1、P(m,n) 如图如图,点点P（m，n）是反比例函数）是反比例函数 图图象上的一点象上的一点,过点过点P分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线轴作垂线,垂足垂足分别是点分别是点A、B，则，则S矩形矩形OAPB=_.xyOAB过双曲线上任意一点作过双曲线上任意一点作x轴、轴、y轴的垂线，所得矩形的面轴的垂线，所得矩形的面积积S为定值，即为定值，即S=|k|.探究探究1结论结论1：|k|xyO图中的这些矩形面积相图中的这些矩形面积相等，都等于等，都等于|k|结论：结论：图中的这些矩形面积相等吗？图中的这些矩形面积相等吗？思考思考P(m,n) 如图如图,点点P(m,n)是反比例函数是反比例函数 图象上图象
2、上的一点的一点,过点过点P向向x轴作垂线轴作垂线,垂足是点垂足是点A，则，则SPAO=_.xyOA探究探究2B 如果是向如果是向y轴作垂线轴作垂线,垂足是点垂足是点B， 则则SPBO的面积是的面积是_ .xyOB思考思考1结论结论2：过双曲线上任意一点作过双曲线上任意一点作x轴轴(或或y轴）的垂线，所得直轴）的垂线，所得直角三角形的面积角三角形的面积S为定值，为定值，即即S= .|k|12P(m,n)AxyO图中的这些三角形面积图中的这些三角形面积相等，都等于相等，都等于结论：结论：图中的这些三角形面积相等吗？图中的这些三角形面积相等吗？|k|12思考思考2面积不变性面积不变性 注意：注意：（
3、1）面积与面积与P的位置无关的位置无关（2）在没图的前提下，）在没图的前提下， 须分类讨论须分类讨论QP0 xyP 0 xyAB总结总结 如图如图,点点A、C是反比例函数是反比例函数 图象上的图象上的点点,且关于原点对称，分别过点且关于原点对称，分别过点A、C分别向分别向x轴、轴、y轴作垂线交于轴作垂线交于B、D,则矩形面积为则矩形面积为_.例题例题1由解析式由解析式 求图形的面积求图形的面积y=3x121.如图如图,点点A、B是双曲线是双曲线 上的点，过点上的点，过点A、B两点分别向两点分别向x轴、轴、y轴作垂线，若轴作垂线，若S阴影阴影=1，则则S1+S2= _. xyABO4练习练习由解
4、析式求图形的面积由解析式求图形的面积222. 2.如图，过反比例函数如图，过反比例函数 图象上任意两点图象上任意两点A、B分别分别作作x x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为C、D，连结，连结OA、OB，设，设AC与与OB的交点为的交点为E，AOE与梯形与梯形ECDB的面积分别为的面积分别为 S1 1 、S2 2，比较它们的大小，可得，比较它们的大小，可得 ( ( ) )A AS1 1 S2 2 B BS1 1= =S2 2 C CS1 1 0)练习练习(x0)1.5由解析式求图形的面积由解析式求图形的面积O1. 如图，如图，A在双曲线在双曲线 上，点上，点B在双曲线在双曲线 上，且上，
5、且ABx轴，轴，C、D在在x 轴上，若四边形轴上，若四边形ABCD的为矩形，则它的面积为的为矩形，则它的面积为 .E2当堂检测当堂检测当堂检测当堂检测2.如图，双曲线如图，双曲线 （x0)的图象经过矩形的图象经过矩形OABC对角线的交点对角线的交点D，则矩形，则矩形OABC的面积的面积为为 。8EF当堂检测当堂检测3.如图，已知双曲线如图，已知双曲线 (x0)经过矩形经过矩形OABC边边AB的中点的中点F，交，交BC于点于点E，且四边形，且四边形OEBF的的面积为面积为2，则，则k_.24. 4.如图，双曲线如图，双曲线 经过四边形经过四边形OABC的的顶点顶点A、C，ABC9090，OC平分
6、平分 OA与与x轴正半轴的夹角，轴正半轴的夹角，ABx轴，将轴，将ABC沿沿AC翻折后得到翻折后得到ABC，B点落在点落在OA上，则四边上，则四边形形OABC的面积是的面积是. .当堂检测当堂检测D2点点P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,且且PDx轴轴于于D.如果如果POD面积为面积为3，则这个反比例函数，则这个反比例函数的解析式为的解析式为_.例题例题2由图形的面积求解析式由图形的面积求解析式 y =6x或y =-6x分类讨论分类讨论一变：一变：如图，如图，A是反比例函数图象上一点，过是反比例函数图象上一点，过点点A作作ABy轴于点轴于点B,点点P在在x轴上，轴上，ABP的
7、的面积为面积为3，则这个反比例函数的解析式为，则这个反比例函数的解析式为 .y=6x由图形的面积求解析式由图形的面积求解析式 OAxyBP同底等高的两个三角形同底等高的两个三角形的面积相等的面积相等.二变：二变：如图，已知点如图，已知点A在反比例函数的图象上，在反比例函数的图象上，ABx轴于点轴于点B，点，点C为为y轴上的一点，若轴上的一点，若ABC的面积是的面积是3，则反比例函数的解析式为，则反比例函数的解析式为_OAxyBCy=6x由图形的面积求解析式由图形的面积求解析式 例题例题3双曲线双曲线 和和y2在第一象限的图像如图，过在第一象限的图像如图，过y1上的任意一点上的任意一点A作作x轴
8、的平行线交轴的平行线交y2于于B ，交，交y轴于轴于C，若，若SAOB=1，则，则y2的解析式是的解析式是_ y=6x23 双曲线双曲线 在第一象限内的图象如在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲轴的直线分别交双曲线于线于A、B 两点，连接两点，连接OA、OB，则，则AOB 的的面积为面积为 .BAOyx0.5当堂检测当堂检测BAOyx 双曲线双曲线 在在x轴上方的图象如图轴上方的图象如图所示，作一条平行于所示，作一条平行于 x 轴的直线分别交双曲轴的直线分别交双曲线于线于A、B 两点，连接两点，连接OA、OB，则，则AOB 的的面积为面积为 .1.5
9、当堂检测当堂检测 如图，正比例函数如图，正比例函数 与反比例函数与反比例函数 的图象相交于的图象相交于A、C两点，过两点，过A点作点作x轴的垂线交轴的垂线交x轴轴于于B，连结，连结BC，则，则 面积面积S为多少？为多少？D例题例题4解：因为点解：因为点A与点与点C关于原点中心对称，关于原点中心对称，设设A（x,y），则），则C(-x,-y),过过C点做点做CD x轴轴,垂足为垂足为D.A.S=1 B.1S2 D.S=2yxOABDCD当堂检测当堂检测 变式变式1：如图，如图， A A、B B是函数是函数 的图像上的的图像上的点且点且 A A、B B关于原点关于原点 O O对称，对称， ACxA
10、Cx 轴于轴于 C C， BDxBDx 轴于轴于 D D，如果四边形，如果四边形 ADBCADBC的面积的面积为为S S，则（，则（ ） 变式变式2 2： 如图，已知反比例函数如图，已知反比例函数 y=y= 的图象与的图象与 一次函数一次函数y=y= kx+4kx+4的图象相交于的图象相交于P P、Q Q两点，且两点，且P P点点 的纵坐标是的纵坐标是6.6.（1 1）求这个一次函数的解析式）求这个一次函数的解析式（2 2）求）求POQPOQ的面积的面积12xNMyxoPQEFyxoPQNMEF当堂检测当堂检测变式变式3：反比例函数反比例函数 与一次函数与一次函数y=kx+b交于交于点点A(1
11、，8 ) 和和B (4，n)，求：求：这两个函数的解析式；这两个函数的解析式； 三角形三角形AOB的面积。的面积。yx xo oABo o当堂检测当堂检测反比例函数中的面积问题 以形定数以形定数 用数解形用数解形一个性质：反比例函数的面积不变性一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合两种思想：分类讨论和数形结合悟性的高低取决于有悟性的高低取决于有无悟无悟“心心”, ,其实其实, ,人与人人与人的差别就在于你是否去的差别就在于你是否去思考思考, , 去发现，去总结。去发现，去总结。下课了!反比例函数中的面积问题反比例函数中的面积问题学习目标：掌握反比例函数的图像与性质，理解反
12、比例函数面积的不变性.面积的不变性：面积的不变性：点 P 是反比例函数任一点)0( kxky S矩形 AOBP= S三角形 POQ=_ 由解析式由解析式 求图形的面积求图形的面积例 1、如图,点 A、C 是反比例函数图象上的点,且关于原点对称，分别过点 A、C 分别向 x 轴、y 轴作垂线交于xy3B、D,则矩形面积为_.当堂检测：当堂检测：1. 如图，A 在双曲线上，点 B 在双曲线上，且 ABx 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCDxy1xy3的为矩形，则它的面积为 .2.如图，双曲线（x0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 D，则矩形 OABC 的面积为 。xy23.如图，
13、已知双曲线 (x0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边形 OEBF 的面积为 2，则xky k_.4.如图，双曲线 (x0)经过四边形 OABC 的顶点 A、C，ABC90，OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角，xy2ABx 轴，将ABC 沿 AC 翻折后得到ABC，B点落在 OA 上，则四边形 OABC 的面积是.第第 1 题图题图 第第 2 题图题图 第第 3 题图题图 第第 4 题图题图由图形的面积求解析式由图形的面积求解析式 例 2、点 P 是反比例函数图象上的一点,且 PDx 轴于 D.如果POD 面积为 3，则这个反比例函数的解析式为_.P 0
14、 xyABQP0 xy例 3、双曲线和 y2在第一象限的图像如图，过 y1上的任意一点 A 作 x 轴的平行线交 y2于 B ，交 y 轴于 C，xy41若 SAOB=1，则 y2的解析式是_例 4、如图，正比例函数（k0)与反比例函数的图象相交于 A、C 两点，过 A 点作 x 轴的垂线交 x 轴于kxy xy1B，连结 BC，则面积 S 为多少？ABC当堂检测：1、如图已知反比例函数的图象与一次函数 y= kx+4 的图象相交于 P、Q 两点，且 P 点的纵坐标是 6.（1）求这xy12个一次函数的解析式；（2）求POQ 的面积。2、反比例函数与一次函数 y=kx+b 交于点 A(1，8 ) 和 B (4，n)，xmy 求：这两个函数的解析式； 三角形AOB 的面积。小结:1、本节课的知识点：2、解决这类问题主要的数学思想方法： yx xo oABo o
