1、线段垂直平分线线段垂直平分线教学设计教学设计【核心素养核心素养】经历探究线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，感受观察、猜想、验证、证明图形性质的一般方法，理解性质定理及其逆定理的互逆关系，发展逆向思维探究问题的能力,培养学生严谨的思维能力和逻辑推理能力等核心素养.【教材分析教材分析】 线段垂直平分线是华师版全等三角形这一章中第五节逆命题与逆定理的第二课时的内容，是在学生学习了线段垂直平分线的概念、轴对称的性质、三角形全等的基础上进行的，线段垂直平分线性质定理及其逆定理在计算、证明和作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算.教材通过运动变换、推理论证得出线段垂直平分线的性质，然后从互逆命
2、题的角度探索其逆命题是否正确，渗透“逆向思维”，并加以论证.最后综合运用两个定理证明了三角形三条边的垂直平分线交于一点的事实.【学情分析学情分析】 学生在七年级下册轴对称的再认识中通过对折发现了线段是轴对称图形，且线段垂直平分线是它的对称轴.在此基础上，再次利用对折实验发现了线段垂直平分线的性质.在前面三角形全等的判定中已经具备了一定的推理能力，知道真命题必须经过严格的证明才能加以应用，这些都为本节课的探究学习奠定了基础.学生刚学了逆命题与逆定理，所以性质定理的逆命题不难得出，但是对于逆命题的证明将是学生的一个难点.所以在教学时，对于逆定理的证明必须加以引导.【教学目标分析教学目标分析】1、
3、知识技能：（1）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，分清两者的区别. （2）能用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行相关的计算、证明，解决实际问题.2、数学思考：在探究线段垂直平分线性质定理的过程中，感受观察、猜想、验证、证明等研究图形属性的方法，从自主探究逆定理的过程中感受逆向思维的方法.3、问题解决：学生初步学会从实际问题中抽象出数学问题，并利用线段垂直平分线的性质解决提出的实际问题.4、情感态度：通过性质的探究过程，感受到数学的严谨性，体验到团队合作交流的重要性，品尝到探究带来的快乐，树立学好数学的信心.【教学重点教学重点】 1.经历线段垂直平分线性
4、质定理及其逆定理的探究过程，掌握定理的内容.2.理解线段垂直平分线性质定理及其逆定理是互逆定理，分清它们的条件和结论.3.能够运用性质定理及其逆定理进行相关的计算、证明.【教学难点教学难点】 线段垂直平分线逆定理的证明及应用.【教法分析教法分析】本节课以学生的探究活动为主线，以突出重点、突破难点、实现教学目标、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学”为主，启发式教学和多媒体辅助教学相结合,注重培养学生动手操作、主动探究及合作交流的能力.【学法指导学法指导】通过自主探究、合作交流、师生互动的方式，突出学生是学习的主体.【教学过程教学过程】一、创设情境，引入新知一、创设情境，引入新知问题：小聪
5、和小明玩足球，小聪在A处，小明在B处，他们正在做抢足球的游戏，问：足球放在何处游戏才公平？生 1：放在线段AB的中点处.师：还可以放在其它地方吗？生 2：放在线段AB的垂直平分线上的任何一个位置.师：放在线段AB的垂直平分线上有道理吗？那就让我们一起来探究 “线段垂直平分线”吧！学好本节课，就能揭晓答案.（揭示并板书课题：13.5.2 线段垂直平分线）追问：什么叫线段的垂直平分线？【设计意图】通过踢足球游戏情境导入新课，激发学生的学习兴趣，引发学生探究线段垂直平分线性质的欲望二、探究新知（教材二、探究新知（教材 94-9594-95 页）页）1、活动一 猜想验证，探索性质.师生活动：尺规作出已
6、知线段 AB 的垂直平分线 ，在 上任取一点 P，连结PA、PB.师：猜一猜：PA、PB 有什么数量关系？生：PA=PB师：你有哪些验证方法？生：量一量、折一折（学生动手操作）【设计意图】学生通过观察，初步感知线段垂直平分线的性质，培养学生的猜想能力.让学生用不同的方法来验证这一结论，培养学生发散思维的能力，懂得用验证的方法来说明猜想的正确性.师：由此你能得出一个什么结论？ 生：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.【设计意图】让学生经历由特殊到一般地得出线段垂直平分线性质的过程师：你能证明这个结论吗？（教师引导学生写出已知，求证，画出相应的图形，学生独立完成证明过程）已知：如图，直线 l
7、AB，垂足为 C，AC =CB，点 P 在 l 上求证：PA =PB【设计意图】让学生经历观察、猜想、验证、证明线段垂直平分线性质的完整过程，积累探索图形性质的活动经验师生共同归纳得出：几何语言：直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上,PA =PB.【设计意图】让学生经历由文字语言到符号语言的转化，发展几何图形的符号感，锻炼逻辑推理能力.2、学以致用 如图，在ABC 中，点 D 在 AC 上，ED 垂直平分 AB，（1） 若 BD10，则 AD= 。（2） 若 AC14，BC=10,则BCD 的周长为 .【设计意图】让学生理解线段垂直平分线的性质，变理论学习为实际应用.3、活动二 逆向思
8、维 探究判定师: 你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这一性质定理的逆命题吗?请同学们思考、讨论、交流，填出下表：条件结论性质定理逆命题追问 1：这个逆命题是真命题吗？怎样证明？线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等师生活动: 根据画出的图形，教师引导学生写出已知、求证.再让学生思考，小组合作探究证明方法，教师对有困难的学生个别指导，在讨论交流的过程中，明确证明的思路，并让小组代表介绍证明思路.教师选择一种证明方法板演过程.其余方法让学生课后完成证明. 已知：如图，PA=PB求证：点 P
9、 在线段 AB 的垂直平分线上.归纳证明的方法：作垂直，证平分；作平分，证垂直；作角平分线，证垂直平分师生共同归纳得出：几何语言：PA =PB,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.【设计意图】让学生体验由原命题得到它的逆命题的过程，体会逆向思维是研究几何命题的一种思路，进一步学习证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力.4、学以致用 如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 上，且 BD+AD=BC求证：点 D 在 AC的垂直平分线上.【设计意图】让学生理解线段垂直平分线的判定定理，变理论为实际应用.追问 2：线段垂直平分线的性质定理与逆定理有什么关系呢？师生活动: 学生独立思考，充分
10、发表自己的见解逆定理（线段垂直平分线的判定定理）逆定理（线段垂直平分线的判定定理）：到线段两端距离相等的点到线段两端距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上【设计意图】 让学生分清线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，不至于混淆使用定理.三、综合运用，巩固新知三、综合运用，巩固新知 已知：如图，在ABC 中，OE 是 AB 的垂直平分线，是 AC 的 OF 垂直平分线，OE 和 OF 交于点 O. 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上.(分析：分析：要证点 O 在 BC 的垂直平分线上，只需证明 OB=OC. 已知 OE 是 AB 的垂直平分线,OF 是 AC 的垂直
11、平分线，所以OA=OB,OA=OC，即 OB=OC)（学生分析思路，教师补充，学生在学案上证明）追问：由这道题你能得出一个什么重要结论呢?结论：结论：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等.【设计意图】让学生理解并能熟练应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理.明白三角形三边垂直平分线交于一点的事实，体会综合法与分析法证明几何问题的基本思路，学会证明三线共点的方法.四、归纳小结，反思提高四、归纳小结，反思提高谈收获：（1）学到了什么知识？（2）经历了哪些数学活动？（3）体会到哪些数学思想？（4）感受到什么？师生活动：学生小结，教师再补充.【设计意图】 通过小结，梳理本节课
12、所学内容，总结方法，体会思想，掌握研究几何图形属性的一般方法.五、五、布置作业：布置作业：必做题必做题: :课本 P P9999（23 题）并完成学案上的证明.（位置关系）（位置关系）E选做题选做题: :在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 50，求B 的度数.思考题：思考题：已知:如图,AD 平分BAC,EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于 F,连结 AF.求证: CAF= B.【设计意图】 分层作业满足不同层次学生的要求，使每个层次学生都能得到训练.【板书设计板书设计】 13.5.2 线段垂直平分线性质定理：几何语言：（逆定理）判定定理：（
13、逆定理）判定定理：几何语言：几何语言：例题：例题：【教学反思教学反思】 12 【问题】小聪和小明玩足球，小聪在A处，小明在B处，他们正在做抢足球的游戏，问：足球放在何处才公平？启探练拓悟AB313.5.2线段垂直平分线 第十三章 全等三角形 华东师范大学义务教育教科书4启探练拓悟经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段垂直平分线，也叫中垂线。5启探练拓悟PA=PB猜一猜：PA、PB有什么数量关系？量一量、折一折你有哪些检验方法？由此能猜想出一个什么结论呢?6线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等。启探练拓悟【猜想】PACB怎么证明呢？7证明： ACP=BCP=90(垂直的定义
14、),在ACP和BCP中 AC=BCACP=BCP PC=PCACPBCP(S.A.S.).PA=PB(全等三角形的对应边相等).启探练拓悟PACB8启探练拓悟线段垂直平分线的性质定理：PACB线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。9【学以致用1】如图，在ABC中，点D在AC上，ED垂直平分AB，（1）若BD10，则AD=。（2）若AC14，BC=10,则BCD的周长为。1024启探练拓悟CBAED10AB足球放在何处才公平？问题解决11逆命题？启探练拓悟性质质定理：线线段垂直平分线线上的点到线线段两端的距离相等.12条 件结 论性质定理逆命题一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段两端的距离
15、相等一个点到线段两端的距离相等这个点在线段的垂直平分线上这个逆命题是真命题吗？启探练拓悟性质质定理：线线段垂直平分线线上的点到线线段两端的距离相等13 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上启探练拓悟如何证明？小组合作探究：证明方法。AQB14已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上启探练拓悟启探练拓悟作垂直，证平分B15已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上启探练拓悟作平分，证垂直取AB的中点C，作直线QC. CABQ16已知： 如图，QAQB.求证： 点Q
16、在线段AB的垂直平分线上作角平分线，证垂直平分启探练拓悟作AQB的角平分线交AB于点C 1 2CABQ17已知： 如图，QAQB.求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上启探练拓悟启探练拓悟作垂线作中线作角平分线CQBA1 2CBAlBACQl18PAB 启探练拓悟线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.19启探练拓悟【学以致用2】如图，在ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC求证：点D在AC的垂直平分线上解： BD+AD=BC ， 又 BD+DC=BC AD =CD 点D在AC的垂直平分线上DBCA（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）20点P在线段
17、AB的垂直平分线上PA=PB性质定理判定定理启探练拓悟线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆定理位置关系数量关系性质定理与判定定理有什么关系？21【综合运用】已知：如图，在ABC中，OE是AB的垂直平分线,OF是AC的垂直平分线求证：点O在BC的垂直平分线上CABOFE启探练拓悟OE是AB的垂直平分线OF是AC的垂直平分线OA=OBOA=OCOB=OC点O在BC的垂直平分线上结论：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等分析：22启探练拓悟线段垂直平线段垂直平线段垂直平线段垂直平分线分线分线分线 性质定理 线段相等 逆定理点在垂直平分线上 应用解决实际问题证明、计算 学会 观察、猜想 验证、证明谈谈本节课你有哪些收获？23必做题：课本P99（23题），并完成学案上的证明选做题： 作 业在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，求B的度数 .已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.思考题：24 在以后的学习中，以观察为先，有思考作伴，用实践求真，让知识服务生活，用智慧点亮人生！祝同学们：
