而 减小减小 . .2222思考：二次函数的增减性由什么确定的？新知探究新知探究(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5)0 xy 例例: :已知函数已知函数(1)(1)函数图象的对称轴函数图象的对称轴 顶点坐标是顶点坐标是( ( , , ) ) (2)(2)设函数图象与设函数图象与y y轴交于点轴交于点C C，与，与x x 轴交于轴交于A,BA,B两点两点（点（点A A在点在点B B的左边），则的左边），则A,B,CA,B,C三点的坐标分别是三点的坐标分别是 尝试演练尝试演练CAB (3)(3)画出函数图象的示意图
26、。画出函数图象的示意图。已知函数已知函数(-15,0)(1,0)(-7,32)0 xy （4）当当x 时，时，y随着随着x的增大而增大，当的增大而增大，当x 时，时，y随随着着x的增大而减小，当的增大而减小，当x 时，时，y有最有最 值，其值为值，其值为 。尝试演练尝试演练(5)根据第（根据第（3）题的图象草图，说）题的图象草图，说 出出 x 取哪些值时，取哪些值时，y0.二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c
27、(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下,y随着随着x的增大而减小的增大而减小., y随着随着x的增大而增大的增大而增大. ,y随着随着x的增大而增大的增大而增大., y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表：0yx0 xy自主探究自主探究1、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图的图象如图所示，则象如图所示，则a、b、c的符号为的符号为 yxoa0c0巩固练习巩固练习2、下列函数何时有最大值或最小值，并求、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或
28、最小值出最大值或最小值 y=2x2-8x+1 y=-3x-6x+13.已知点（-1， y1 ),(-2,y2 ),(-4,y3 )是抛物线y2x2 8xm上的点，则 ( ) A y1y2y3 B y3y2y1 Cy2y1y3 D y2y3y1C巩固练习巩固练习已知函数已知函数(-15,0)(1,0).0 xy （6)方程方程 与函数与函数有什么关系？有什么关系？尝试演练尝试演练(1)每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？二次函数与一元二次方程 二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x,+2x, y=xy=x2 2-2x+1,-2x+1, y=xy=x2 2-2x+2-2x+2的图象
29、如图的图象如图. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2自主探究自主探究(2)一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根? ?(3)(3)验证一元二次方程验证一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗有根吗? ?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: : 思考：思考：二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元
30、二轴交点的坐标与一元二次方程次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?自主探究自主探究有两个交点有两个交点, , 有一个交点有一个交点, , 没有交点没有交点. .当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时, ,交点交点的横坐标就是当的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .1、二次函数、二次函数 y=x2 - x+3 的对称轴是的对称轴是2.抛物线抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个
31、数为（与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）3个个直线直线X=2D3.05米米4米米?2.25米米oxy球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度。解解: 设函数解析式为设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意得根据题意得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：a=0.2,k=3.5解析式为: y=-0.2(x2.5)2+3.5y=0.2x2+x+2.25,球在运动中离地面的最大高度为3.5米米。篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线篮
32、球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分，抛物线的对称轴为的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：。求：拓展与实践自变量x的取值范围为：0 x4.1、你能正确地说出二次函数的性、你能正确地说出二次函数的性质吗？质吗？2.归纳归纳: 二次函数与一元二次方程，和根二次函数与一元二次方程，和根的判别式之间的关系的判别式之间的关系b2-4ac0时 b2-4ac=0 b2-4ac 0顶点坐标顶点坐标位置位置增减性增减性课堂小结课堂小结对称轴对称轴开口方向开口方向最值最值有两个交点, 有两个有两个不不相相等等的实数根的实数根有一个交点, 有两个相等的实数根有两个相等的实数根没有交点. 没有实数根没有
33、实数根1.作业本(1)1.32.书本P23,B组(5)作业布置:祝同学们学业有成！祝同学们学业有成！二次函数的性质二次函数的性质 教学设计教学设计一、内容和内容解析一、内容和内容解析学习内容：学习内容： 浙教版义务教育课程标准试验教科书数学 （九年级上册第 1 章 1.3 节）二次函数的性质内容解析：内容解析：（1 1）内容地位及核心知识解析：）内容地位及核心知识解析：本节课是在已经学习了二次函数的概念、定义、三种表示函数的不同方法和函数的图象知识后，让学生经历探究二次函数图象的性质，感受研究函数的基本方法，为今后继续研究各类具体的函数做了必要的准备。（2 2）内容结构关系解析：）内容结构关系
34、解析：探索二次函数的性质。（3 3）认知活动分析与价值判断：）认知活动分析与价值判断：主要体现在对具体二次函数的顶点坐标、对称轴、位置、开口方向、增减性、最值的探讨，从而研究一般二次函数图象的性质。核心的数学思想是数形结合。通过上述认知活动的开展，能让学生在特定的数学认知活动中发展相应的数学认知水平，体会数学思想方法。二、二、【教学目标教学目标】( (一一) ) 知识与技能目标知识与技能目标: :1. 使学生掌握二次函数的函数值随自变量变化而变化的规律；2. 使学生了解二次函数的最大值和最小值的意义，掌握判定二次函数最大值和最小值的方法，并能求出最大值和最小值；3. 进一步培养学生对图象的观察
35、能力，从特殊到一般的归纳、总结能力，使用数学语言的表达能力.( (二二) ) 过程与方法目标过程与方法目标: :让学生经历从特殊到一般地探索二次函数的函数值随自变量变化而变化过程，体会数形结合的方法，分类讨论的方法.( (三三) ) 情感与态度目标情感与态度目标; ;培养学生的探索精神，增强自主学习的信心，享受成功的乐趣.【教学重点教学重点】二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.【教学难点教学难点】二次函数的性质的应用.三、教学问题诊断分析：三、教学问题诊断分析：（1 1）学生基础分析：）学生基础分析：学生通过直角坐标系、函数的概念、函数的表示方法及二次函数概念，图象的学习，获得了函数
36、研究方法的经验，通过二次函数的学习，获得了具体二类函数的数形结合的探究经验。（2 2）学习困难分析：）学习困难分析： 在具体的学习过程中，如果学生没有经历从画象概括函数性质的过程，对于用数学的文字来表示图象语言有困难。 对于通过具体二次函数图象探讨二次函数的性质，学生容易停留在只从“形”的角度认识二次函数的图象，不会从“数” （解析式）的角度加深理解。2412xxy四、教学过程设计：四、教学过程设计：1 1、情景创设、情景创设引入函数图象引入函数图象引入：近期 NBA 篮球赛如火如荼的进行着，请同学观看视频。 （展示视频） 。运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？怎样计算篮球达到最高点
37、时的高度？根据右边已画好的函数图象回答问题：请看题：抛物线，12212xxy问题 1：当自变量 x 增大时，函数 y 将怎样变化？3 2 1 问题 2: 请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y 的变化？问题 3: 继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y 值变化？【师生行为师生行为】教师指导学生用手指来比画这条抛物线的形状。开口向上，当自变量增大时，Y 的值先减小，后增大.二次函数的图象是轴对称图形，请学生观察对称轴左侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y 的变化？任取两点来对比（PPT 演示）y 随着 x 的增大而减小当 x-2 时,y 随着 x
38、 的增大而减小，对称轴的左侧用号表示。继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y 值变化？（PPT 演示）y 随着 x 的增大而增大，当 x-2 时,y 随着 x 的增大而减小，Y 随 X 的变化情况概括为抛物线的增减性，由此发现这条抛物线的增减性，以对称轴作为分界，分两部分说明抛物线的增减性。判断二次函数的增减性，首先要确定它的对称轴，结合开口方向来判断二次函数的增减性。思考：二次函数的增减性由什么确定？ 问题 1：根据右边已画好的函数图象回答问题：继续来探索抛物线当自变量x增大时，函数y将怎样变化？问题 2: 请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y
39、的变化？问题 3: 继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当 X 增大时，对应的 Y 值变化？【师生行为师生行为】教师指导学生用手指来比画这条抛物线的形状。这条抛物线开口向是下，先增大，后减小当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大当 x2 时,y 随着 x 的增大而减小S（齐答）:由此发现抛物线的增减性，当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大,12212xxy当 x2 时,y 随着 x 的增大而减小【设计意图设计意图】 从生活实例入手，体现数学知识源于生活，让学生感受到数学知识与生活的联系，结合二次函数图象。通过对具体函数图象的分析，充分感受函数，也让学生能充分思考二次函数的图象所具有的性质。【
40、师生行为师生行为】教师引导学生解决如下问题：探讨二次函数的增减性和什么有关？1. 与 a,有关，a 确定抛物线的开口方向，2. 与 a,b 有关，a,b 确定抛物线的对称轴。当 a,b 同号时，对称轴在 Y 轴左侧，当 a,b 异号时，对称轴在 Y 轴右侧。当 a0 时，对称轴左侧 y 随着 x 的增大而减小，对称轴右侧 y 随着 x 的增大而增大。当 a0.【师生行为师生行为】学生思考：教师巡视，关注学困生，跟学困生有交流，提醒和点拨思考方向。图象的对称轴直线 X=-7 顶点坐标是（-7，32）用顶点公式，用配方法公式法是求二次函数对称轴和顶点坐标的通用方法，而配方法含有一定的技巧性，需要同
41、学们细心，避免配方时出现错误。点 A 的坐标是（-15，0） ，点 B 的坐标是（1，0）点 C 的坐标是（0，）215学生分析：点 A、B 在 x 轴上，而 X 轴上的点的特征是纵坐标为 0，因此，令y=0，可得关于 X 的一元二次方程。利用配方法或公式法可以求出方程的两个实数根，而这两个实数根就是点 A 和点 B 的横坐标，就得到点 A,点 B 的坐标。点 C 是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为 0，所以当 X=0 时，可得y=，点 C 的坐标是（0，）215215由刚才的问题（1）和问题（2）可知，把这四点连接起来，教师补充：这位学生的方法可以！为了画图更准确，再找点 C 关于对称
42、轴的对称点，用五点来画图更准确。通常选择顶点，两对对称点（与 X 主轴的交点，与 Y 轴的交点，及关于对称轴的对称点）现在我们根据这位学生的分析，演示图象的生成过程。（多媒体展示并归纳二次函数五点法的画法）从图象中可以直接看出，在对称轴的左侧，抛物线的分支是呈上升趋势，即X-7 时，y 随 X 的增大而增大，而在对称轴的右侧，抛物线的分支是呈下降趋势，即 X-7 时，y 随 X 的增大而减小。当 X=-7 时，y有最大值，因为抛物线的开口向下，图象有最高点，顶点坐标为（-7，32） 。下面我们结合图象，来考虑问题上（5） ，从图象上来看，y0 时，抛物线的图象在 X 轴的上方分析：在 X 轴的
43、上方的一支抛物线，请问 X 的取值有何特点？从图象上可以看出，抛物线与 X 轴的两个交点的横坐标分别为-15 和 1，即 X 的取值范围为-15和 1 之间，当-15X0.同学们还能提出类似于问题(5)的问题吗？说 出 x 取哪些值时， y0; 当y0 时， 怎样来找符合条件的 X 的值？ 当y0 时，抛物线所对应的是 X 轴下方的抛物线，抛物线与 X 轴的两个交点的横坐标分别为-15 和 1，那么当 X1 时，y0)y=ax2+bx+c(a0)顶点坐标abacab44,22abacab44,22对称轴abx2直线abx2直线位置由 a,b 和 c 的符号确定由 a,b 和 c 的符号确定开口
44、方向向上向下增减性时时当当a2bx y 随着 x 的增大而减小., 时时当当a2bx y 随着 x 的增大而增大时时当当a2bx ,y 随着 x 的增大而增大., 时时当当a2bx y 随着 x 的增大而减小.最值abacabx44最小值为,时2当2a4bac4,a2bx2 最最大大值值为为时时当当小组成员补充。【设计意图】培养学生归纳总结能力，表达能力.分类讨论的思想运用二次函数的性质我们来小试牛刀。尝试成功： 1、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则 a、b、c 的符号为_. 学生分析：从开口方向，可知 a0，从抛物线与 Y 轴的交点，可知 c0。2、下列函数何时有最大
45、值或最小值，并求出最大值或最小值 y=2x2-8x+1 y=-3x-6x+1请两位同学来回答，教师板书3已知点（-1， y1 ),(-2,y2 ),(-4,y3 )是抛物线y2x2_8xm 上的点，则 ( ) A y1y2y3 B y3y2y1 C y2y1y3 D y2y3y1学生分析：（1）从 a=-2 可知抛物线开口向下，存在最大值，当 X=-2 时，Y 最大值为 7 点离对称轴越近，对应的 Y 的值越大，所以y1y302157212xx02157212xx从形的角度，画出示意图，可知对称轴为 X=2，y2最大，离对称轴越近，Y 值越大。也可从数的角度来解决问题，把-1，-2，-4，代入
46、函数解析式，求得y1，y2，y3 ，比较大小。数形结合是我们数学中常用的方法。4、深入探究、深入探究优化二次函数与一元二次方程的联系优化二次函数与一元二次方程的联系刚才同学们在例 1 中，刚才同学还可以提出的x 取哪些值时， y=0？这个问题可以转化为 问题（6）方程和函数2157221xxy之间的关系。求方程的解，通过图象与 X 轴的交点为（-15，0）（1，0），所以当 X=-15，或 X=1 时，y=0。探索二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示.(1).每个图象与 x 轴有几个交点？(2).一元二次方程 x2+2
47、x=0,x2-2x+1=0 有几个根?(3)验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 我们发现：当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,此时交点的纵坐标为 0，交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.5 5、巩固提高、巩固提高实际问题中一次函数的图象实际问题中一次
48、函数的图象2.25米米2.25 米米2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05巩固练习：1、二次函数 y=x2 - x+3 的对称轴是直线X=22、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个学生分析 b2-4ac0，与 X 轴有两个交点，与 Y 轴有一个交点，所以选择 D。T：同学们注意，与坐标轴交点。同学们掌握的很好，下面我们来解决我们一开始碰到的实际问题：实际问题：篮球运动员投篮时，运动的路线是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：（1）球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；（2）球在运动中离地面的最大
49、高度。解: 设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：解析式为: y=-0.2(x2.5)2+3.5y=0.2x2+x+2.25,自变量 x 的取值范围为：0 x4.球在运动中离地面的最大高度为 3.5 米。T:同学们还有其他方法吗 ？S:设为一般式 y=ax2 +bx+c，由题意得到 b=-5a.y=ax2 -5ax+2.25，得到 a=-0.2T：顶点式可直接求得第二小题的答案，但一般式在计算时更简便，各有千秋。通过本节课的学习你有那些收获？【设计意图设计意图】 问题的设计从函数解析式出发，最终回归到实际问题，让学生充分体会数学2.25 米米3.05 米米?则：a=0.2,k
50、=3.5abx2直线的学习最终回归到生活，为解决生活问题提供方法和依据。学生在求函数解析式的时候，对于不同的函数表达式，让学生深刻体会数形结合这一重要数学思想。6 6、知识的梳理及小结、知识的梳理及小结1、 你能正确地说出二次函数的性质吗？学生概括二次函数的性质：顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值2、 二归纳二次函数与一元二次方程的及的判别式之间的关系归纳:二次函数与一元二次方程，和根的判别式之间的关系 b2-4ac0 时有两个交点,有两个相异的实数根 b2-4ac=0 有一个交点,有两个相等的实数根 b2-4ac 0 没有交点.没有实数根布置作业1.作业本(1)1.32.书本 P
