1、1.1 探索勾股定理(第2课时)北师大版八年级数学（上）北师大版八年级数学（上）点击上方 红色勾股定理勾股定理 即可观看视频。二二 探究勾股定理的证明方法探究勾股定理的证明方法一一 问题背景问题背景二二 探究思路与方法探究思路与方法几何画板探究毕达哥拉斯证明方法方法一：毕达哥拉斯的证明方法一：毕达哥拉斯的证明方法二：赵爽弦图方法二：赵爽弦图一一 历史背景历史背景二二 探究赵爽弦图的思路与方法探究赵爽弦图的思路与方法几何画板探究赵爽弦图证明勾股定理方法三：青朱出入图（无字的证明方法三：青朱出入图（无字的证明）一一 历史背景历史背景二二 探究青朱出入图的思路与方法探究青朱出入图的思路与方法几何画板
2、探究青朱出入图的思路与方法“新娘的椅子新娘的椅子”方法四：欧几里得证明方法四：欧几里得证明一一 历史背景历史背景二二 探究欧几里德证明的思路与方法探究欧几里德证明的思路与方法几何画板动态演示思路与方法勾股定理的证明：分三种类型勾股定理的证明：分三种类型第一种类型：等面积第一种类型：等面积 两算法两算法 以赵爽的以赵爽的“弦图弦图”为代表，用几何图形的为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系；截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系；第二种类型：无字证明第二种类型：无字证明 以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，为代表，“无字证明无字证明”。第三
3、种类型：欧氏几何证明第三种类型：欧氏几何证明 以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明；几何的基本定理进行证明；精彩纷呈的证明方精彩纷呈的证明方法法印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE达芬奇证法达芬奇证法 详细操作步骤详细操作步骤: 例例:飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方个男孩子头顶上方4 km处，过了处，过了20 s，飞机距离，飞机距离
4、这个男孩子头顶这个男孩子头顶5 km，飞机每小时飞行多少千米，飞机每小时飞行多少千米？4km5kmABC三三 勾股定理的应用勾股定理的应用解：解：Rt ABC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： AB2 = BC2 + AC2 即即 52 = BC2 + 42， 所以所以 BC=3 飞机飞机20 s飞行了飞行了3 km,那么那么1小时飞行的小时飞行的 距离为：距离为： 3 x 3 x 60= 540 km， 即：飞机即：飞机 每小时飞行每小时飞行540 km。 1.如图如图1,三个正方形中其中两个面积三个正方形中其中两个面积S2、S3分别为分别为 144、169,则第三个正则第三个正方形的面积
5、方形的面积S1为为_。2.如图如图2，是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区，是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接拟修建一条连接B，C，E三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是成本是100万元万元/ km，该沿江高速的造价预计是多少？，该沿江高速的造价预计是多少？图1图2四四 课堂练习课堂练习解：解：Rt ABC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： BC2 =A B2 + AC2 即即BC 2 =30 2 + 402， 所以所以 BC=50 Rt CDE中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2
6、 即即CE 2 =50 2 + 1202， 所以所以 CE=130 所以所以 BE=BC+CE=180 KM 180 x 100=18000 万元万元即：该沿江高速的造价预计是即：该沿江高速的造价预计是18000 万元万元在几何画板演示下在几何画板演示下,小组讨论小组讨论:(1)在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？ (2)在任意一个三角形中在任意一个三角形中,如果一个角是锐角如果一个角是锐角,那么这个三角形中那么这个三角形中夹这个锐角两边的
7、平方和与第三边的平方有怎样的大小关系呢夹这个锐角两边的平方和与第三边的平方有怎样的大小关系呢?如果这个角是钝角呢如果这个角是钝角呢?(以下图中的以下图中的 P 为例来探讨为例来探讨)几何画板动态探究 拓展延伸五五 拓展延伸拓展延伸六六1.验证勾股定理的三类方法验证勾股定理的三类方法: 第一种类型：等面积第一种类型：等面积 两算法两算法 第二种类型：无字证明第二种类型：无字证明 第三种类型：欧氏几何证明第三种类型：欧氏几何证明 2.勾股定理的初步应用勾股定理的初步应用动态勾股树演示 七七 作业作业1必必做题：做题： 习题习题1.2： 第第1、2 、3题题 2选选做题：做题： 搜集搜集有关勾股定理
8、的证明有关勾股定理的证明方法方法并选择其并选择其中一种方法仔细研究。中一种方法仔细研究。 第一章第一章 勾股定理勾股定理1.11.1 探索勾股定理（第探索勾股定理（第 2 2 课时）课时）一、学生起点分析一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在上节课已经通过测量和数格子的方法，对特殊的直角三角形进行了探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行一般性的验证.学生活动经验基础：学生具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；尤其在在七年级图案设计的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第 1 节第
9、 2 课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力 ，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的三类方法:(1)等面积,两算法;(2) 无字的证明;(3)欧氏几何证明;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.教学重点教学重点: : 探究验证勾股定理的三类方法教学难点教学难点:
10、: 验证勾股定理的三类方法三、教学过程三、教学过程本节课设计了七个教学环节： （一）史话勾股定理；（二）探究勾股定理的三类证明方法；（三）例题讲解,勾股定理的初步应用;（四）课堂练习;（五）拓展延伸；（六） 反思小结；（七）布置作业第一环节第一环节: : 史话勾股定理史话勾股定理1 1观看关于勾股定理历史的视频观看关于勾股定理历史的视频 视频大致内容：3000 多年前 ，古巴比伦人和古埃及人都已经对发现了勾股定理，在我国 1000 多年前，周朝数学家商高在提出了：“勾广三，股修四，经隅五”的勾股定理的特例，最早给出证明的是公元前 6 世纪古希腊数学家毕达哥拉斯，公元前 4 世纪，欧几里德在几何
11、原本中给出了一种很好的证明，在我国最早给出证明的是公元前三世纪的数学家赵爽，稍后一时期的刘徽在九章算术用“青朱出入图”这种无字的证明方法验证了勾股定理。直到现在有500 多种证明方法，今天就让我们沿着历史的足迹探究勾股定理。第二环节第二环节: : 探究勾股定理的证明方法探究勾股定理的证明方法第一种类型：等面积第一种类型：等面积 两算法两算法 方法一：毕达哥拉斯的证明方法一：毕达哥拉斯的证明1 问题背景问题背景 相传有一天，毕达哥拉斯去朋友家里做客，发现朋友家的地砖是方砖，他在方砖上画了一个等腰直角三角形，并以三条边向外做了三个正方形，聪明的毕达哥拉斯发现：以直角边为边的两个正方形的面积的和等于
12、以斜边为边的正方形的面积。由此，他猜想：任意一个直角三角形，两条直角边的平方和都等于斜边的平方。2. 探究思路与方法探究思路与方法 图 1 （1）如图 1 你能表示两个大正方形的面积吗？（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（板书） a2+b2+4 ab =c2+4 ab2,并得到2121222cba方法二：赵爽弦图方法二：赵爽弦图1 历史背景历史背景 cba( (b- -a) )2 2中中黄黄实实朱朱实实 在我国最早给出证明的是公元前三世纪的数学家赵爽，他在周髀算经中用一张他所谓的弦图证明了勾股定理，2002 年全世界数学家大会的会徽就是这张弦图，以此纪念这位伟大的数学家。2 探究赵爽弦图的
13、思路与方法探究赵爽弦图的思路与方法图 2(1) 如图 2，用几何画板演示将两个小正方形拼成赵爽弦图；(2) 小组交流拼出赵爽弦图，你能用两种方法表示这个图形的面积吗？（学生板书并讲解）(b-a)2+4 ab =c2,得到21222cba第二种类型：无字证明第二种类型：无字证明 方法三：青朱出入图（无字的证明）方法三：青朱出入图（无字的证明）1 历史背景历史背景 比赵爽稍微晚些的数学家刘徽在九章算术用“青朱出入图”验证了勾股定理，由于证明过程没有用一个字，因此把这种证明又称为无字的证明。2 探究青朱出入图的与方法探究青朱出入图的与方法图 3 如图 3，用几何画板演示青朱出入图验证勾股定理的过程。
14、第三种类型：欧氏几何证明第三种类型：欧氏几何证明方法四：欧几里得证明方法四：欧几里得证明1 历史背景历史背景公元前 4 世纪，欧几里德在几何原本中给出了一种很好的证明2 探究欧几里德证明的思路与方法探究欧几里德证明的思路与方法GFKHDCBEA 图 4(1)如图 4：教师分析思路并给出辅助线方法， 从 RtABC 的三边向外各作一个正方形（如图 4） ，作 ANBC 交AB 于 N，那么正方形 ABED 被分成两个矩形连结 AH 和 EC（2）小组交流验证方法 （多媒体展示） 由于矩形 BNHM 和ABH 同底等高S矩形 BNHM2SABH 又正方形 ABED 和EBC 同底等高S正方形 AB
15、ED2SEBC 又EBCABH 由此可得 S矩形 BHMNS正方形 ABED 同理可证 S矩形 NCMKS正方形 AFGC S矩形 BHMNS矩形 NCMKS正方形 ABEDS正方形 AFGC 即 S正方形 BHCKS正方形 ABEDS正方形 AFGC， 也就是 a2+b2=c2总结勾股定理的证明方法总结勾股定理的证明方法:分三种类型分三种类型 第一种类型：等面积第一种类型：等面积 两算法两算法 4KM5KMACB 以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的 截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型：无字证明第二种类型：无字证明 以刘徽的“青朱出入图”为代表， “无字证明”
16、。 第三种类型：欧氏几何证明第三种类型：欧氏几何证明 欧氏几何证明以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏 几何的基本定理进行证明； 第三环节第三环节: : 勾股定理的应用勾股定理的应用例 1: 如图 5，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4 km 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩子头顶 5 km，飞机每小时飞行多少千米？解：Rt ABC 中，由勾股定理得： AB2 = BC2 + AC2 即 52 = BC2 + 42， 所以 BC=3 飞机 20 s 飞行了 3 km,那么 1 小时飞行的距离为： 3 x 3 x 60= 540 km，即：飞机 每小时飞行 540 k
17、m。 图图 5第四环节第四环节: : 课堂练习课堂练习1.如图 6,三个正方形中其中两个面积 S2、S3分别为 144、169,则第三个正方形的面积 S1为_。 图图 6 图图 72.如图 7，是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 B，C，E 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是 100 万元/ km，该沿江高速的造价预计是多少？解：Rt ABC 中，由勾股定理得： BC2 =A B2 + AC2 即 BC 2 =30 2 + 402， 所以 BC=50 Rt CDE 中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2 即 CE 2 =50 2 + 1202， 所
18、以 CE=130 所以 BE=BC+CE=180 KM 180 x 100=18000 万元 即：该沿江高速的造价预计是 18000 万元 第五环节第五环节: : 拓展延伸拓展延伸以小组为单位，用几何画板探究以下问题：以小组为单位，用几何画板探究以下问题：(1) 如图 8，在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？ 图图 8 图图 9(2) 如图 9，在任意一个三角形中,如果一个角是锐角,那么这个三角形中夹这个锐角两边的平方和与第三边的平方有怎样的大小关系呢?如果这个角是钝角呢?(以图中的 P 为例来探讨) 第六环节第六环节: :课堂小结课堂小结1.1.验证勾股定理的三类方法验证勾股定理的三类方法: : 第一种类型：等面积 两算法 第二种类型：无字证明 第三种类型：欧氏几何证明2.2.勾股定理的初步应用勾股定理的初步应用3 3欣赏美丽的勾股树欣赏美丽的勾股树 在几何画板中欣赏动态勾股树在几何画板中欣赏动态勾股树, ,感受数学中的美感受数学中的美! !动态勾股树演示第七环节第七环节: :布置布置作业作业1 1 必做题：必做题： 习题 1.2： 第 1、2 、3 题 2 2 选做题：选做题： 搜集有关勾股定理的证明方法并选择其中一种方法仔细研究。
