1、1华东师大版九年级上册华东师大版九年级上册24.2.224.2.2 第第 2 2 课时课时 直角三角形直角三角形角性质角性质 教学设计教学设计30 一、一、教材分析教材分析华东师大版九年级上册教材第二十四章华东师大版九年级上册教材第二十四章解直角三角形解直角三角形的第二节的第二节直角三角形的性质直角三角形的性质给出了直角三角形的三条性质，给出了直角三角形的三条性质，性质性质 1 1 为直角三角形的两个锐角互余，描述角之间的关系，性为直角三角形的两个锐角互余，描述角之间的关系，性质质 2 2 为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，描述了为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，描述了边之
2、间数量的关系，性质边之间数量的关系，性质 1 1 和性质和性质 2 2（勾股定理）在前面已经（勾股定理）在前面已经学习过，性质学习过，性质 3 3 为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是探索出的新结论，描述了图形的相关线段，即直角三角形斜是探索出的新结论，描述了图形的相关线段，即直角三角形斜边上的中线的性质。边上的中线的性质。本节课本节课直角三角形直角三角形角性质角性质是研究特殊的直角三角形，是研究特殊的直角三角形，30即有一个锐角是即有一个锐角是的直角三角形，边之间的特殊性质，教材中的直角三角形，边之间的特殊性质，教材中30利用直角三角形的性质利用
3、直角三角形的性质 3 3 巧妙地添加辅助线证明了命题巧妙地添加辅助线证明了命题“在直在直角三角形中，如果一个锐角等于角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于30斜边的一半斜边的一半”的正确性，简单地说就是的正确性，简单地说就是“角所对的直角边等角所对的直角边等30于斜边的一半于斜边的一半” 。因此，这一结论应当是直角三角形的性质。因此，这一结论应当是直角三角形的性质 3 3 的的应用，应用， 课程标准课程标准未将这一结论作为定理，但为了后面方便推未将这一结论作为定理，但为了后面方便推导导角和角和角的三角函数值，通过云图给出，以备后面直接角的三角函数值，通过云
4、图给出，以备后面直接30602使用。使用。既然把直角三角形既然把直角三角形角性质划分为一个课时的探索课，就角性质划分为一个课时的探索课，就30要引导学生完整地经历探索新知的过程，即类比以往研究几何要引导学生完整地经历探索新知的过程，即类比以往研究几何图形性质的过程，引导学生自主发现规律、说出猜想、证明猜图形性质的过程，引导学生自主发现规律、说出猜想、证明猜想，最后得出结论，感受合情推理到演绎推理的过程，再通过想，最后得出结论，感受合情推理到演绎推理的过程，再通过练习巩固边之间的比例关系，培养在实际问题中抽象出几何图练习巩固边之间的比例关系，培养在实际问题中抽象出几何图形、解决实际问题、恰当地作
5、辅助线等能力。最后从知识和方形、解决实际问题、恰当地作辅助线等能力。最后从知识和方法方面总结本节课的收获。法方面总结本节课的收获。值得思考的是，我们探索了直角三角形边、角、相关元素值得思考的是，我们探索了直角三角形边、角、相关元素之外，直角三角形的边与角又会有怎样的关系，可以作为探索之外，直角三角形的边与角又会有怎样的关系，可以作为探索题留给学生思考，为下节课学习锐角三角函数作铺垫；本节课题留给学生思考，为下节课学习锐角三角函数作铺垫；本节课把特殊的两种直角三角形研究透彻了，后面推导特殊三角函数把特殊的两种直角三角形研究透彻了，后面推导特殊三角函数值也就水到渠成了。值也就水到渠成了。二、学情分
6、析二、学情分析对于九年级的学生，已经学习了很多图形的知识，例如，对于九年级的学生，已经学习了很多图形的知识，例如，从最简单的点、线、角、三角形、等腰三角形、直角三角形、从最简单的点、线、角、三角形、等腰三角形、直角三角形、多边形、平行四边形等图形，经历了探究平面图形的过程，即多边形、平行四边形等图形，经历了探究平面图形的过程，即理解图形的定义、认识图形的组成元素（边、角、相关线段、理解图形的定义、认识图形的组成元素（边、角、相关线段、对称性等）对称性等） ，通过发现规律、写出猜想、证明猜想，探索出图形，通过发现规律、写出猜想、证明猜想，探索出图形的性质，再寻找判定方法。因此，教师应该抓住机会，
7、引导学的性质，再寻找判定方法。因此，教师应该抓住机会，引导学3生类比以前研究图形的性质的套路，自主探索这个特殊的直角生类比以前研究图形的性质的套路，自主探索这个特殊的直角三角形的性质。对于学生来说，发现边之间的数量关系不难，三角形的性质。对于学生来说，发现边之间的数量关系不难，难在如何证明猜想，思考在已知条件和求证的结论没有明显的难在如何证明猜想，思考在已知条件和求证的结论没有明显的关系时，应该做怎样的尝试，需要作一条恰当的辅助线帮助完关系时，应该做怎样的尝试，需要作一条恰当的辅助线帮助完成证明，由于上节课刚刚学习过直角三角形斜边上的中线的性成证明，由于上节课刚刚学习过直角三角形斜边上的中线的
8、性质，学生可能会想到作斜边上的中线这条辅助线，但要注意这质，学生可能会想到作斜边上的中线这条辅助线，但要注意这并不是证明这一结论的唯一方法，鼓励学生发现其他的证明方并不是证明这一结论的唯一方法，鼓励学生发现其他的证明方法。好在九年级的学生已经有一定的探索探索的能力，也有一法。好在九年级的学生已经有一定的探索探索的能力，也有一定的逻辑思维能力，只要在教师的适当引导下，应该可以很好定的逻辑思维能力，只要在教师的适当引导下，应该可以很好地理解这节课的内容。地理解这节课的内容。三、教学目标三、教学目标1 1、理解直角三角形、理解直角三角形角性质，会运用此结论解决简单的实际角性质，会运用此结论解决简单的
9、实际30问题。问题。2 2、会类比已有研究图形的方法，自主探索直角三角形、会类比已有研究图形的方法，自主探索直角三角形角性角性30质，培养逻辑推理，数学抽象等数学核心素养质，培养逻辑推理，数学抽象等数学核心素养3 3、体会依据经验探索新知、发现新知、运用新知的成就感，体、体会依据经验探索新知、发现新知、运用新知的成就感，体会数学语言之美，激发学习数学的兴趣。会数学语言之美，激发学习数学的兴趣。四、教学重点四、教学重点探索直角三角形探索直角三角形角性质的过程和简单应用。角性质的过程和简单应用。304五、教学难点五、教学难点证明直角三角形证明直角三角形角性质的过程。角性质的过程。30六、教学过程设
10、计六、教学过程设计教学过程教学过程设计意图设计意图一、问题导入一、问题导入 观察：观察：拿出两块三角板，拿出两块三角板，说一说它说一说它们边、角的性质。们边、角的性质。等腰直角三角形等腰直角三角形有一个锐角等于有一个锐角等于的直角三角形的直角三角形30角角45AB 30 ,60AB边边ACBC ? ?思考问题：思考问题：等腰直角三等腰直角三角形边之间角形边之间除了满足勾除了满足勾股定理之外，股定理之外，还具有两条还具有两条直角边相等直角边相等的特殊数量的特殊数量关系，有一关系，有一个锐角等于个锐角等于的直角三的直角三30角形，三边角形，三边除了也满足除了也满足勾股定理外，勾股定理外，还具有其它
11、还具有其它的特殊的数的特殊的数量关系吗？量关系吗？5BCAB = 0.50AB = 14.02厘 厘BC = 7.01厘 厘 C=90 A=30比比值值ACB222ACBCAB222ACBCAB 思考思考：有一个锐角等于：有一个锐角等于 3030的直角三角形，边之间还有其它的的直角三角形，边之间还有其它的数量关系吗？数量关系吗？二、发现规律二、发现规律说一说：说一说：通过观察手中的有一个锐角等于通过观察手中的有一个锐角等于 3030的直角三角形，的直角三角形，说一说边之间可能存在的数量关系。说一说边之间可能存在的数量关系。测量验证：测量验证：测量手中测量手中 4 4 个大小不同，有一个锐角等于
12、个大小不同，有一个锐角等于 3030的直的直角三角形各边的长度，填写测量记录。角三角形各边的长度，填写测量记录。小组讨论：小组讨论：测量结果是什么？有什么发现？测量结果是什么？有什么发现？ 几何画板验证：几何画板验证：拖动点改变直角三角形大小，观察拖动点改变直角三角形大小，观察 BCBC、ABAB 两条两条线段的长度线段的长度. . 发现规律：发现规律：12BCAB回顾方法：回顾方法：在研究几何图形性质时，一般步骤是什么？在研究几何图形性质时，一般步骤是什么？ 通过大胆表通过大胆表达想法、动达想法、动手测量，发手测量，发现数量关系，现数量关系，根据经验只根据经验只通过测量是通过测量是不能说明问
13、不能说明问题的，需要题的，需要逻辑证明，逻辑证明，体会合情推体会合情推理到演绎推理到演绎推理的过程理的过程研究几何图形的性质时，一般步骤是什么？发现规律说出猜想证明猜想得出结论合情推理合情推理演绎推理演绎推理6三、说出猜想三、说出猜想小组讨论：小组讨论：组织语言，用如果组织语言，用如果，那么，那么的形式说出猜想的形式说出猜想引导学生通引导学生通过说出猜想，过说出猜想，找出已知条找出已知条件和求证的件和求证的结论结论四、证明猜想四、证明猜想回顾方法：回顾方法：证明一个命题时，一般步骤是什么？证明一个命题时，一般步骤是什么？写出证明：写出证明：在学案上写出证明过程在学案上写出证明过程引导学生自引导
14、学生自主完成证明主完成证明一个命题的一个命题的过程，并尽过程，并尽可能用多种可能用多种方法证明，方法证明，培养学生的培养学生的逻辑思维能逻辑思维能力和研究问力和研究问题的能力题的能力D作作斜斜边边上上的的中中线线CD.则则CD=12AB=AD=BD 直直角角三三角角形形斜斜边边上上的的中中线线等等于于斜斜边边的的一一半半 A=30 B=60CDB是是等等边边三三角角形形BC=BDBC=12AB如如图图，在在RtABC中中， ACB=90 A=30.CAB30证证明明：求求证证：BC=12AB.已已知知：发现规律说出猜想证明猜想得出结论猜想：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直
15、角边等于斜边的一半。证明一个命题，一般步骤是什么？画出图形写出已知、求证、证明7添加辅助线：添加辅助线：在已知条件和结论没有明显的关系时，我们经常会在已知条件和结论没有明显的关系时，我们经常会做怎样的尝试？你是怎么想到要作斜边上的中线这条辅助线的？还有做怎样的尝试？你是怎么想到要作斜边上的中线这条辅助线的？还有其它证明方法吗？其它证明方法吗？学生板书：尽可能多地展示不同的证明方法学生板书：尽可能多地展示不同的证明方法五、得出结论五、得出结论直角三角形直角三角形 3030角性质角性质：直角三角形中，如果一个锐角等于直角三角形中，如果一个锐角等于 3030，那么它所对的直角边，那么它所对的直角边等
16、于斜边的一半。等于斜边的一半。得出猜想是得出猜想是成立的，数成立的，数形结合地记形结合地记忆此性质忆此性质DEDODDBCA30BCA30BCA3030ACB8简单地说就是：简单地说就是：3030角所对的直角边等于斜边的一半。角所对的直角边等于斜边的一半。几何语言：几何语言：六、简单应用六、简单应用1、填空：(1)AB= (2)BC= (3)BC= 4）AC=BC= AB= 2、如图是某营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 AB 的倾斜角为，大厅两层之间的距离 BC 为 6 米.则自动扶梯 AB 的长为 30.(1) (2) (3) (4)45ABC2 22 3BCA306BCA602BCA30
17、BCA30a2a3aD60在在RtABC中中， A=30BC=12AB93、如图，在 A 岛周围 20 海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点 O 处时，发现 A 岛在北偏东的方向，且与轮船相距 30海603里.该船如果不改变航向，有触礁的危险吗？（参考数据：）7 . 13 4、如图，在ABC 中，AB=AC=2a，B=，求腰 AB 上的高的15长度. 七、七、课堂小结课堂小结小组讨论：小组讨论：这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？完善知识体完善知识体系，总结研系，总结研究方法，培究方法，培养数学核心养数学核心素养素养 2a2aACB15方法：方法：1、研究图形性质的一般方法；2、证明一
18、个命题3、证明时，已知条件与求证结论没有明显关系时，尝试（中线、高、角平分线、平行线、延长线10七、分层作业七、分层作业设置分层作设置分层作业，留给学业，留给学生思考的空生思考的空间，激发学间，激发学习兴趣习兴趣八、板书设计八、板书设计几几何何语语言言：在在RtABC中中， A=30BC=12AB60D3a2aa30ACB3 30 0角角所所对对的的直直角角边边等等于于斜斜边边的的一一半半。（猜猜想想：）在在直直角角三三角角形形中中，如如果果有有一一个个锐锐角角等等于于3 30 0，那那么么它它所所对对的的直直角角边边等等于于斜斜边边的的一一半半。直直角角三三角角形形3 30 0角角性性质质八
19、、教学反思八、教学反思 D作作斜斜边边上上的的中中线线CD.则则CD=12AB=AD=BD 直直角角三三角角形形斜斜边边上上的的中中线线等等于于斜斜边边的的一一半半 A=30 B=60CDB是是等等边边三三角角形形BC=BDBC=12AB如如图图，在在RtABC中中， ACB=90 A=30.CAB30证证明明：求求证证：BC=12AB.已已知知：（必做题）课本104页习题24.21、2、3（探索题）探索直角三角形边与角之间的关系作业：作业：11 华东师大版九年级上册华东师大版九年级上册 数学是最宝贵的研究精神之一。-华罗庚20182018年一师一优课年一师一优课有一个锐角是30的直角三角形,
20、边之间还有其它的数量关系吗？研究几何图形的性质时，一般步骤是什么？发现规律说出猜想证明猜想得出结论合情推理合情推理演绎推理演绎推理发现规律说出猜想证明猜想得出结论猜想： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。证明一个命题，一般步骤是什么？画出图形写出已知、求证、证明直角三角形30角性质： 发现规律说出猜想证明猜想得出结论30 角所对的直角边等于斜边的一半。1 1、填空：、填空：(1)AB=(1)AB= (2)BC=(2)BC= (3)BC=(3)BC= (4)AC=BC=(4)AC=BC= AC=AC= (4)AB=(4)AB= 2 2、如图是某营业大厅自动
21、扶梯的示意图、如图是某营业大厅自动扶梯的示意图. .自动扶梯自动扶梯ABAB的倾的倾斜角为斜角为3030，大厅两层之间的距离，大厅两层之间的距离BCBC为为6 6米米. .则自动扶梯则自动扶梯ABAB的长为的长为 . .3 3、如图，在、如图，在A A岛周围岛周围2020海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点航行到点O O处时，发现处时，发现A A岛在北偏东岛在北偏东6060的方向，且与轮船相的方向，且与轮船相距距 海里海里. .该船如果不改变航向，有触礁的危险吗？该船如果不改变航向，有触礁的危险吗？4 4、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=AC=2AB=AC=2a，B=15B=15，求腰，求腰ABAB上的高上的高的长度的长度. .知识知识：直角三角形30 角性质：30 角所对的直角边等于斜边的一半。方法方法：1、研究图形性质的一般方法；2、证明一个命题的一般方法；3、证明时，已知条件与求证结论没有明显关系时，尝试作辅助线。（中线、高、角平分线、平行线、延长线）（必做题）课本104页习题24.21、2、3（探索题）探索直角三角形边与角之间的关系作业：作业：数学是最宝贵的研究精神之一。-华罗庚
