1、1第二章第二章 一元二次方程一元二次方程1 1认识一元二次方程（一）认识一元二次方程（一）一、学生知识状况分析一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析二、教学任务分析教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了
2、本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。三、教学过程分析三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主探究问题二；第三环节：自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。第一环节：自主探究问题一第一环节：自主探究问题一活动内容： 出示问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地
3、毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量2的什么关系式？活动目的：活动目的：提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。教学要求与效果：教学要求与效果：教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。教学中教师
4、可以一次完成下列任务：（1）罗列学生提的问题；（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；（3）引导学生列出相应的方程并整理。从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽， （2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。第二环节：自主探究问题二第二环节：自主探究问题二活动内容活动内容：在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？3得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继
5、续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。在难以找到的情况下，归结为方程去解决。活动目的：活动目的：上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。教学要求与效果：教学要求与效果：找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决
6、。首先， “我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。第三环节：自主探究问题三第三环节：自主探究问题三活动内容：活动内容：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？活动目的活动目的：通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。活动的实际效果活动的实际效果：先让学生理解题意，然后让一
7、生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列8 8m m4出方程，问题解决得很顺畅。第四环节：总结归纳第四环节：总结归纳活动内容：活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。活动目的活动目的：关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。活动的实际效果活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。第五环节：学以致用第五环节：学以致用活动内容：活动内容：1、把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般形式
8、,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项活动目的活动目的：及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。活动的实际效果活动的实际效果：问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。问题（2） ，实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示
9、出来。第六环节：反思第六环节：反思活动内容：活动内容：5让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？活动目的活动目的：让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。活动的实际效果活动的实际效果：绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。第七环节：布置作业第七环节：布置作业作业：书后习题1.什么叫方程？我们学过哪些方程？2.什么叫一元一次方程？教室地面有多宽 幼儿园某教室矩形地面的长为幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为，宽为5m，现准，现准备在地面正中间铺设一块面积为备在地面正中间铺设一块面积为m2 的地毯的地毯 ，四，四周未铺地毯的
10、条形区域的宽度都相同，你能求出这个周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？宽度吗？ 解：如果设所求的宽为解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图那么地毯中央长方形图案的长为案的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得方可得方程：程： （82x） （52x） (8 2x) (5 2x) = 18.5xxxx （82x） （52x）818m2数学数学 化化 观察下面等式：观察下面等式： 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五
11、个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依，那么后面四个数依次可表示为：次可表示为：，x1x2x3x4 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： .(x1)2(x 2)2 (x3)2(x4)2 x2 一一般般化化生活中的数学 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距，滑动前梯子底端距墙墙m. 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子，那么
12、滑动后梯子底端距墙底端距墙 m; 根据题意，可得方程根据题意，可得方程：6(x6)72(x6)2 102xm 8m 10m 7m 6m 10m 数学化 1m 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有的的 ，并且都可，并且都可以化为以化为 的形式，的形式，这样的方程叫做这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程一元二次方程的概念 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：由上面三个问题，我们可以得到三个方程： 把把axbxc(a，b，c为常数为常数,a)称为称为一元二一元二次方程的一般形式次方程的一般形式，其中，其中ax ， bx ， c分别称为分别称为二次项二次项、一次项一次项和和常数项常数项，a，
13、b分别称为分别称为二次项系数二次项系数和和一次项系数一次项系数 (8-2x)(-x)=18; 即即 2x2 13x 11 = 0 . x+（x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+) 即即 x2 8x 200. （ x） 即即 x2 12 x 15 0. 上述三个方程有什么共同特点？上述三个方程有什么共同特点？ 一个未知数一个未知数x 整式方程整式方程axbxc(a，b，c为常数为常数, a) 下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程? (2)2x25xy6y0 (5)x22x31x2 (1)7x26x0 解解: (1)、 (4) (3)2x2 1 0 13x(4) 0y22随堂练
14、习随堂练习在下列一元二次方程中在下列一元二次方程中，各项和系数分别是什么？各项和系数分别是什么？二次项二次项:一次项一次项:常数项常数项:系数:系数:二次项二次项:一次项一次项:常数项常数项:系数:系数:二次项二次项:一次项一次项:常数项常数项:系数:系数:练习练习 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项：写出它的二次项系数，一次项系数和常数项：方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03-5111-870-41.把方程把方程(
15、3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般化成一元二次方程的一般形式形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项解：将原方程化简为：解：将原方程化简为： 9x212x44(x26x9)9x212x49x2 5x2 36 x 320 二次项系数为二次项系数为 ，5 36 32 一次项系数为一次项系数为 ， 常数项为常数项为 .536 324 x2 24x 36 4 x2 24x 36 12x 40 2.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k _ 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 3.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程当时，是一元二次方程当k 时，时，是一元一次方程是一元一次方程311 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2bxc（a，b，c为常数，a）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数 会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系 小小 结结
