1、一元二次方程的解的估算一元二次方程的解的估算一一学情分析：学情分析：学生的知识技能基础：学生已学过一元一次方程、二元一次方程、分式方程的概念，经历过由具体问题抽象出方程的过程，多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程，因此具备了学习一元二次方程的基本技能，对一元二次方程的解的概念容易理解。同时，在八年级实数这一章学习了无理数的估算，初步掌握了估算的方法，形成了估算的意识。学生活动经验基础：在一元一次方程、二元一次方程、分式方程的学习过程中， 学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验。同时，无理数的估算的学习使学生具备了估算的活动经验的基础，但由于前面所学的方
2、程都能很容易的解出精确解，在这节课后的连续三节课中，也将学习一元二次方程的三种不同的解精确解的方法， 这三种方法和估算相比更轻松方便，从而有些学生会不重视估算的意识和方法。在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二二 教学目标：教学目标：1 经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识，进一步培养估算意识，发展数感。2 渗透“逼近”思想。三三教学重点：教学重点：1 经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识。2 用“两边夹逼”法估算方程的解，发展学生的估算意识和能力。四四学时难点：学时难点：对一元二次方程的近似解的估算。
3、五五教学活动：教学活动：第一环节：情景引入第一环节：情景引入活动内容：活动内容：1.有 349 名同学一起去九号宇宙，现有 7 辆车，每车 56 个座位，问够不够坐？2某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750元， 每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400 元，商城用 80000 元购进电冰箱的数量用 64000 元购进空调的数量相等。求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？仔细观察上题的答卷，发现这位同学先得到了错误答案：冰箱进价 20000 元，空调进价 16000 元，然后又改为正确结果 2000 元和 1600 元，如果是你，你能发现自己的错误吗？如何
4、发现的？3 通过以上两个实际问题，你能体会到估算有什么好处吗？师生活动：师生活动：对于第 1 题，学生可这样估算：每车 50 人，7 辆车可坐 350 人，比实际 349 名同学人数多，所以够坐。对于第 2 题，学生可发现答卷中最初算出的电冰箱进价 20000 元及空调进价 16000 元比题目中给出的电冰箱销售价 2100 元及空调销售价 1750 元大得多，不符合实际，所以可及时发现错误。第 2 题实际上就是估算了答案的取值范围，若算出的答案不在这个范围，则说明答案错误。活动目的活动目的： 上述两个问题都来源于学生身边刚刚发生的实际问题， 通过提问学生用估算的方法解决了这两个问题， 第 1
5、 个问题使学生体会到估算能更方便更快捷地解决实际问题，第 2 个问题使学生体会到估算能及时地让我们发现计算的偏差，防止错误的产生，从而认识到估算是生活的必备技巧，是数学学习的必要技能， 学习估算是很有必要的，从而引入今天的课题-一元二次方程的解的估算。第二环节：探求新知第二环节：探求新知活动内容活动内容 1 1、幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 米，宽为 5 米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 ，你能求出这个宽度吗？在前一节课中， 我们已经设所求的宽度为x(m)， 得到了方程：(82 )(52 )18xx（1）x可能小于 0 吗？可能大于
6、 4 吗?可能大于 25 吗?说说你的理由。（2）你能确定x的大致范围吗？（3）完成下表：x0.511.52(82 )(52 )xx（4）在02.5x范围里，会不会存在另一个方程的解呢？（5）若由上面的表格没有得到方程的解，我们接下来如何做呢？师生活动：师生活动：第（1）小问学生结合实际容易得到x不可能小于 0，不可能大于 4，不可能大于 25。第（2）小问学生在第一问的基础上容易得到02.5x。此时，x的范围已缩小到02.5x，如何在这个范围里求出宽度呢？在此让学生充分考虑后，学生可得到在这一范围内取值，从而出示第（3）问，完成第（3）问中的表格，估算出方程的解。第（4）问提出后，学生观察表
7、格所呈现的规律，发现随着 x 的增大，(82 )(52 )xx逐渐减小，所以在此范围里不存在另一个方程的解。第（5）小问提出后，因为有了前几问的层层深入，学生不难回答出，根据表格，继续缩小x的范围，在新的更小的范围里继续取值，从而一步步逼近精确值。活动目的活动目的：通过问题设置，让学生体会估算一元二次方程的解的过程，即确定大致范围、列表代值计算、两边夹逼，找到更精确的解。本环节设计的问题层层深入，重点是引导学生逐步缩小解的范围，感受到“两边夹逼”的思想是近似计算的重要思想。另外，在第（3）小问中，继续巩固方程解的定义，使学生能够由表格得到方程的解；在第（4）小问中，使学生考虑问题能更加全面，以
8、免漏解。对于此道题，由于方程的解是整数解，学生能很快通过列表计算直接找到方程的解， 这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而可增强学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质活动内容活动内容 2 2、如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离 x(m)满足方程2221076x，把这个方程化为一般形式为01512xx2（1） 你能估算出x的整数部分吗？（2） 你能继续估算出x的十分位吗？师生活动师生活动： 通过活
9、动内容 1， 学生已经总结出估算一元二次方程的解的一般步骤，初步体会到估算的方法，所以第（1）问不再以问题串的形式一步步引导学生思维， 而是通过小组合作来解决问题。 通过小组活动， 学生可充分讨论， 取长补短，先得到x的大致范围，再列表得结果。如：梯子滑动的距离 x0 是显而易见的，在上图中，求得 ED=6m,而 EC10m,因此 CD4m。所以 x 的取值范围是 0 x4。（在估算大致范围时，因为同学们考虑的细致程度不同，所以得到的范围大小不同，但只要正确，都应肯定） 。学生列出表格：x123x2+12x-15-21330学生由表格可以看出当x=1 时，x2+12x-150，所以 1x2,解
10、的整数部分是 1.并且学生通过实践，可体会到如果只求整数部分，在取值时，只需取整数带入求值。对于第（2）个问题，继续小组合作，在 1x2 范围内继续逼近，去找更精确的解。再由小组代表上台讲解探索过程，其他小组可补充不同方法。通过合作交流，学生会出现以下两种较好的取值逼近的方法。第一种如下：x11.11.21.52x2+12x-15-2-0.590.8452513学生首先在初始范围的中间取值 1.5，带入求值后发现x的值应在 1 到 1.5之间，将范围缩小了一半，再在 1 到 1.5 之间取 1.2，带入求值后发现x的值应在 1 到 1.2.之间，继续再取 1.1，带入求值后确定十分为应是 1。
11、教师在此肯定此种取值逼近的方法，这种方法能更快的缩小范围。第二种如下：x11.11.22x2+12x-15-2-0.590.8413学生观察发现，当x取 1 时，x2+12x-15=-2；当x取 2 时，x2+12x-15=13，-2 与 13 相比，-2 离方程右边的 0 更近，所以学生此时从 1.1，1.2 开始取值，从而很快地找到的x的更小范围，进而确定十分位应是 1。教师在此肯定此种做法，鼓励大家以后在代值时，灵活运用两种方法取值。活动目的活动目的：通过小组合作解决第（1）问且上台讲解第（2）问，使学生更好地掌握一元二次方程的解的估算的方法、步骤，再次体会“两边夹逼”的思想。另外，此题
12、与活动内容 1 中的题虽然都是估算一元二次方程的解，但有不同，活动内容1 中的实际问题学生可很快求出准确解，但此题的解是一个无理数，学生自然无法求出其精确解，对于这个难点的设置，就是为了让学生通过思考、实践，一步步缩小范围，找到需要的精确度的值，更好地体会逼近的思想。同时，此题需要学生自己给x取值，通过实践及交流，学生可以体会到如何取值能更快地找到更小的解的范围。在计算过程中提倡学生使用计算器，鼓励学生合作交流，以取得更好的教学效果。第三环节：小试牛刀，练习与提高第三环节：小试牛刀，练习与提高活动内容：活动内容：有一根长为 4.2 米的木料，做成如图所示的矩形窗框,当窗框的一边 AB 的长为多
13、少米时，这个窗户的面积约为 0.9 米2？（不考虑木料加工时的损耗和木框所占的面积）师生活动：师生活动：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，并由学生代表上台投影讲解， 在讲解时教师通过进一步提问，让所有同学明晰每一步的重点以及需注意的问题。活动目的活动目的： 为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了上面的这个题目，由学生独立完成。此题仍是实际问题，让学生进一步感受估算对实际问题的重要性，激发学生产生求解的欲望。另外通过独立完成进一步发展学生的估算意识和能力。此题与前两道题不同之处是，此题有两ABCD个解，进一步提醒学生全面考虑问题，不要漏解。第四环节：课堂小结第四环节：课堂小结活动内容：活动内容：通过本堂课你有哪些收获？谈谈你的感想。师生活动：师生互相交流总结探索估算一元二次方程的解基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。活动目的活动目的：通过让学生分享收获，培养学生回顾思考、归纳概括的能力，也通过这一环节使学生可以互相学习， 同时也有利于教师发现本节课的教学目标完成的程度； 通过教师的归纳提升， 使学生对本节课的知识、 方法等有一个整体的认识.第五节：布置作业第五节：布置作业1 习题 2.2 第 1 题、第 2 题、第 3 题.2 课本 p34-35 读一读（用二分法确定一元二次方程的近似解）
