1、22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2 的 2 次幂”、“7的 3 次幂”，其中 2 与 7 叫做底数（base）,2 与 3 叫做指数（exponent）。这种求 n 个相同因数 a 的积运算叫做乘方乘方（power），乘方的结果叫做幂幂（power），a 叫做底数（base number），n 叫指数（exponent）。任何数的 0 次方都是 1，例：3=1（注：0 无意义）同底数幂法则同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。推导：设 am*an中，m=2，n=4，那么a2*a4=（a*a）*(a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a
2、=a6=a(2+4)所以代入：am*an=a(m+n)正整数指数幂法则正整数指数幂法则ak=a*a*.*a（k 个 a），其中 kN*（即 k 为正整数）指数为指数为 0 0 幂法则幂法则a0=1 ，其中 a0 ，kN*推导：a0=a(1-1)=(a1)/(a1)=a/a=1负整数指数幂法则负整数指数幂法则a(-k)=1/(ak) ，其中 a0,kN*推导：a(-k)=a(0-k)=(a0)/(ak)=1/(ak)2正分数指数幂法则正分数指数幂法则a(m/n)=，其中 n0 ， m/n0，m,nN*（即 m,n 为正整数）负分数指数幂法则负分数指数幂法则a-(m/n)=，其中，am0（0，a0
3、），m/n0，n0，m,nN*推导：a-(m/n)=a(0-m/n)=(a0)/a(m/n)=1/a(m/n)=1/=分数指数幂时，当 n=2k,kN*， 且 am0 时，则该数在实数范围内无意义特别地，特别地，0 的非正数指数幂没有意义的非正数指数幂没有意义平方差平方差两数和乘两数差等于它们的平方差。两数和乘两数差等于它们的平方差。用字母表示为：（a+b）（a-b)=a2-b2推导：(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=(a2+ab)-(b2+ab)=a2-b23幂的乘方法则幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（am）n=a(mn)
4、幂的乘方特别指出特别指出：amn=a(mn)积的乘方积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（ab）n=anbn这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：（abc）n=anbncn同指数幂乘法同指数幂乘法同同指数幂指数幂相乘，指数不变，底数相乘。相乘，指数不变，底数相乘。用字母表示为：（an）*（bn）=（ab）n完全平方完全平方两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的 2 倍倍。用字母表示为：（a+
5、b）2=a2+2ab+b2 或（ab）2=a22ab+b2我们一般把前者叫作完全平方公式完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式完全平方差公式。立方和立方和a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差立方差a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)4多项式平方多项式平方(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac二项式二项式艾萨克艾萨克牛顿牛顿发现了二项式二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 这就是著名的杨辉三角杨辉三角。速算速算有些较特殊的数的平方，
6、掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。由由 n 个个 1 组成的数的平方组成的数的平方我们观察下面的例子。12=1112=1211112=1232111112=1234321111112=1234543211111112=12345654321由以上例子可以看出这样一个规律；求由 n 个 1 组成的数的平方，先由 1 写到 n，再由 n 写到 1，即：111（n 个个 1）2=1234(n-1)n(n-1)4321注意：其中 n 只占一个数位，满 10 应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。由由 n 个个 3 组成的数的平方组成的数的平方我们仍观察具体实例：32=9332=10893
7、332=11088933332=11108889333332=1111088889由此可知：333（n 个个 3）2 = 1111【(n-1)个个 1】0 8888【(n-1)个个 8】9个位是个位是 5 的数的平方的数的平方把 a 看作 10 的个数，这样个位数字是 5 的数的平方可以写成；（10a+5）2 的形式。根据完全平方式推导；（10a+5）2=（10a）2+210a5+52=100a2+100a+25=100a（a+1）+25=a（a+1）100+25由此可知：个位数字是个位数字是 5 的数的的数的平方平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大，等于去掉个位数字后，所得的数与比
8、这个数大1 的数相乘的积，后面再写上的数相乘的积，后面再写上 25。2.112.11 有理数的乘方有理数的乘方教学设计教学设计一、设计理念一、设计理念学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学、学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学、做数学，始终给学生创造自由发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替做数学，始终给学生创造自由发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，而是把重点放在教学情境的设计上。本节教学以学生为中心，从学生已有的生活学生思考，而是把重点放在教学情境的设计上。本节教学以学
9、生为中心，从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，让学生在老师的指导下主动学习。经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，让学生在老师的指导下主动学习。二、教学目标二、教学目标1.1.知识与技能知识与技能（1 1）理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念。）理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念。（2 2）使学生能够灵活地进行乘方运算。）使学生能够灵活地进行乘方运算。2.2.过程与方法过程与方法通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化的数学
10、思想。的数学思想。3.3.情感态度价值观情感态度价值观（1 1）通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。）通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。（2 2）学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。）学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。三、教学重点、难点三、教学重点、难点1.1.教学重点：正确理解乘方的意义，弄清底数、指数、幂等概念，掌握乘方运算法则。教学重点：正确理解乘方的意义，弄清底数、指数、幂等概念，掌握乘方运算法则。2.2.教学难点：乘方的运算。教学难点：乘方的运算。四、教学方法四、教学方法举出生活中熟悉的例子，引导学生探索乘方的意义，尝试
11、指导，充分体现学生的主体地举出生活中熟悉的例子，引导学生探索乘方的意义，尝试指导，充分体现学生的主体地位。位。五、教学过程：五、教学过程：（一）创设情境（一）创设情境探求新知探求新知问题引入问题引入1 1、珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是、珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是 88488848 米。把一张足够大的厚度为米。把一张足够大的厚度为0 01 1 毫米的纸，连续对折毫米的纸，连续对折 3030 次的厚度能超过珠穆朗玛峰。这是真的吗？次的厚度能超过珠穆朗玛峰。这是真的吗？2 2、回忆、回忆(1)(1)边长为边长为 a a 的正方形的面积怎么表示？的正方形的面积怎么表示？(2)
12、(2)棱长为棱长为 a a 的正方体的体积怎么表示？的正方体的体积怎么表示？ （设计意图：用学生已有的知识引入新课，化难为易，激发学生的学习兴趣。（设计意图：用学生已有的知识引入新课，化难为易，激发学生的学习兴趣。 ）（二）（二） 、乘方的意义、乘方的意义乘方：求乘方：求 n n 个相同因数个相同因数 a a 的积的运算叫做乘方的积的运算叫做乘方 a an n读作读作 a a 的的 n n 次幂（或次幂（或 a a 的的 n n 次方）次方） 。其中其中 a a 是底数，是底数，n n 是指数。是指数。 ( (设计意图设计意图) )：通过学生讨论、归纳得出的知识，比教师的单独讲解要记得牢，同时
13、也培养学生归纳和通过学生讨论、归纳得出的知识，比教师的单独讲解要记得牢，同时也培养学生归纳和概括的能力，让学生在活动中感受数学符号的简捷美。概括的能力，让学生在活动中感受数学符号的简捷美。（三）巩固训练（三）巩固训练1 1、读出下列各数，并指出其中的底数和指数、读出下列各数，并指出其中的底数和指数1）在在 中，中，9 是是 数，数，4 是是 数，读作数，读作 ；表示；表示 个个 相乘的积。相乘的积。2）在）在 的底数是的底数是 ，指数是，指数是 ，读作，读作 ；表示；表示 个个 相乘的积。相乘的积。 (3)(3)在在 中，中，-3-3 是是 数，数，1616 是是 数，读作数，读作 ；表示；表
14、示 个个 相乘的积。相乘的积。(4)(4)在在 中，底数是中，底数是 ；指数是；指数是 ；读作；读作 ；表示；表示 个个 相乘的积。相乘的积。 2 2、把下列乘方写成乘法的形式：、把下列乘方写成乘法的形式：（1 1）、）、（-0.9-0.93 3） = = ；35 . 1a a a a a a a aa a a a= = = =a a a an n n n4973216317ana幂幂底底数数指数指数（2 2）、）、 = = ；（3 3）、）、 = = 3 3、判断下列各题是否正确：、判断下列各题是否正确： （1 1） 2 23 3=2=2 33 （ ） ； （2 2） 2+2+2=2+2+2
15、= 2 23 3 （ ） ； (3)(3) 4 43 3=444=444 （ ） ；(4)(4) -2-2 4 4= = （-2-2 ） （-2-2 ） （-2-2 ） （-2-2 ） 4 4、 计算计算 （设计意图）（设计意图）通过本组练习，巩固有理数乘方的意义和运算通过本组练习，巩固有理数乘方的意义和运算, ,让每一位学生体验学习数学的乐趣，找让每一位学生体验学习数学的乐趣，找到自信。体会分类的数学思想到自信。体会分类的数学思想, ,同时为后面探索乘方的符号法则留下伏笔同时为后面探索乘方的符号法则留下伏笔. . 思考归纳：思考归纳：从上面练习中，你发现负数的幂的正负有什么规律？从上面练习中
16、，你发现负数的幂的正负有什么规律？当指数是奇数时，负数的幂是当指数是奇数时，负数的幂是负负数；数；当指数是偶数时，负数的幂是当指数是偶数时，负数的幂是正正数数（三）乘方运算的符号规律（三）乘方运算的符号规律: : 1 1、负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数、负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数 ；2 2、正数的任何次幂都是正数；、正数的任何次幂都是正数；0 0 的任何正整数次幂都是的任何正整数次幂都是 0 0。练习一、确定下列幂的正负（口答）练习一、确定下列幂的正负（口答）（1 1）(1/3)(1/3)5 5 (2)(-1)(2)(-1)3 3 (3)(3) (-3)(-3)4 4 (4
17、)(4) (-10)(-10)2 2 (5)(5) (-7/4)(-7/4)3 3练习二、计算：练习二、计算： (1)(1) (-3)(-3)3 3; ; (2)(2) (-2)(-2)6 6; ; (3)(3) -8-83 3; ; (4)(4) -(-5)-(-5)3 3 (5)(5) 0.10.13 3; ; (6)(6) -(-( ) )4 4; ; (7)(7) (-10)(-10)4 4; ; (8)-(8)- (-10)(-10)5 5（四）拓展与提升（四）拓展与提升试一试：（口答）试一试：（口答） ，计算并找规律，计算并找规律（1 1）1 13 3 （2 2）1 1200820
18、08 （3 3） （-1-1）8 8 （4 4） （-1-1）20082008 4792ba.)32(3)(;2(2);4(1)343（5 5）(-1)(-1)7 7 (6)(-1)(6)(-1)20072007规律规律1 1、1 1 的任何次幂都为的任何次幂都为 1 12 2、 -1-1 的奇次幂是的奇次幂是-1-1 -1-1 的偶次幂是的偶次幂是 1 1（设计意图）：（设计意图）：通过学生自己做练习、探索规律，获取通过学生自己做练习、探索规律，获取 1 1 的乘方运算规律，教师放手学生操作，把课堂的乘方运算规律，教师放手学生操作，把课堂还给学生，真正体现学生的主体地位。还给学生，真正体现学
19、生的主体地位。（五）易错辨析（五）易错辨析1 1、解决下列问题，你能从中发现什么、解决下列问题，你能从中发现什么（1 1） -3-34 4和和(-3)(-3) 4 4有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？（2 2） 有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？答答:(1)-3:(1)-34 4表示表示 4 4 个个 3 3 相乘的积的相反数或相乘的积的相反数或 3 3 的的 4 4 次幂的相反次幂的相反 数数, , 结果是结果是-81-81 ； 而而(-3)(-3)4 4则表示则表示 4 4 个个(-3)(-3)相乘的积或相乘的积或(-3)(-3)的的 4 4 次幂，次幂， 结果
20、是结果是 8181 32)32(22与。34322323294323232)32)(2(22等于的商的平方与表示而等于的平方表示警示警示 1:1: 负数和分数的乘方负数和分数的乘方, ,底数必须加括号。底数必须加括号。2 2、解决下列问题，你能从中发现什么？、解决下列问题，你能从中发现什么？ (3)(3) 3 32 2与与 2 23 3有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？（4 4）23232 2和（和（2323）2 2 有什么区别？有什么区别？答：答： （ 3 3） 3 32 2表示表示 3 3 的的 2 2 次幂；而次幂；而 2 23 3表示表示 2 2 的的 3 3 次幂，次幂
21、， 它们的结果分别是它们的结果分别是 9 9 和和 8 8（4 4） 23232 2表示表示 2 2 与与 3 3 的平方之积，等于的平方之积，等于 1818； 而（而（2323）2 2表示表示 2 2 与与 3 3 的积的平方，的积的平方，等于等于 3636 警示警示 2 2： 乘方运算中必须识别清楚底数和指数。乘方运算中必须识别清楚底数和指数。（六）课堂检测（六）课堂检测1 1、 （口答）（口答） 把下列乘法式子写成乘方的形式：把下列乘法式子写成乘方的形式：（1 1） 、1111111=1111111= ；（2 2） 、33333=33333= ；（3 3） 、 （3 3）（3 3）（3
22、3）（3 3） = = ； （4 4） 、 = =2 2、填空：平方等于它本身的数是、填空：平方等于它本身的数是_。立方等于它本身的数是。立方等于它本身的数是_。3 3、 计算：计算：（1 1）-0.25-0.252 2 （2 2）（3 3） （4 4）( (七）联系实际：七）联系实际：珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是 88488848 米。把一张足够大的厚度为米。把一张足够大的厚度为 0 01 1 毫毫米的纸，连续对折米的纸，连续对折 3030 次的厚度能超过珠穆朗玛峰。这是真的吗？次的厚度能超过珠穆朗玛峰。这是真的吗？656565653211
23、 32)32- (2332解：解：对折对折 3030 次后的厚度为次后的厚度为所以，折叠所以，折叠 3030 次后的厚度超过珠穆朗玛峰次后的厚度超过珠穆朗玛峰（设计意图）体会乘方结果的惊人，培养对数学探究的兴趣。（设计意图）体会乘方结果的惊人，培养对数学探究的兴趣。（七）总结反思（七）总结反思 感悟收获感悟收获本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？1.1. 有理数的乘方的意义和相关概念。有理数的乘方的意义和相关概念。2.2. 乘方的有关运算。乘方的有关运算。3.3. 体会化归的数学思想方法。体会化归的数学思想方法。（设计意图）（设计意图）让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快转
24、化为学生的素质；通过数让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，逐步提高学学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，逐步提高学生的归纳能力和语言表达能力。生的归纳能力和语言表达能力。（八）布置作业（八）布置作业练习册练习册有理数的乘方有理数的乘方107374.1824m107374.18248848mm107374182.4mm300.1 20.1 1073741824（九）教学反思：（九）教学反思：本节课从现实生活中的具体情境出发，具体地阐述了乘方的概念，在教学
25、过程中应用了本节课从现实生活中的具体情境出发，具体地阐述了乘方的概念，在教学过程中应用了“自主自主合作合作讨论讨论探究探究交流交流”的教学方法，教师始终发挥着学生的主体作用，教师只的教学方法，教师始终发挥着学生的主体作用，教师只是起到一个是起到一个“引导引导帮助帮助点拨点拨”的作用。真正地做到了数学教师由单纯的知识传递者转变的作用。真正地做到了数学教师由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的组织者、引导者和合作者。学生在小结时，对容易出现的错误概括地非常为学生学习数学的组织者、引导者和合作者。学生在小结时，对容易出现的错误概括地非常全面，甚至把课堂上没出现的错误也进行了举例全面，甚至把课堂上没出
26、现的错误也进行了举例. .可见，本节课学生对新知的掌握情况教好，可见，本节课学生对新知的掌握情况教好，教师有效地完成了教学目标。教师有效地完成了教学目标。2.112.11 有理数的乘方有理数的乘方教学设计教学设计课题：有理数的乘方(1)边长为边长为a的正方形的面积怎么表示？的正方形的面积怎么表示？(2)棱长为棱长为a的正方体的体积怎么表示？的正方体的体积怎么表示？记作记作 读作：的平方（的二次方）读作：的平方（的二次方）读作：的立方（的三次方）读作：的立方（的三次方）4 4个个a a相乘呢？相乘呢？ n n个个a a相乘呢？相乘呢？ 这种求这种求 个个相同因相同因数数的的积积的的运算运算，叫做
27、叫做乘方乘方。乘方乘方的的结果结果叫做叫做幂幂。在在 中中， 叫做叫做底底数数， 叫做叫做指数指数 。幂 读读作作 的的 次方次方，也可以读也可以读作作 的的 次幂次幂。指数因数的个数底数因数相同因相同因数数个相同的因相同的因数数 相乘相乘，即即 我们把它记我们把它记作作 n个a相乘口答1）在在 中中，9 9是是 数，数， 4 4是是 数，数， 读读作作 ；表示；表示 个个 相乘的积相乘的积。2 2） 的底的底数数是是 ，指数，指数 是是 ，读读作作 ；表示表示 个个 相乘的积。相乘的积。7的7次方(幂）底指9的4次方（幂）497(3 3) )在在 中中，- -3 3是是 数，数， 1 16
28、6是是 数，数， 读读作作 ；表示表示 个个 相乘的积。相乘的积。(4)(4)在在 中中，底底数数是是 ；指数指数 是是 ；读；读作作 ；表示表示 个个 相乘的积。相乘的积。底指-3的16次方17 的17次方16(-3)17（5 5）5 51 1的底的底数数是是 ，指数，指数 是是 ，可读可读作作 ；（6 6） 看成幂的话看成幂的话，底底数数是是 ，指数，指数 是是 ，可读可读作作 ；515的一次方1a的一次方a练习练习一一、把下列、把下列乘方乘方写成写成乘法乘法的形式的形式：1 1、 = = ；2 2、 = = ；3 3、 = = ；练习二练习二判断下列各题是否正确：判断下列各题是否正确：（
29、 ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） 对对错错错错错错例1计算：解：从例，你发现负数的幂的正负有什么规律？从例，你发现负数的幂的正负有什么规律？当指数是当指数是奇奇数时，负数的幂是数；数时，负数的幂是数；当指数是当指数是偶偶数时，负数的幂是数。数时，负数的幂是数。负负正正乘方运算的乘方运算的符号规律符号规律:负数负数的的奇奇次幂是次幂是负负数数负数负数的的偶偶次幂是次幂是正正数数正数正数的任何次幂都是的任何次幂都是正数正数0的任何的任何正整数正整数次幂都是次幂都是0确定下列幂的正负+-+-计算： (1) (-3)3; (2) (-2)6; (3) -83; (4) -(-5)3 (5) 0.13
30、; (6) -( )4; (7) (-10)4; (8)- (-10)5（1 1） （2 2）（3 3） （4 4）（5 5） （6 6） 口答：口答：=1=1=-1=1=1=-12 2、-1 -1的幂很有规律的幂很有规律: : -1 -1的的奇次奇次幂是幂是_ -1 -1的的偶次偶次幂是幂是_1 1、1 1的任何次幂都为的任何次幂都为_11-1解决下列问题，你能从中发现什么？解决下列问题，你能从中发现什么？ （1） -34和和(-3) 4有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？（2） 有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？答答:(:(1)1)-3-34 4表示表示4 4个个
31、3 3相乘的积的相反数或相乘的积的相反数或3 3的的4 4次幂的相反次幂的相反 数数, , 结果是结果是-81-81 ； 而而(-3)(-3)4 4则表示则表示4 4个个(-3)(-3)相乘的积或相乘的积或(-3)(-3)的的4 4次幂，次幂， 结果是结果是8181 试一试试一试注意注意: 负数和分数负数和分数的乘方的乘方, ,底数必须加括号。底数必须加括号。12( ) 3如：如： 、（-3）2解决下列问题，你能从中发现什么？解决下列问题，你能从中发现什么？ (3) 32与与23有什么区别？各等于什么？有什么区别？各等于什么？（4）232和（和（23）2 有什么区别？有什么区别？ （4） 23
32、2表示表示 2与与3的平方的平方之积，等于之积，等于18； 而（而（23）2表示表示2与与3的积的积的平方，等于的平方，等于36 交流与思考交流与思考答：答： （ 3） 32表示表示3的的2次幂；而次幂；而23表示表示2的的3次幂，次幂， 它们的结果分别是它们的结果分别是9和和8 课堂练习一（口答）把下列乘法式子写成乘方的形式：1、1111111= ；2、33333= ；3、（3）（3）（3）（3） = ； 4、 = ；1.平方等于它本身的数是_。立方等于它本身的数是_。2. 计算：（1）-0.252 （2）（3） （4）珠穆朗玛峰是世珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它界的最高峰，它的海拔高度是的海拔高度是8848米。米。把一张足够大的把一张足够大的厚度为厚度为01毫米毫米的纸，连续对折的纸，连续对折30次的厚度能超次的厚度能超过珠穆朗玛峰。过珠穆朗玛峰。这是真的吗？这是真的吗？ 应用应用解：对折30次后的厚度为折叠折叠30次后的厚度超过珠穆朗玛峰次后的厚度超过珠穆朗玛峰收获与反思“乘方”精神：虽然是简简单单的重复，但结果却是惊人的。做人也要这样，脚踏实地，一步一个脚印，成功也会令你惊喜的。作业：作业：练习册有理数的乘方练习册有理数的乘方
