1、 导学导学目标目标 1.理解并识记因式分解的概念。理解并识记因式分解的概念。 2. 掌握公因式的概念，并会确掌握公因式的概念，并会确定多项定多项式各项的公因式式各项的公因式 3. 会用提公因式法把多项式分解会用提公因式法把多项式分解因式因式。 4.提公因式法与乘法分配律之间有何关提公因式法与乘法分配律之间有何关系系 教学重点教学重点 提取公因式法分解因式提取公因式法分解因式 教学难点教学难点 确定公因式确定公因式观察以下三例观察以下三例b(a+c)=ab+bc ab+bc= b(a+c)x(3+x)=3x+ x 3x+ x= x(3+x)b(mb+n-1)=mb+nb-b mb+nb-b=b(
2、mb+n-1) 把一个多项式化为几个把一个多项式化为几个整式整式的的积积的的形式，叫做多项式的形式，叫做多项式的因式分解因式分解。x2-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变因式分解与整式乘法是相反方向的变形形练习一练习一 理解概念理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是哪些是因式分解因式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24
3、=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解 继续观察继续观察,回答下列问题回答下列问题: (1)多项式多项式ab+bc各项都含有各项都含有相同的因式相同的因式吗吗?多项多项式式 3x+x 呢呢?多项式多项式mb+nb-b 呢呢? (2)同学们，上同学们，上面的多项面的多项式已分式已分别写成几个因式别写成几个因式的乘积的乘积,括号外那个因式有什么共同的特征呢？括号外那个因式有什么共同的特征呢？与同桌交流一下与同桌交流一下. （3）什么叫）什么叫公因式公因式?多项式
4、多项式2x+6x 中中公因式公因式是是什么什么?多项式中的每一项多项式中的每一项都含有都含有的一个的一个相同相同的因式的因式,叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式. 多项式中的多项式中的每一项每一项都含有的一个都含有的一个相相同的因式同的因式，叫做这个多项式的，叫做这个多项式的公因式公因式。相同因式相同因式m m这个多项式有什么特点这个多项式有什么特点？确定公因式的方法是什么确定公因式的方法是什么?确定多项式的公因式应对确定多项式的公因式应对系数系数和和字母字母分分别考虑别考虑 (1)对于对于系数系数, 如果系数是整数如果系数是整数,取各项取各项系数的系数的最大公约数最大公约数
5、作为公因式的系数作为公因式的系数 (2)对于对于字母字母需要考虑两条：一条是取需要考虑两条：一条是取各项各项相同字母相同字母, 另一条是各项另一条是各项相同字母的相同字母的指数取次数最低的指数取次数最低的.决定公因式组成的三要素决定公因式组成的三要素: 1.系数系数-各项系数的各项系数的最大公约数最大公约数2.字母字母-各项各项相同字母相同字母3.指数指数-取相同字母的取相同字母的次数的最低次数的最低次幂次幂 你能根据你的归纳说出下列四个多项你能根据你的归纳说出下列四个多项式的公因式吗式的公因式吗? (1) 4x-4xy (2) 4abc+8ab-12ab (3) 4m-6m (4) 2xm+
6、2+xm+1+xm4x4a2b2m2xm例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式.8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数公因式公因式4ab一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数观察观察方向方向2例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式.解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc). 什么叫提公因式法什么叫提公因式法? 如果一个多项式的各项含有如果一个多项式的各项含有_,那么就可以把这个那么就可以把这个_提出来提出来,从从而将多项式化成
7、两个因式乘积的形式而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法这种分解因式的方法叫做提公因式法.公因式公因式公因式公因式ma+mb+mc=m(a+b+c) 精讲例题精讲例题 例1. 分解因式 (1).3x+6 (2) 7x 21x解解: 原式原式=3x+32 =3(x+2)解: 原式原式=7xx 7x3 =7x(x 3)小结小结:提取公因式法的一般步骤提取公因式法的一般步骤 1. 确定应提取的公因式确定应提取的公因式 2. 用公因式去除这个多项式用公因式去除这个多项式,所得的商式所得的商式 作为另一个因式作为另一个因式 3.把多项式写成这两个因式的积把多项式写成这两个因式
8、的积 分解因式 (1) 8x-72 (2)4kx-8ky (3)3mx-6nx (4)ab-5ab8(x-9)4k(x-2y)3x(m-2nx)ab(a-5) 例2: 分解因式 8ab-12abc+ab解解: 原式原式=ab8a-ab12bc+ab1 =ab(8a-12bc+1)判断下列分解因式正确吗判断下列分解因式正确吗1. 2x+3x+x=x(2x+3x)2. 3ac-6ac=3a(c-2ac)X(2X+3X+1)3ac(1-2a)注意注意: 提取公因式后提取公因式后, (1)另一个因式不能再含另一个因式不能再含 有公有公因式因式(2)另一个因式的项数与原多项式的项另一个因式的项数与原多项
9、式的项数一致数一致我做得对吗？不要漏掉不要漏掉1 例例3:把把 -24x3-12x2+28x 分解因式分解因式分析分析: 如果多项式的第一项系数是负数如果多项式的第一项系数是负数,一一般要先提出般要先提出 “”号号 -24x-12x+28注意：首项负提负号要变号注意：首项负提负号要变号解:原式= -(24x+12x-28x)= -(4x6x+4x3x-4x7)= -4x(6x+3x-7)练习练习:分解因式分解因式(1)a+ab-ac(2)-2x+4x+2x想一想想一想: 提公因式法分解因式与单项式乘多项式提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系有什么关系?a(ab+c)2x(x2x1) 一
10、、选择题 1. ax+ay-axy在分解因式时在分解因式时,应提取的公因式应提取的公因式 ( ) A. a B. a C. ax D. ay 2.下列分解因式正确的个数为下列分解因式正确的个数为 ( )(1)5y+20y=5y(y+4y) (2) ab-2ab+ab=ab(a-2b) (3) a+3ab-2ac=-a(a+3b-2c) (4) -2x-12xy+8xy=-2x(x+6y-4y) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4BA小结小结:本节课我们学习了哪些知识本节课我们学习了哪些知识?3、确定公因式的方法、确定公因式的方法 （1）系数）系数取各项的最大公约数取各项的最大公约数 （2）
11、字母）字母取各项相同字母取各项相同字母 （3）指数）指数取各项相同字母的最低次幂取各项相同字母的最低次幂4、提公因式法分解因式的步骤、提公因式法分解因式的步骤（1）确定公因式）确定公因式（2）用公因式去除多项式的各项得另一因式）用公因式去除多项式的各项得另一因式（3）写成这两个因式的积的形式）写成这两个因式的积的形式1、什么叫做公因式？、什么叫做公因式？提公因式法小技巧提公因式法小技巧各项有各项有“公公”先提先提“公公”， 首项有负常提负首项有负常提负 某项提出莫漏某项提出莫漏1 括号里面分到括号里面分到“底底”拓展探究拓展探究( (公因式还可以是公因式还可以是多项式多项式) )把把 12b(
12、a-b)2 18(b-a)3 分解因式分解因式解法一：解法一： 12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b) =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)解法二：解法二： 12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(b-a)2 18(b-a)3 =6(b-a)2 2b 3(b-a) =6(a-b)2 (2b-3b+3a) =6(a-b)2(3a-b) 或或=6(a-b)2(-b+3a) = 6(a-b)2(b-3a) 课后巩固课后巩固 1. 2a(b+c)-3(b+c) 2. 4(x-2)-2
13、(2-x)布置作业布置作业 练习册p63到p65 用心、细心、耐心用心、细心、耐心1提公因式法提公因式法【教学设计思路教学设计思路】 本节内容是设计在学生在学习完整式的乘除法后，为探究整式乘法，乘法分配律的逆运算而设计的一节内容，明确因式分解和整式乘法的关系，起到承上启下的作用。本节主要讲提公因式法通过观察、设问、讨论、解疑，循序渐进，让学生达到一定的知识技能和运算能力。提公因式是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法以及用因式分解法解一元二次方程打下坚实的基础，更为学习分式运算和二次函数铺设一条金色大道。教学目标教学目标1使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区
14、别和联系2使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式3通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.教学重点及难点教学重点及难点重点重点：因式分解的概念及提公因式法。难点难点：正确找出多项式各项的公因式及因式分解与整式乘法的区别和联系。教学过程设计教学过程设计：一、导入新知一、导入新知21、请同学们观察导学案导入新知三个等式，当等式的左右两边调换位置后，形式发生了哪些变化？ 2、新课引入：用举例子的方法引入课题在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整
15、式的积的形式方法二、新知探究二、新知探究（一）自主学习自主学习1、 因式分解的概念：请同学们完成课本“回忆”与“试一试”部分，观察下列左、右两列等式：b(a+c)=ab+bc ab+bc= b(a+c)x(3+x)=3x+ x 3x+ x= x(3+x)b(mb+n-1)= mb+nb-b mb+nb-b= b(mb+n-1)左边三个等式有什么共同的特点？二号学生作出总结：特点：等式的左边是，整式整式；等式的右边是，多项式左边三个等式有什么共同的特点？一号学生作出总结：特点：等式的左边是，多项式；等式的右边是，整式整式可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应3的整式与整式的乘积
16、，我们就把多项式的这种变形叫做因式分解抽 2 号生总结因式分解的定义：定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式如：因式分解：ma+mb+mcm(a+b+c)整式乘法：m(a+b+c)ma+mb+mc让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别 （教师及时补充）联系：因式分解与整式乘法互为逆运算区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式教师点拨：因式分解必须是多项式化为几个“整式”的“积”的形式。例如：x2（x
17、） （x）yy1y1y1请同学们思考上例是否是因式分解？再如：a22a1a（a2）1是否又是因式分解？（强调概念的重要性）（二）小组合作小组合作1、同学们继续观察右边三个等式发现什么共同特点？小组讨论，组长归纳：4多项式中各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式注意：公因式是各项都含有的公共的因式2.怎样确定多项式的公因式？（小组讨论）例一：找出多项式的公因式 12xyz-9x2y2 是 xy 还是 3xyz 还是 3xy?组长总结：（老师补充）归纳确定多项式公因式的方法： (1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母（3）各字母的指数取最低次数。各小组
18、3 号上板展示：3、试指出下列各多项式中各项的公因式： (1)ax+ay+a (a)(2)3mx-6mx2 (3mx)(3)-4a2+10ah (-2a)(4)x2y+xy2 (xy)(5)12xyz-9x2y2 (3xy)观察以上三例公因式和原多项式的关系，总结提公因式的定义：4、提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提5到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法（三）例题精讲例题精讲（教师示范）例 1 把 8a3b2-12ab2c 分解因式分析：分两步：第一步，确定公因式；第二步，提公因式先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公
19、因式 4ab2解：8a3b2-12ab2c=4ab22a2-4ab23bc 找出各项的公因式=4ab2(2a2-3bc) 提取公因式教师点拨： (1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出 检测一检测一( (小组 4 号上台展示) )把下列各式分解因式4x+4y 4x-4xy 12a3b-6ab 6a2b-9a2b2c4abc+8ab-12ab 6 9a2b-6ab+3a 例 2把 -24x3-12x2+28x 分解因式观察分析：与例 1 不同的是首项为“”，此时，必须把负号提到括号外，注意提取公因式后括号内各项要改变正负号，其他步骤和例 1 相同
20、。-24x-12x+28解:原式= -(24x+12x-28x)= -(4x6x+4x3x-4x7)= -4x(6x+3x-7)检测二（检测二（小组 2 号上台展示）把下列各式分解因式-16x-12xyz-9x2y2 -2m3+8m2-12m -32x3-56x -7ab-14abx+49aby例 3计算 20.1152+20.1199-20.1124 分析：数字因式也可以作为公因式，以上三个乘法运算中都含有因数 20.11，它也可以作为公因式。解：原式=20.1125+20.1199-20.11247=20.11（25+99-24）=20.11100=2011检测三检测三 计算下列各式（小组
21、 1 号上台展示）1、2011+20112-20122 2、232.718+592.718+182.718 3、57.61.6+57.618.4+57.6（20）三拓展探索三拓展探索例：把 2a(b+c)-3b(b+c)分解因式分析：(b+c)是这个式子的公因式，公因式也可以是多项式，可以直接提出。解：原式=2a(b+c)-3b(b+c)=(b+c)（2a-3b）请同学们试着做一做：1.2a(y-z)-3b(z-y); 2. p(a2+b2)-q(a2+b2).3.4(x-2)-2(2-x) 4.12b（a-b）2-18(b-a)3四四 达标检测（达标检测（抽生上台展示） 1. 判断下列各式那
22、些是整式乘法？那些是因式分解？（1 1）x2-4y2=(x+2y)(x-2y) （2）2x(x-3y)=2x2-6xy8（3）(5a-1)2=25a2-10a+1（4）x2+4x+4=(x+2)2（5）(a-3)(a+3)=a2-9（6）m2-4=(m-2)(m+2)2. 说出下列多项式各项的公因式：(1) ma + mb（2) 4kx 8ky ；(3) -5y3+20y2 ； (4) a2b2ab2+ab 动手试一试你会了吗？ 3.把下列各式分解因式: (1) 8m2n+2mn; (2)12xyz-9x2y2;(3) - x2+xy-xz; (4) -12x2y+18xy2.4.先分解因式,
23、再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中 a=-5 x=35.计算 534+2433+63326.综合闯关（1） 、 （-2）101+（-2）100（2） 、已知，2x+y=4 xy=3 求代数式 2x2y+xy2的值。五梳理知识五梳理知识1因式分解的意义及其概念2因式分解与整式乘法的联系与区别93公因式及提公因式法4提公因式法因式分解中应注意的问题六、作业布置六、作业布置导学方案对应习题.七、教学反思七、教学反思 因式分解是八年级数学学习中非常重要的一节内容，是代数式中重要的一节恒等变形，在代数式中运算应用很广泛，是为学习后面二次函数、分式化简运算、因式分解法解一元二次方程打基础，所以
24、说因式分解是八年级数学中一个重点知识点，需要我们学生很熟练地掌握。学习这节内容在学生们经历了观察、猜测、质疑、运算、解疑等过程后，明确了因式分解和整式乘法的关系，明确了公因式的概念，明确提公因式的一般步骤，也知道了公因式既可以是单项式，也可以是多项式，还可以是数字。做题是强化概念的最好方法，教学中我精选了一些习题，充分利用多媒体，展示不同类型的习题，节省时间和空间，遵循学生的认知规律，采用循序渐进的原则，真正倡导“学生为主体，教师作引导”的课改新意念，充分信任学生，让小组成员各尽所能，各献其策，主动发言，积极讨论，让学生发挥自己学习的积极性和主动性，不但提高学生的理解能力，也提高了学生党语言表达能力。让学生掌握数学思想和数学方法对学生将来更高层次的学习有极大的帮助，只有这样学生才能在以后的学习中10走得更高更远。不足之处也还存在：1、当分解结果是整式的积时，应单项式在前，多项式在后。2、分解结果应以最简形式展现，相同因式写成幂的形式，有同类项时要合并。3、提取因式时一次性提取完整。4、当公因式和其中一项相同时，提取完不要忘了 1。5、遇到互为相反的因式时先变形，再提取，变形原则是：变后不变前，变偶不变奇，变少不变多。 霍州市第三中学霍州市第三中学 李燕萍李燕萍11提提 公公 因因 式式 法法教学设计教学设计
