1、7.57.5 三角三角形形内角和定理（第内角和定理（第2 2课时课时） 北师大版数学八年级上册第七章 平行线的证明三角形内角和定理复习引入自主学习观察下面一组图形中1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.（三角形内角的一条边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.）三个特征: 1. 1的顶点在三角形的一个顶点上; 2. 1的一条边是三角形的一条边; 3. 1的另一条边是三角形的某条边的延长线.探索新知想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、每一个顶点
2、处的外角有什么关系？画一个三角形，再画出它所有的外角.ABDEFC外角ABDEFC外角1 2 4 三角三角形形的外角与三角的外角与三角形形的内角之间有怎样的的内角之间有怎样的数数量关系量关系? ?外角A 3B C D相邻内角不相邻 内 角1.相邻的内角：2.不相邻的两内角：三角形的外角与内角的关系：如图ABC中，则 ACB+ACD？ABCD？ 结论： 三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角即三角形的外角与它 相邻内角的和为180ABC ABC的外角的外角ACD与它与它不相邻不相邻的的内角内角 A、 B有怎样的关系？有怎样的关系？DACD= A+ B 能证明这个结论吗？ABCD证明： ABC中，A
3、+B+ACB=180（三角形内角和定理）ACB+ACD=180（平角定义）ACD=A+B（等量代换）ACD= A+ B DACBACD= A+ BACD A ACD B三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. B+C=CAD推论2:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. CAD B， CAD CABCD在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用. 3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
4、。2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的外角与内角的关系： 160110课堂练习：1、 求下列各图中1的度数50 45 1 35 120 1 160 552、 求各图中1的度数100 o60 o13、判断题1、三角形的一个外角等于两个内角的和.2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.3、三角形的一个外角大于任何一个内角.4、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.证明： EAC= B+ C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知） C=1/2 EAC
5、（等式的性质） AD平分EAC （已知） DAC =1/2EAC （角平分线的定义）DAC= C （等量代换） ADBC（内错角相等，两直线平行）例题解析：例例2:已知：如图已知：如图,在三角形在三角形ABC中中,AD平分外角平分外角EAC, B=C.求证：求证：ADBC ABCDE对于此题还有其它的证明方法吗？试比较1 、A的大小关系？你能比较2 、 A的关系么？试试看。 2PABCD1巩固拓展例3:已知:如图,P是ABC内一点,连接PB，PC.求证:BPC A. ABDPC证明:延长BP，交AC于点D. BPC是PCD的一个外角（外角的定义） BPC PDC.（三角形的一个外角大于任何一个
6、和它不相邻的内角） PDC是ABD的一个外角（外角的定义） PDC A .（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） BPC A. 321ABC564已知：如图，1、2、3是ABC的三个外角，它们的和是多少度？1+2+3=360结论：三角形的外角和等于360通常把一个三角形每一个顶点处的一个外角的和叫做三角形的外角和。提高升华：跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是三角形 2.如图1,若A=32,B=45,C=38,则DFEFEDCBA115钝角3.如图2，1=_.120 1408014.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_ _. 30或75 5
7、.如图3，A=50,B=40,C=30,则BDC=_.120DCBA图1图2图36.(1)6.(1)如图如图( (甲甲) )，在五角星图形中，求，在五角星图形中，求A A+B B +C C +D D + + E E 的度数的度数. . (2)(2)把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和 与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.7.如图，把ACB沿DE折叠，当点A落在四边
8、形BCED内部时，DAE与1, 2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（ ） A.A=1+2 B. 2A=1+2 C. 3A=21+2 D. 3A=2（1+2 ）BDAACE12B 今天的收获今天的收获课堂小结：1 三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。2 三角形的内角和等于180三角形的外角和等于360 3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。4不等关系的证明思路参考例题参考例题例 1已知：如图，BAF、CBD、ACE 是
9、ABC 的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360分析：利用三角形内角和定理的推论可证出证明：BAF、CBD、ACE 是ABC 的三个外角（已知），BAF=2+3，CBD=1+2，ACE=1+3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BAF+CBD+ACE=2（1+2+3）（等式的性质）1+2+3=180（三角形的内角和定理），BAF+CBD+ACE=2180=360（等量代换）例 2已知：如图，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上的一点，BE、CD 相交于点 F，A=62，ACD=35，ABE=20求：（1）BDC 的度数；（2）BFD 的度数分析：本题是计算题，需利用三角形内
10、角和定理及推论解：（）BDC=A+ACD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），A=62，ACD=35，BDC=62+35=97（等量代换）（2）BFD+BDC+ABE=180（三角形内角和定理），BFD=180BDCABE（等式的性质）BDC=97，ABE=20（已知），BFD=1809720=63（等量代换）例 3如图，已知 BE、CE 分别是ABC 的内角、外角的平分线，A=40，求E 的度数解：ECD 是BCE 的外角（已知），ECD=EBC+E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BE、CE 分别平分ABC、ACD（已知），EBC=ABC，ECD=ACD（角平分线
11、的定义）2121ACD=ABC+E（等量代换）2121ACD=ABC+2E（等式的性质）又ACD 是ABC 的外角（已知），ACD=A+ABC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ABC=ABC+2E（等量代换）A=2E（等式的性质）E=A=40=20（等式的性质）2121第七章第七章 平行线的证明平行线的证明5 5三角形内角和定理三角形内角和定理（第（第 2 2 课时）课时）一、学生知识状况分析一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关
12、知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为本节的学习奠定了良好的基础 活动经验基础：活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验 二、教学任务分析二、教学任务分析在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排关注三角形的外角旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 1.掌握三角形外角的两条性
13、质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣 三、教学过程分析三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：复习引入自主学习探索新知课堂练习巩固拓展课堂小结第一环节：复习引入第一环节：复习引入活动内容：活动内容： 昨天我们学习了三角形内角和定理，请学生叙述三角形内角和定理的内容。在证明三角形内角和定理时，用到了把ABC 的一边 BC 延长得到ACD，这个
14、角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质活动目的活动目的： 复习旧知，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。第二环节：自主学习第二环节：自主学习活动内容：活动内容： 学生阅读教材，自学本节内容活动目的活动目的： 培养学生自主学习能力，激发学生学习兴趣。第三环节：探索新知第三环节：探索新知活动内容：活动内容： 三角形的外角定义观察下面一组图形中1 在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？B BC CA A1D DA AC CB B1D DA AC CB B1D D结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上(2)一条边是三角形的一边(3)另
15、一条边是三角形某条边的延长线三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，画一个三角形，再画出它所有的外角.想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、每一个顶点处的外角有什么关系？两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题 1：如图，ABC 中，A=70，B=60，ACD 是ABC 的一个外角，能由A、B 求出ACD 吗？如果能，ACD 与A、B 有什么关系？问题 2：任意一个ABC 的一个外角ACD 与A、B 的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出：推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 2：三角形的一个外角大于任何一
16、个和它不相邻的内角活动目的：活动目的： 通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考注意事项：注意事项： 教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。 新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎35 120 1 116050 45 1 1 160 55100 o60 o1代庖。第四环节：课堂练习第四环节：课堂练习1、 求下列各图中1 的度数2、判断题1、三角形的一个外角等于两个内角的和.2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3、三角形的一个外角大于任何
17、一个内角.4、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.5、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.例 2、已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 平分外角EAC，B=C求证：ADBC分析：要证明 ADBC,只需证明“同位角相等”,即需证明DAE=B.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）B=EAC（等式的性质）21AD 平分EAC（已知）BACDE2PABCD1DAE=EAC（角平分线的定义）21DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：E
18、AC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）21 AD 平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分线的定义）21DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）21AD 平分EAC（已知）DAC=EAC21DAC=C（等量代换）B+BAC+C=180B+BAC+DAC=180 即：B+DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）ABDPC第五环节：巩固拓展第五环节：巩固拓展活动内容：
19、活动内容：你能比较2 、 A 的关系么？试试看。例 3:已知:如图,P 是ABC内一点,连接 PB，PC.求证:BPC A. 证明：延长 BP，交 AC 于点 D. BPC 是PCD 的一个外角（外角的定义） BPC PDC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） PDC 是ABD 的一个外角（外角的定义） PDC A .（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） BPC A.分析通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.已知：BAF，CBD，ACE 是ABC 的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360分析：把每个外角表示为
20、与之不相邻的两个内角之和即得证证明：(略)结论：三角形的外角和等于 360活动目的：活动目的： 让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习注意事项：注意事项： 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，要引导学生找到一个过渡角，由再由不等关系的传递性得出结论。第六环节：课堂小结第六环节：课堂小结活动内容：活动内容：由学生自行归纳本节课所学知识：推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角活动目的：活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学
21、生的归纳概括能力注意事项：注意事项： 学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。课后作业：课本随堂练习和习题四、教学反思四、教学反思教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。本节课的教学设计力图具有以下几个特色：（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。
