1、一次函数的应用解决一次函数应用问题的一般步骤1.分析问题:(1)借助图、表等手段分析题目中的数量关系,从而确定函数解析式.(2)根据函数图象获取信息,分析数量关系.2.确定模型:根据获取到的信息确定一次函数模型.3.解决问题:根据题目中的数量关系或者数学模型,将具体数字代入,从而解决问题.考点一 确定实际问题中的一次函数解析式【典例1】(2015曲靖中考)水龙头关闭不严会造成滴水,容器内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验,并根据试验数据绘制出如图2的函数图象,结合图象解答下列问题.(1)容器内原有水多少升?(2)求w与t之间的函数解析式,并计算在这种滴水状
2、态下一天的滴水量是多少升?【自主解答】(1)根据图象可知,t=0时,w=0.3,即容器内原有水0.3升.(2)设w与t之间的函数解析式为w=kt+b,将(0,0.3),(1.5,0.9)代入, 故w与t之间的函数解析式为w=0.4t+0.3.由解析式可得,每小时流水量为0.4L,一天的滴水量为:0.424=9.6L.答:在这种流水状态下一天的滴水量是9.6L.【备选例题】(2015淮安中考)小丽的家和学校在一条笔直的马路旁,某天小丽沿着这条马路上学,先从家步行到公交站台甲,再乘车到公交站台乙下车,最后步行到学校(在整个过程中小丽步行的速度不变),图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y(米
3、)与她离家时间x(分钟)之间的函数关系.(1)求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离.(2)当8x15时,求y与x之间的函数解析式.【解析】(1)(3900-3650)5=2505=50(米/分钟),(18-15)50=150米.答:小丽步行的速度为50米/分钟,学校与公交站台乙之间的距离为150米.(2)因为C(8,3650),D(15,150),所以设y=kx+b过C,D两点.则 所以y=-500 x+7650.考点二 分段函数【典例2】(2016黄冈模拟)如图,是小明从学校到家里行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:学校离小明家1000米;小明用了
4、20分钟到家;小明前10分钟走了路程的一半;小明后10分钟比前10分钟走得快,其中正确的有_(填序号).【自主解答】由图象的纵坐标可以看出学校离小明家1000米,故正确;由图象的横坐标可以看出小明用了20分钟到家,故正确;由图象的纵横坐标可以看出,小明前10分钟走的路程较少,故错误;由图象的纵横坐标可以看出,小明后10分钟比前10分钟走得快,故正确;答案:【题组过关】(2016滦南县期中)如图反映的是小刚从家里跑步去体育馆,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后走回家,其中x表示时间,y表示小刚离家的距离.根据图象回答下列问题:(1)体育馆离小刚家_千米,小刚在体育场锻炼了_分钟.(2)体
5、育馆离文具店_千米,小刚在文具店停留了_分钟.(3)小刚从文具店散步回家的平均速度是多少?答案:(1)2.515(2)120(3)由纵坐标看出文具店距小刚家1.5千米,由横坐标看出从文具店回家用了100-65=35(分钟),小刚从文具店回家的平均速度是1.535= (千米/分钟).答:小刚从文具店回家的平均速度是 千米/分钟.考点三 利用一次函数解决实际问题【考情分析】 利用一次函数解决实际问题是中考重点考查的热点考向之一,一次函数的图象是一条直线,直观性强.在解决此类问题时,应充分运用转化的思想,准确地确定题目中相关的变量之间的关系,将实际问题转化为数学问题来解决.历年中考中“三种题型”都有
6、涉及,题目难度以基础题、中等题为主,偶有中等偏上的题目出现.命题角度1:利用一次函数解决实际生活问题【典例】(2016青岛中考)某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出.据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个.若销售单价每降低1元,每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系:月销销 量y(个)160200240300每个玩具的固定成本Q(元) 60484032(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式.(3)
7、若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元?【自主解答】(1)设y=kx+b,则(280,300),(279,302)满足函数关系式,则 即y与x之间的函数关系式为y=-2x+860.(2)设Q= ,将(160,60)代入上式,得m=9600,Q与y的函数关系式为Q= .(3)由题意,得Q=30.将Q=30代入Q= 得,30= ,解得y=320.将y=320代入y=-2x+860,得320=-2x+860,解得x=270.30270= ,即若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单
8、价的 .(4)对于Q= (y0),96000,Q随y的增大而减小.y400,当y=400时,Q最小值= =24.即这种玩具的月产销量不超过400个,每个玩具的固定成本至少为24元.对于y=-2x+860,-20,y随x的增大而减小.当y=400即400=-2x+860时,x最小值=230.即这种玩具的月产销量不超过400个,销售单价最低为230元.命题角度2:利用一次函数解决最值问题【典例3】(2015新疆中考)某超市预购进A,B两种品牌的T恤共200件,已知两种T恤的进价如表所示,设购进A种T恤x件,且所购进的两种T恤能全部卖出,获得的总利润为W元.(1)求W关于x的函数关系式.(2)如果购
9、进两种T恤的总费用不超过9500元,那么超市如何进货才能获得最大利润?并求出最大利润.(提示:利润=售价-进价)品牌销 价(元/件)售价(元/件)A5080B4065【自主解答】(1)设购进A种T恤x件,则购进B种T恤(200-x)件,则所购进的两种T恤全部卖出时,获得的总利润为W=(80-50)x+(65-40)(200-x)=5x+5000.(2)购进两种T恤的总费用不超过9500元,50 x+40(200-x)9500,x150.W=5x+5000,W随x的增大而增大,当x=150时,W取最大值,且最大值为5150+5000=5750.故超市进A种T恤150件,B种T恤50件时,超市获取
10、最大利润,且最大利润为5750元.一次函数的应用 一、学生起点分析一、学生起点分析 学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用二、教学任务分析二、教学任务分析 本节课主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展 教学目标 1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 3.在解决实际问题过
11、程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识 4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息三、教法学法三、教法学法 1教学方法：“问题情境建立模型应用与拓展” 2课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺四、教学过程：四、教学过程： 解决一次函数应用问题的一般步骤 1.分析问题: (1)借助图、表等手段分析题目中的数量关系,从而确定函数解析式. (2)根据函数图象获取信息,分析数量关系. 2.确定模型:根据获取到的信息确定一次函数模型. 3.解
12、决问题:根据题目中的数量关系或者数学模型,将具体数字代入,从而解决问题.展示实际情境 考点一 确定实际问题中的一次函数解析式 【典例 1】(2015曲靖中考)水龙头关闭不严会造成滴水,容器内盛水量 w(L)与滴水时间 t(h)的关系用可以显示水量的容器做如图 1 的试验,并根据试验数据绘制出如图 2 的函数图象,结合图象解答下列问题. (1)容器内原有水多少升? (2)求 w 与 t 之间的函数解析式,并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升? 【自主解答】(1)根据图象可知,t=0 时,w=0.3,即容器内原有水 0.3 升. (2)设 w 与 t 之间的函数解析式为 w=kt+b,将(0
13、,0.3),(1.5,0.9)代入, b0.3,k0.4,1.5kb0.9,b0.3.得解得故 w 与 t 之间的函数解析式为 w=0.4t+0.3.由解析式可得,每小时流水量为 0.4L,一天的滴水量为:0.424=9.6L. 答:在这种流水状态下一天的滴水量是 9.6L. 【典例例 2】(2015淮安中考)小丽的家和学校在一条笔直的马路旁,某天小丽沿着这条马路上学,先从家步行到公交站台甲,再乘车到公交站台乙下车,最后步行到学校(在整个过程中小丽步行的速度不变),图中折线 ABCDE 表示小丽和学校之间的距离 y(米)与她离家时间 x(分钟)之间的函数关系. (1)求小丽步行的速度及学校与公
14、交站台乙之间的距离. (2)当 8x15 时,求 y 与 x 之间的函数解析式. 【解析】(1)(3900-3650)5=2505=50(米/分钟), (18-15)50=150 米. 答:小丽步行的速度为 50 米/分钟,学校与公交站台乙之间的距离为 150 米. (2)因为 C(8,3650),D(15,150),所以设 y=kx+b 过 C,D 两点.则 3 6508kbk50015015kb,b7 650. ，解得 所以 y=-500 x+7650. 深入探究深入探究 考点二 分段函数 【典例 3】(2016黄冈模拟)如图,是小明从学校到家里行进的路程 s(米)与时间 t(分)的函数图
15、象.观察图象,从中得到如下信息: 学校离小明家 1000 米; 小明用了 20 分钟到家; 小明前 10 分钟走了路程的一半; 小明后 10 分钟比前 10 分钟走得快,其中正确的有_(填序号). 【自主解答】由图象的纵坐标可以看出学校离小明家 1000 米,故正确; 由图象的横坐标可以看出小明用了 20 分钟到家,故正确; 由图象的纵横坐标可以看出,小明前 10 分钟走的路程较少,故错误; 由图象的纵横坐标可以看出,小明后 10 分钟比前 10 分钟走得快,故正确; 答案: 【典例 3】(2016滦南县期中)如图反映的是小刚从家里跑步去体育馆,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后走回家
16、,其中 x 表示时间,y表示小刚离家的距离.根据图象回答下列问题: (1)体育馆离小刚家_千米,小刚在体育场锻炼了_分钟. (2)体育馆离文具店_千米,小刚在文具店停留了_分钟. (3)小刚从文具店散步回家的平均速度是多少?答案:(1)2.515(2)120 (3)由纵坐标看出文具店距小刚家 1.5 千米,由横坐标看出从文具店回家用了 100-65=35(分钟),小刚从文具店回家的平均速度是 1.535= (千米/分钟). 答:小刚从文具店回家的平均速度是 千米/分钟. 考点三 利用一次函数解决实际问题 【考情分析】 利用一次函数解决实际问题是中考重点考查的热点考向之一,一次函数的图象是一条直
17、线,直观性强. 在解决此类问题时,应充分运用转化的思想,准确地确定题目中相关的变量之间的关系,将实际问题转化为数学问题来解决.历年中考中“三种题型”都有涉及,题目难度以基础题、中等题为主,偶有中等偏上的题目出现. 命题角度 1:利用一次函数解决实际生活问题 【典例 4】(2016青岛中考)某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出.据市场调查,若按每个玩具280 元销售时,每月可销售 300 个.若销售单价每降低 1 元,每月可多售出 2 个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量 y(个)满足如下关系:月产销量月产销量 y(y(个个) )16016
18、0200200240240300300每个玩具的固定成本每个玩具的固定成本 Q(Q(元元) )6060484840403232 (1)写出月产销量 y(个)与销售单价 x(元)之间的函数关系式. (2)求每个玩具的固定成本 Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式. (3)若每个玩具的固定成本为 30 元,则它占销售单价的几分之几? (4)若该厂这种玩具的月产销量不超过 400 个,则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元? 【自主解答】(1)设 y=kx+b,则(280,300),(279,302)满足函数关系式,则 280kb300,k2,279kb302b860 解得，
19、即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x+860. (2)设 Q= ,将(160,60)代入上式,得 m=9600,Q 与 y 的函数关系式为 Q= . (3)由题意,得 Q=30.将 Q=30 代入 Q= 得,30= ,解得 y=320.将 y=320 代入 y=-2x+860,得 320=-2x+860,解得x=270.30270= ,即若每个玩具的固定成本为 30 元,则它占销售单价的 . (4)对于 Q= (y0), 96000,Q 随 y 的增大而减小. y400,当 y=400 时,Q 最小值= =24. 即这种玩具的月产销量不超过 400 个, 每个玩具的固定成本至少为 2
20、4 元. 对于 y=-2x+860, -20,y 随 x 的增大而减小. 当 y=400 即 400=-2x+860 时,x 最小值=230.即这种玩具的月产销量不超过 400 个,销售单价最低为 230 元. 第四环节：课时小结第四环节：课时小结 本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所
21、需要的结果 意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。 说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。 第五环节：作业布置第五环节：作业布置 作业：最后一个例题。 六、教学设计反思六、教学设计反思 （1）设计理念函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境建立数学模型应用与拓展”的模式让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题 （2）突出重点、突破难点的策略本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和
22、拓展在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力 板书设计 一次函数图象的应用 一、例题讲解 二、想一想 三、反馈练习 四、课时小结 五、课后作业- 0 -课型：新授课课型：新授课 课时：课时：1 1 课时课时1.51.5 解直角三角形的应用解直角三角形的应用课 题 1.5 解直角三角学的应用教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数
23、的计算，并能对结果的意义进行说明. (二)能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教具重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法 探索发现法教具准备 多媒体演示教学过程 .创设问题情境，引入新课 师直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出
24、了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板
25、书：船有触礁的危险吗) .讲授新课 师我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 生应该是“上北下南，左西右东”. 师请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.生首先我们可将小岛 A 确定，货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55的 B 处，C 在 B 的正东- 1 -方，且在 A 南偏东 25处.示意图如下. 师货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 生根据题意，小岛四周 10 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到 A 的最短距离大于 10 海里，则无触礁的危险，如果小于 10 海里则有触礁的危险.A 到 BC 所在直线的最短距离
26、为过 A 作 ADBC，D 为垂足，即 AD 的长度.我们需根据题意，计算出 AD 的长度，然后与 10 海里比较. 师这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢? 生已知 BC20 海里，BAD55，CAD25. 师在示意图中，有两个直角三角形 RtABD 和 RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD 呢? 生在 RtACD 中，只知道CAD=25，不能求 AD. 生在 RtABD 中，知道BAD=55，虽然知道 BC20 海里，但它不是 RtABD 的边，也不能求出 AD. 师那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在
27、一个更高的角度考虑? 生我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且 BC 是这两个直角三角形 BD 与 CD 的差，即 BCBD-CD.BD、CD 的对角是已知的，BD、CD 和边 AD 都有联系. 师有何联系呢? 生在 RtABD 中，tan55，BD=ADtan55；在 RtACD 中，tan25ADBD，CDADtan25.ADCD 生利用 BCBD-CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程，即 ADtan55-ADtan2520. 师太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一
28、. 下面我们一起完整地将这个题做完. 师生共析解：过 A 作 BC 的垂线，交 BC 于点 D.得到 RtABD 和 RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由 BD-CDBC，又 BC20 海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里).25tan55tan20 这样 AD20.79 海里10 海里，所以货轮没有触礁的危险. 师接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们- 2 -来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔C
29、D 的高度.他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m 至 B 处.测得仰角为 60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 师我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角? 生当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC. 师很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导) 生首先，我们可以注意到 CD 是两个直角三角形 RtADC 和 RtBDC 的公共边，在RtADC 中，tan30=，ACCD 即
30、 AC在 RtBDC 中，tan60=,30tanCDBCCD即 BC，又AB=AC-BC50 m，得 60tanCD-=50.30tanCD60tanCD 解得 CD43(m)， 即塔 CD 的高度约为 43 m. 生我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量 CD 的高度时应考虑小明的身高. 师这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? 生示意图如右图所示，由前面的解答过程可知 CC
31、43 m，则 CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为 44.6 m. 师同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下. 多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，- 3 -调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.0l m) 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法) 生在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中 AB 表示楼梯的高度.AC 是原楼梯的长，BC
32、是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.ACB 是原楼梯的倾角，ADB 是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为： 如图，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求 AD-AC 及 DC 的长度. 师这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧! 生解：由条件可知，在 RtABC 中,sin40，即 AB4sin40m，原楼梯占ACAB地长 BC4cos40m. 调整后,在 RtADB 中，sin35，则 ADm.楼梯占地长ADAB35sin40si
33、n435sinABDB=m.35tan40sin4 调整后楼梯加长 AD-AC-40.48(m)，楼梯比原来多占 DCDB-BC=35sin40sin4 -4cos400.61(m).35tan40sin4 .随堂练习 1.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB5 m，现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆ED 的长度为多少? 解：在 RtCBD 中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40DBBC(m). 在 RtEDB 中，DB=5 m， BE=BC+EC2+5sin40(m). 根据勾股定理，
34、得 DE=7.96(m).2222)40sin52(5 BEDB 所以钢缆 ED 的长度为 7.96 m. 2.如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD，坝顶 AD6 m，坡长 CD8 m.坡底- 4 -BC30 m，ADC=135. (1)求ABC 的大小： (2)如果坝长 100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到 0.01 m3) 解：过 A、D 分别作 AEBC，DFBC，E、F 为垂足. (1)在梯形 ABCD 中.ADC135， FDC45，EFAD=6 m.在 RtFDC 中，DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m).2 BE=BC-CF-EF=30-4-6=2
35、4-4(m).22 在 RtAEB 中，AEDF=4 (m).2 tanABC0.308.262242424BEAE ABC17821. (2)梯形 ABCD 的面积 S(AD+BC)AE21 = (6+30)4 =72 (m2).2122 坝长为 100 m，那么建筑这个大坝共需土石料 10072 10182.34(m3).2 综上所述，ABC17821，建筑大坝共需 10182.34 m3土石料. .课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和 (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
36、(供选用数据：1.4，2 1.7)3- 5 - 过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫. 结果(1)过点 B 作 BDAC.垂足为 D. 依题意，得BAC30，在 RtABD 中，BD= AB=2016=160200，2121 B 处会受到台风影响. (2)以点 B 为圆心，200 海里为半径画圆交 AC 于 E、F，由勾股定理可求得 DE=120.AD=160.3 AE=AD-DE=160 -120，3 =3.8(小时).401203160 因此，陔船应在 3.8 小时内卸完货物.板书设计 1.4 船有触礁的危险吗一、船布触礁的危险吗1
37、.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题.2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.3.解释最后的结果.二、测量塔高三、改造楼梯- 0 -课型：新授课课型：新授课 课时：课时：1 1 课时课时课 题 1.1.2 锐角三角形(二)教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. (二)能力训练要求 1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2.体会数形结合的思
38、想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法 探索交流法.教具准备 多媒体演示.教学过程 .创设情境，提出问题，引入新课 师我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比
39、值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题： 问题 1当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? 问题 2梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? .讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系?(2) 有什么211122BACABACA和- 1 -关系? 呢?2112BABCBABC和(3)如果改变 A2在梯子 A1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小呢?
40、你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答. 生A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1/A2C2.RtBA1C1RtBA2C2.211122BACABACA和 (相似三角形对应边成比例).2112BABCBABC和 由于 A2是梯子 A1B 上的任意点，所以，如果改变 A2在梯子 A1B 上的位置，上述结论仍成立. 由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关. 生如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变. 师我们会
41、发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢? 生函数关系. 师很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示) 在 RtABC 中，如果锐角 A 确定，那么A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，A 的对边与邻边的比叫做A 的正弦(sine)，记作 sinA，即 sinA斜边的对边A A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦(cosine)，记作 cosA，即 cosA=斜边的邻边A- 2 - 锐角 A
42、的正弦、余弦和正切都是A 的三角函数 (trigonometricfunction). 师你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA 都是之 A 的三角函数”呢? 生我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角 A 确定时.A 的对边与斜边的比值，A 的邻边与斜边的比值，A 的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“A 的三角函数”概念中，A 是自变量，其取值范围是 0A90；三个比值是因变量.当A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应. 2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 师我们上一节知道了梯子的倾斜程度与 tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越
43、陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和 sinA、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?生如图所示，ABA1B1，在 RtABC 中，sinA=，在ABBCRtA1B1C 中，sinA1=.111BACB ,ABBC111BACB 即 sinAcosA1，ABAC111BACA 所以梯子的倾斜程度与 cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡. 师同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切. 3.例题讲解 多媒体演示.例 1如图，在 RtABC中，B=90，AC200.sinA0.6，求 BC的长. 分析：si
44、nA 不是“sin”与“A”的乘积，sinA 表示A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知 sinA0.6，0.6.ACBC 解：在 RtABC 中，B90，AC200. sinA0.6，即=0.6，BCAC0.62000.6=120.ACBC 思考：(1)cosA?19- 3 - (2)sinC？ cosC? (3)由上面计算，你能猜想出什么结论? 解：根据勾股定理，得 AB=160.2222120200 BCAC 在 RtABC 中，CB90. cosA0.8，54200160ACAB sinC= =0.8，54200160ACAB cosC 0.6，53200120ACBC 由上面的
45、计算可知 sinAcosCO.6， cosAsinC0.8. 因为A+C90，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.例 2做一做：如图，在 RtABC 中，C=90，cosA，AC10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB、sinA1312呢?你还能得出类似例 1 的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透 sin(90-A)cosA，cos(90-A)=sinA. 解：在 RtABC 中，C90，AC=10，cosA，cosA,1312ABACAB=,665121310131210cosAAcsinB1312
46、cosAABAc根据勾股定理，得BC2AB2-AC2()2-102=6652222625366065BC.625- 4 -cosB,1356525665625ABBCsinA135ABBC可以得出同例 1 一样的结论.A+B=90，sinA：cosB=cos(90-A)，即 sinAcos(90-A)； cosAsinBsin(90-A)，即 cosAsin(90-A). .随堂练习 多媒体演示 1.在等腰三角形 ABC 中，AB=AC5，BC=6，求 sinB，cosB，tanB. 分析：要求 sinB，cosB，tanB，先要构造B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过
47、 A 作 ADBC，D 为垂足. 解：过 A 作 ADBC，D 为垂足. AB=AC，BD=DC=BC=3.21 在 RtABD 中，AB5，BD=3， AD4. sinB cosB,54ABAD53ABBD tanB=.34BDAD 2.在ABC 中，C90，sinA，BC=20，求ABC 的周长和面积.54 解：sinA= ，sinA=，BC20，ABBC54 AB25.5420sinABC 在 RtBC 中，AC=15，222025 ABC 的周长AB+AC+BC25+15+2060， ABC 的面积：ACBC=1520150.21213.(2003 年陕西)(补充练习)- 5 -在AB
48、C 中.C=90，若 tanA=，21则 sinA= . 解：如图，tanA=.ACBC21设 BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得AB=.xxx5)2(22sinA=.55515xxABBC.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角 A 的三角函数概念中，A 是自变量，其取值范围是 0A90；三个比值是因变量.当A 确定时，三个比值分别唯一确定；当A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题. .课后作业 习题 1、2 第
49、1、2、3、4 题 .活动与探究已知：如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，求证：BC2ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 过程根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在 RtABC 中，CDAB.所以图中含有三个直角三角形.例如B 既在 RtBDC 中，又在 RtABC 中，涉及线段 BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得 cosB，cosB= .ABBCBCBD 结果在 RtABC 中，cosBABBC 又CDAB. 在 RtCDB 中，cosBBCBD=BC2ABBD.ABBCBCBD板书设计 1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在 KtABC 中，如果锐角 A 确定.- 6 -sinA斜边的对边AcosA斜边的对边A2.梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习
