1、5. 一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系 华东师大版华东师大版 九年级上册九年级上册1.一一元二次方程的元二次方程的一一般形式是什么？般形式是什么？3.一一元二次方程的根的情况怎样确定？元二次方程的根的情况怎样确定？2.一一元二次方程的求根公式是什么？元二次方程的求根公式是什么？一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识 解下列方程，将得到的解填入下面的解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中的表格中，你发现表格中的两个解两个解的的和和与与积积和和原来的方程的系数原来的方程的系数有什么联系？有什么联系？进入新课进入新课x1x2X1+x2x2x1方程232-5你发现了什么规律
2、？你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律：（两根之和用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）项）设方程设方程x2+px+q=0的两根为的两根为x1,x2，用式，用式子表示你发现的规律子表示你发现的规律.（x1+x2=-p, x1x2=q） 关于关于x的方程的方程x2+p x+q=0 （p、q为已知为已知常数，常数，p2-4q0），）， 则则x1+x2=-p，x1 x2=q，这说明一元二次，这说明一元二次方程的系数与方程的两个根之间总存在一定方程的系数与方程的两个根之间总存在一定的数量关系。用这种关系可以在已知一元二的数量关
3、系。用这种关系可以在已知一元二次方程一个根的情况下求出另一个根及未知次方程一个根的情况下求出另一个根及未知系数，或求作一个一元二次方程。即：系数，或求作一个一元二次方程。即：x2-(x1+x2)x+x1x2=0结论：结论：填写下表：填写下表：猜想：猜想：x1x2X1+x2x2x1方程21如果一元二次方程如果一元二次方程的两个根分别是的两个根分别是x1、2，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？探索探索2 依据探索依据探索1 1过程，自己探索关过程，自己探索关于于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0(a0+bx+c=0(a0 ）的两根）的两根x x1 1 x x2 2与
4、系数与系数a a、b b、c c之间有何关系？之间有何关系？友情提示友情提示根与系数的关系存在的前提条根与系数的关系存在的前提条件是：（件是：（1)a0(2)b1)a0(2)b2 2-4ac-4ac0 0形形a ax x2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) ，已知：已知：如果如果一一元二次方程元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知求证：求证：abxx21推导推导: 如果如果一一元二次方程元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：那么：这就是这就是一一元二次方程元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫也叫韦达定理
5、韦达定理。1. x2-6x-15=0; 3. 5x-1=4x2.2. 3x2+7x-9=0;口答下列方程的两根之和与两根之积。口答下列方程的两根之和与两根之积。例例2 已知方程已知方程2x2+kx-9=0的一个根是的一个根是-3，求另一根及，求另一根及k的值的值.变式训练1、方程2x2+3x+ k =0的一个根是-3，求另一根及k的值.2、已知方程ax2+3x-9 =0的一个根是-3，求另一根及a的值.例例3 3已知已知,是方程是方程x2-3x-5=0的两根，不解的两根，不解方程，求下列代数式的值方程，求下列代数式的值. 三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解 1.不解方程，求下列方程的
6、两根之和与不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积两根之积: （1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2 2.两根均为负数的一元二次方程是（两根均为负数的一元二次方程是（ ） A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0引申引申: :1 1、若、若axax2 2 bxbx c c 0 0 ( (a a 0 0 0)0)（1 1）若两根互为相反）若两根互为相反数数, ,则则b b 0;0;（2 2）若两根互为倒）若两根互为倒数数, ,则则a a c c; ;（3 3）若）若一一根为根为0 0, ,则则c c 0 0 ; ;（4
7、 4）若）若一一根为根为1 1, ,则则a a b b c c 0 0 ; ;（5 5）若）若一一根为根为 1 1, ,则则a a b b c c 0;0;（6 6）若）若a a、c c异号异号, ,方程方程一一定有两个实定有两个实数数根根. . 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系. 1一元二次方程根与系数的关系是什么?课堂小结课堂小结四四1.P36页10、11题2.完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业五、课后拓展应用五、课后拓展应用 已
8、知x1,x2是关于一元二次方程方程x2+(2m 1)x （m2+1） 0的的两实数根两实数根1）用含）用含m的代数式表示的代数式表示x12+x222)当当x12+x22 =15的时候，求的时候，求m的值的值5.5.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系教学目标教学目标1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。2、提高学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。4、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力。激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。【过程与方法】通过探
9、究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.教学过程教学过程一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识1.1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？2.2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？3.3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？完成下列表格)0(02acbxax)04(2422acbaacbbxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的
10、实数根000你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）设方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1,+x2=p, x1x2=q）完成下列表格上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-,x1x2=）abac二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现的规律，对一般的一元二次方程 ax2+bx+
11、c=0（a0）这一规律是否也成立？试通过求根公式加以证明.ax2+bx+c=0 的两根, x1+x2=-,aacbbx2421aacbbx2422abx1x2=.ac特别强调：根与系数的关系存在的前提条件是：（特别强调：根与系数的关系存在的前提条件是：（1)a0(2)b1)a0(2)b2 2-4ac0-4ac0【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例 1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x2-6x-15=0;（2）3x2+7x-9=0;（3）5x-1=4x2.例 2 已知方程 2x2+kx-9=0 的一个根是-3，
12、求另一根及 k 的值.解：另一根为，k=3.23【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x=-3 代入方程先求 k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.变式训练1、方程 2x2+3x+ k =0 的一个根是-3，求另一根及 k 的值.2、已知方程 ax2+3x-9 =0 的一个根是-3，求另一根及 a 的值.例 3 已知 , 是方程 x2-3x-5=0 的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x22.两根均为负数的一元二次方程是（ ）A.7x2-1
13、2x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.引申引申:1:1、若、若axax2 2 bxbx c c 0 0 ( (a a 0 0 0)0)（1 1）若两根互为相反数）若两根互为相反数, ,则则b b 0;0;（2 2）若两根互为倒数）若两根互为倒数, ,则则a a c;c;（3 3）若一根为）若一根为 0,0,则则c c 0 0 ; ;（4 4）若一根为）若一根为 1,1,则则a a b b c c 0 0 ; ;（5 5）若一根为）若一根为 1,1,则则a
14、 a b b c c 0;0;（6 6）若）若a a、c c异号异号, ,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根. .四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结1 一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 b2-4ac0 时，才能应用根与系数的关系. 五、课后拓展应用已知x1,x2是关于一元二次方程方程x2+(2+(2m m 1)1)x x （m m2 2+1+1） 0 0 的两实数根的两实数根1）用含 m 的代数式表示 x12+x222)当x12+x22=15 的时候，求 m 的值六、课后作业1.P36 页 10、11 题2.完成练习册本课时的习题.教学反思教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.胡 晓 萍
