1、第十七章 勾股定理Zxxk 17.1 勾股定理 第1课时学习目标：学习目标： 1）探索直角三角形两条直角边的平方和与）探索直角三角形两条直角边的平方和与斜边的平方的关系。斜边的平方的关系。 2）发展合情推理能力，体会数形结合的思）发展合情推理能力，体会数形结合的思想想自主探究1. 有八个全等的等腰直角三角形，你能用它们拼出如图所示的三个正方形吗？ 自主探究2. 请你计算这三个正方形的面积，它们之间存在什么数量关系？能否用一个等式表示出来？即： 、 、 的面积有什么关系？自主探究（1）观察右边两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积左图右图4 916 9？合作
2、探究（3）你是怎样得到正方形C的面积的？合作探究CBCA734“补”的方法SC = S大正方形 - 4S小直角三角形 CBCA“割”的方法34SC = 4S小直角三角形 + S小正方形（1）观察右边两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积左图右图4 916 91325合作探究（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ABCCBA合作探究 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图，在RtABC中，C=90，A、B和C所对的三条边分别是a、b、c.求证： 请先用手
3、中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.图1图2图3 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：RtABC中，C=90， 则定理： 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三 国时，我国古代数学家赵爽在他所著的勾股方圆图注中，用四个全等的直角三角形 拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的 面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.年的国际数学家大会将此图作为大会会徽勾股定理的由来 这个定理在中国又称为“商高定理”，商高是公元前十一世纪的中国人
4、.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.1.成立条件 ： 在直角三角形中；3.作用 ：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长 .2.公式变形 :abc如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么勾 股 定 理（注意：哪条边是斜边）1. 已知Rt
5、ABC中,C=90,若a=3，c=5，求b.2. 在RtABC中，B90，a=3，b=4，求c.3. 一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m处. 木杆折断之前有多高？小试身手本课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？你有哪些体会？ 课堂小结1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习题17.1第13题.2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的知识，证明方法和应用等，然后小组交流、展示.作业毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编
6、著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.课外延伸美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 .人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统 ”证法.有趣的总统证法bcabcaABCD课外延伸在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股课外延伸171勾股定理（勾股定理（1） 教学目标教学目标 一、知识与技能一、知识与技能 让学生通过观察、计算、猜想、验证直角三角形两条
7、直角边的平方和等于斜边的平方的结论 二、过程与方法二、过程与方法 1在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想 2在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条件地表达活动的过程和结论 三、情感态度与价值观三、情感态度与价值观 1培养学生积极参与、合作交流的意识2在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气学情分析学情分析 八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他
8、们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。老师要注意在适当的时机介入指导点拨。 教学重点教学重点 探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理 教学难点教学难点 以直角三角形的边为边的正方形面积的计算 教具准备教具准备 学生准备若干张方格纸;多媒体课件演示 教学过程教学过程一、创设问题情境，引入新课一、创设问题情境，引入新课1.学习目标：学习目标：1）探索
9、直角三角形两条直角边的平方和与斜边的平方的关系。 2）发展合情推理能力，体会数形结合的思想 2. 有八个直角边长为有八个直角边长为 1 的等腰直角三角形，你能用它们拼出如图所示的三个正方形吗？的等腰直角三角形，你能用它们拼出如图所示的三个正方形吗？ 请你计算这三个正方形的面积，它们之间存在什么数量关系？能否用一个等式表示出来？由上面的条件可知，这三个正方形的边长分别是1、1， 那么刚才的面积关系可以用一个等量关系式来描述吗？请你写出这个等式. 两条直角边的平方和等于斜边的平方. 这里的等腰直角三角形如果腰长不是 1，而是其他数，还会有刚才的结论吗？ 进一步思考：是不是所有的直角三角形都是这样的
10、呢？ 二、实际操作，合作探索直角三角形的三边关系二、实际操作，合作探索直角三角形的三边关系1.观察下图，并回答问题：ABCCBA （图中每个小方格代表一个单位面积） （1）观察图 1 正方形 A 中含有_个小方格，即 A 的面积是_个单位面积； 正方形 B 中含有_个小方格，即 B 的面积是_个单位面积； 正方形 C 中含有_个小方格，即 C 的面积是_个单位面积 （2）在图 2、图 3 中，正方形 A、B、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流 （3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形 A，B，C 的面积关系吗？ A 的面积（单位面积） B 的面积
11、（单位面积） C 的面积（单位面积）图 1图 2 设计意图： 通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想 师生行为： 要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论 可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算 A、B、C 三个正方形的面积，并在小组内交流 设计意图： 进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为勾股定理：如果直角三角形
12、两直角边分别为 a、b，斜边为，斜边为 c，那么，那么即即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2. 证明定理：请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.（分组合作） 3.结合几何画板演示证明勾股定理。四、课堂检测：四、课堂检测： 1. 已知 RtABC 中,C=90,若 a=3，c=5，求 b. 2. 在 RtABC 中，B90，a=3，b=4，求 c.（变式：把“B90”这个条件去掉，分类讨论计算结果。 ）3. 一木杆在离地面 3 m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处. 木杆折断之前有多高？五、课时小结：五、课时小结：本课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？你有哪些体会？ （1掌握勾股定理的证明及其应用；数形结合思想，从特殊到一般的数学思想。2会构造直角三角形，利用勾股定理理解简单应用题。 ）六、布置作业：六、布置作业：1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习题 17.1 第 13 题.2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的知识，证明方法和应用等，然后小组交流、展示.七、板书设计：七、板书设计： 17.1 勾股定理（勾股定理（1） 勾股定理的证明勾股定理的公式变形 例题
