1、初中数学 八年级 上册第十一章 第二节实 数1有理数包括哪些数？有理数包括哪些数？有理数有理数整数整数分数分数正整数正整数 零零负整数负整数正分数正分数负分数负分数有理数有理数正有理数正有理数零零负有理数负有理数正整数正整数正分数正分数负整数负整数负分数负分数2 2有理数中的分数能化为小数吗有理数中的分数能化为小数吗? ?化为什么化为什么样的小数？举例加以说明。样的小数？举例加以说明。答：任何一个分数写成小数的形式，必是答：任何一个分数写成小数的形式，必是 有限小数有限小数或者或者无限循环小数无限循环小数 例如例如 是无限不循环小数。是无限不循环小数。=1.414213562373095048
2、8016887242096980785696 71875376948073176679737990732478462107038 85038753432764157273501384623091229702492 48360558507372126441214970999358314132226 659275055927557999505011527820605715 是怎样的数？是怎样的数？无限不循环的小数叫做无理数。无限不循环的小数叫做无理数。无理数：无理数： 无理数史话无理数史话 大约公元大约公元600600年，古希腊的毕达哥拉斯年，古希腊的毕达哥拉斯( ( Pythagoras)Pyt
3、hagoras) 学派认为学派认为“宇宙间的一切现象都能归结为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述。整数或整数之比，即都可用有理数来描述。 这学派的成员希伯索斯这学派的成员希伯索斯( (HippasusHippasus) ) 发现边长为发现边长为1 1的的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，最了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，最后他遭到毕氏成员的追捕，被投入大海。后他遭到毕氏成员的追捕，被投入大海。 但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了但真理是不可战胜的
4、，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现希伯索斯的发现。关于无理数的发现是发现者付出了关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的昂贵的代价的。他为真理而献出了宝贵的生命他为真理而献出了宝贵的生命。根据你所看到的或想到的根据你所看到的或想到的,你觉得无理你觉得无理数数都都有哪些形式？有哪些形式？例例1.把下列各把下列各数数分别填入相应的集合内：分别填入相应的集合内：0.101， 有理有理数数 无理无理数数集合集合集合集合 有理有理数数和和无理无理数数统统称称实实数数. .开方开不尽的开方开不尽的数数有规律但不循环有规律但不循环的无限小的无限小数数含有含有 的的数数 注意注意:带根号带根号的数不一定
5、是的数不一定是无理数无理数实实数数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数 0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况实数的分类：实数的分类：实实数数正实数正实数 0负实数负实数正有理数正有理数正无理数正无理数负有理数负有理数负无理数负无理数也可以这样来分类：也可以这样来分类：例例2. 把下列各数填入相应的集合内把下列各数填入相应的集合内.（1）无理数集合：）无理数集合： ;（2）有理数集合：）有理数集合： ;（3）正实数集合：）正实数集合：
6、;（4）负实数集合：）负实数集合： .你你能在能在数轴上数轴上 表示表示出出 吗？吗？无理无理数数能在能在数轴上数轴上 表示表示出出来吗？来吗？0-1121AB 如图如图:OA=OB,数轴上数轴上A点对应的数是什点对应的数是什么么? 如图如图，直径为个单位长度的圆从原点沿直径为个单位长度的圆从原点沿数轴数轴 向右滚向右滚动动一一周周，圆圆上一上一 点从原点到达点点从原点到达点，则点的坐标为多则点的坐标为多少？少？-4-201234-1-3无理无理数数 可以用可以用数轴上数轴上 的点来表示的点来表示. .A A你能在你能在数轴上数轴上 表示表示 吗？吗？实数和数轴上的点是一一对应的。实数和数轴上
7、的点是一一对应的。反过来反过来，数轴上，数轴上 的每的每一一点都表示点都表示一一个实个实数。数。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数。（两个无理数之积不一定是无理数。（ ）7.两个无理数之和一定是无理数。（两个无理数之和一定是无理数。（ ）8.所
8、有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（数轴上所有的点都表示有理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（
9、）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数。（两个无理数之积不一定是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数
10、。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）7.两个无理数之和一定是无理数。（两个无理数之和一定是无理数。（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数。（两个无理数之积不一定是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实
11、数不是有理数就是无理数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）4.
12、带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数。（两个无理数之积不一定是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ）4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）2. 无限小数都是无理数。（无限小数都是无理数。（ ）练习练习1:填空：填空：（1） 的相反数是的相反数是_ （2） 的相反数是的相反数是（3）
13、_ （4）绝对值等于）绝对值等于 的数是的数是 _ 注意：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值注意：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。值的意义完全一样。练习练习2：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的把下列实数表示在数轴上，并比较它们的 大小（用大小（用“”号连接）号连接）解：解：在数轴上表示如下。在数轴上表示如下。由上图得，由上图得， 1.4 1.53.3 -2 -1 0 1 2 3 4 51.53.3-1.4 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
14、边的数大。 实实数数有理有理数数无理无理数数实实数数和和数轴上数轴上 的点是的点是一一对一一对 应应的的.实实数数 有理有理数数 无理无理数数 整整数数分分数数有限小有限小数数和无限循环小和无限循环小数数无限不循环小无限不循环小数数实实数数 正实正实数数 负实负实数数0 0 正有理正有理数数 正无理正无理数数 负有理负有理数数 负无理负无理数数 先事后得 知行合一11.211.2 实数实数第第 1 1 课时课时教学目标教学目标知识目标：了解无理数、实数的概念和实数的分类；知道实数与数轴上的点一一对应。能力目标：让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程。通过无理数的引入，培养从特
15、殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力。情感目标：渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系，提高学生的数学素养。教学重点、难点教学重点、难点重点：了解无理数、实数的概念和实数的分类.难点：正确理解无理数的意义.教学程序教学程序一、一、 【旧知储备旧知储备】1 1、有理数包括哪些数？、有理数包括哪些数？2 2、举例说明分数能写成怎样的小数？、举例说明分数能写成怎样的小数？从自然数到有理数，我们认识数字的领域在不断的扩大，今天我们进入一从自然数到有理数，我们认识数字的领域在不断的扩大，今天我们进入一个新的数字式领域个新的数字式领域-实数。实数。二、二、 【新知探究新知探
16、究】1 1、无理数、实数定义的得出：、无理数、实数定义的得出：2是个怎样的数呢？是个怎样的数呢？用计算器计算得到用计算器计算得到 1.414235621.41423562将计算器清零将计算器清零重新输入重新输入 1.414235621.41423562进行平方计算进行平方计算发现结果是发现结果是 1.999-1.999- 2只是近似等于1.414235621.41423562，它是一个无限不循环的小数。，它是一个无限不循环的小数。无理数定义：无理数定义：无限不循环的小数叫做无理数。(出示无理数史话,提高学生数学素养)思考无理数的正负？思考无理数的正负？出示例题：出示例题：（学生通过例题进行经验
17、性的总结）（学生通过例题进行经验性的总结）实数的定义：有理数和无理统称实数。实数的定义：有理数和无理统称实数。2 2、实数的分类：、实数的分类：或者或者3 3、实数与数轴的对应关系：、实数与数轴的对应关系：如何在数轴上找到表示2的点？（小组讨论、合作：用两个边长 1 分米的正方形拼一个大正方形，计算大正方形的边长，分析大正方形的边长和原小正方形的关系，从而在数轴上形象直观的描出表示2的点）如何在数轴上找到表示 的点？（学生讨论找到方法）实数与数轴上的点是一一对应的。实数与数轴上的点是一一对应的。三、三、 【新知巩固新知巩固】四、四、 【巩固提升巩固提升】五、五、 【课堂小结课堂小结】知识:数学
18、思想:六、板书设计：六、板书设计：11.2.111.2.1 实数与数轴实数与数轴同步练习题同步练习题1、把下列各数分别填入相应的数集里.-31，-1322，7，327，0.324371, 0.5, -36. 0, 39, 492, -4 . 0,16,0.8080080008 实数集 无理数集 有理数集 分数集 负无理数集 2、下列各说法正确吗？请说明理由.3.14 是无理数； 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； 带根号的数都是无理数； 无理数都是开方开不尽的数； 不循环小数都是无理数.3、如图，数轴上表示 1，的点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点 C 所表示的数为3（ ）
19、A、1 B、1 C、2 D、233334、下列判断正确的是（ ）A、 B、 C、 D、33222233153243555、如图，在数轴上点 A 和点 B 之间表示整数的点有 个，分别是 .6、学校准备修建一个面积为 81的花坛，外围砌上花墙，现有两种方案：（1）若建成2m正方形，则花墙的周长为 ；（2）若建成圆形，则花墙的周长为 .根据你计算的结果，从节省花墙材料的角度考虑，应选择第 种方案.（）14. 37、请将数轴上的各点与下列实数对应起来：，-1.5-1.5， ，3.258、在、四个数中,最大的数是( )53232A. B. C. D.532329、大家都知道是一个无理数，那么在哪两个数
20、之间：（ ）551A、1 与 2 B、2 与 3 C、3 与 4 D、4 与 510、判断对错：对的画“” ，错的画“”. (1)无理数都是无限小数. （ ） (2)无限小数都是无理数. （ ） (3)25是无理数. （ ） (4)15是无理数. （ ） (5)带根号的数都是无理数. （ ） (6)有理数都是实数. （ ）11、完成下面实数分类：12、已知为有理数，为无理数，在下列各数中，哪些一定是无理数？哪些不一定是a, b c 整数有理数实数正无理数正有理数 负实数0实数正实数 无理数？如果不一定是，请举例说明.；.ababbcbc解：一定是无理数，、不一定是无理数.如当时，；2, 0ba0ab如时，；如时，2,2cb022 cb21,2cb.1212bc13、阅读下面的文字,解答问题.大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部22地写出来,于是小明用-1 来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?22事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是 1,将这个数减去其整数部分,2差就是小数部分.请解答:已知:10+=+,其中是整数,且 01,求的相反数.3xyxyxy
