1、倍角公式北京市房山区房山中学一、知识回顾两角差余弦公式coscos cos +sin sin 一、知识回顾两角差余弦公式coscos cos +sin sin 两角和余弦公式cos+cos cossin sin 令 ，整体换元一、知识回顾两角差余弦公式coscos cos +sin sin 两角和（差）正弦公式sinsin coscos sin两角和余弦公式cos+cos cossin sin 令 ，整体换元诱导公式一、知识回顾两角差余弦公式coscos cos +sin sin 两角和（差）正弦公式sinsin coscos sin两角和余弦公式cos+cos cossin sin 两角和（
2、差）正切公式tantantan1tantan令 ，整体换元诱导公式齐次化切温故知新已有知识sin2？cos2 ？tan2？桥梁温故知新sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1tantan温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1tantan温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1tantan特殊化桥梁温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1ta
3、ntansin+sin cos +cos sin （）特殊化桥梁温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1tantancos()cos cossin sin tantantan()1tantan特殊化桥梁sin( + )sin cos +cos sin 温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin sintan+ tantan1tantansin22sincos22cos2cossin22tantan21tan特殊化桥梁温故知新已有知识sinsin coscos sincoscos cossin
4、sintan+ tantan1tantan新知识sin22sincos22cos2cossin22tantan21tan特殊化桥梁这3个公式称为倍角公式.222222:sin22sincos:cos2cossin2tan:tan21tanSCT因此：尝试与发现22cos2cossin?尝试与发现22cos2cossin22sincos1尝试与发现22sincos122cos2cossin22cos122sin1 cos 尝试与发现22sincos122cos2cossin21 2sin 22cos1 sin 尝试与发现22sincos122cos2cossin222cos11 2sin 22s
5、incos1二、例题分析 例1 已知 ，5sin,(,)132求 的值.sin2 ,cos2 ,tan2思路分析 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2思路分析二倍角公式 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2思路分析二倍角公式 求出cos 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2思路分析二倍角公式 求出22sincos1cos 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2思路分析二倍角公式 求出22sincos
6、1cos 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 22cos =1 sin思路分析二倍角公式 求出判断象限角符号22sincos1cos 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 22cos =1 sin思路分析二倍角公式 求出判断象限角符号22sincos1cos 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2第二象限2cos =1 sin 例1 已知 ，求 的值.5sin,(, )132sin 2, cos 2, tan 2思路分析二倍角公式 求出判断象限角符号回归
7、已知22sincos1cos第二象限2cos =1 sin 解 因为 ，所以5sin,(, )13222512cos1sin1()1313 解 因为 ，所以因此5sin,(, )13222512cos1sin1()1313 512120sin22sincos2()1313169 225119cos21 2sin1 2 ()13169 sin2120119120tan2cos2169169119 tan2 解 因为 ，所以因此5sin,(, )13222512cos1sin1()1313 512120sin22sincos2()1313169 225119cos21 2sin1 2 ()1316
8、9 sin2120119120tan2cos2169169119 tan222cossin22cos121 2sin cos2 解 因为 ，所以因此5sin,(, )13222512cos1sin1()1313 512120sin22sincos2()1313169 225119cos21 2sin1 2 ()13169 sin2120119120tan2cos2169169119 tan2sintancos22tantan21tan 解 因为 ，所以因此5sin,(13, )222512cos1sin1()1313 512120sin22sincos2()1313169 225119cos2
9、1 2sin1 2 ()13169 sin2120119120tan2cos2169169119 tan2变式 已知 5sin,13求 的值.sin2 ,cos2 ,tan2分类讨论2cos =1 sin变式探究 若 ，5sin,22(, )132 则 的值分别是多少？sin,cos,tan变式探究 若 ，5sin,22(, )132 则 的值分别是多少？sin,cos,tan观察两个角的倍数关系尝试与发现二倍角公式不限于 是 的二倍的形式，还包括 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.222442 （1） 2sin2sintan2cos22sincos （2
10、） 221+2sincos1tancossin1tan例2 证明下列恒等式：2sin 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析2sin 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析观察需要证明的式子结构2sin 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化将 角化为 角22sin 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异将 角化为 角2左边：角的正弦和余弦右边：角的正切2sin
11、 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式将 角化为 角2sin22sin cos22cos2cossinsintancos左边：角的正弦和余弦右边：角的正切2sin 2sintan2 cos 22sincos（1） 证明恒等式 . 思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法左边繁琐将 角化为 角2sin22sin cos22cos2cossinsintancos左边：角的正弦和余弦右边：角的正切 证明 左边 2222sincossin2(cos
12、sin)2sincossin(2cos1)tancos(2cos1)= 右边 . （2） 证明恒等式 .221+2sincos1tancossin1tan思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法 （2） 证明恒等式 .221+2sincos1tancossin1tan思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法角 （2） 证明恒等式 .221+2sincos1tancossin1tan思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法角左边：角的正弦和余弦右边
13、：角的正切 （2） 证明恒等式 .221+2sincos1tancossin1tan思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法角平方差公式22sin+cos1sintancos左边：角的正弦和余弦右边：角的正切 （2） 证明恒等式 .221+2sincos1tancossin1tan思路分析观察需要证明的式子结构发现角的差异变化三角函数名的差异选择适当的公式简捷的数学方法左边繁琐角平方差公式22sin+cos1sintancos左边：角的正弦和余弦右边：角的正切 证明 左边 22222sin+2sincoscoscossin(sincos)cos
14、+sin(cossin)sincostan1cossin1tan= 右边 . 例3 已知函数 ， 求函数的最小正周期和值域. 2( )2cossin21f xxx思路分析 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异变化 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子
15、结构发现角的差异变化将 角化为 角 x2x 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异变化发现三角函数名的差异将 角化为 角 x2x 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异变化发现三角函数名的差异化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异发现三角函数名的差异选择适当的公式化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x
16、例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异发现三角函数名的差异选择适当的公式反用倍角公式辅助角公式化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异发现三角函数名的差异选择适当的公式正弦型函数形式 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx反用倍角公式辅助角公式化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异变化发现三角函数名的差异
17、选择适当的公式正弦型函数形式反用倍角公式辅助角公式sin()yAx化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x 例3 已知函数 ,求函数的最小正周期和值域.2( )2cossin21f xxx思路分析观察三角函数的式子结构发现角的差异变化发现三角函数名的差异选择适当的公式正弦型函数形式三角函数的相关性质反用倍角公式辅助角公式sin()yAx化为一个三角函数名将 角化为 角 x2x 解 因为22cos1sin 2sin 2cos2 xxxx( )f x将 角化为 角 2cos22cos1xxx2x 解 因为22cos1sin 2sin 2cos2222(sin 2cos2 )222 sin(2)4x
18、xxxxxx ( )f x将 角化为 角 2cos22cos1xxx2x“同名一次”形式22sin2cos2sin 2axbxabx 解 因为22cos1sin 2sin 2cos2222(sin 2cos2 )222 sin(2)4xxxxxxx ( )f x所以，所求函数的周期为 将 角化为 角 2cos22cos1xxx2x“同名一次”形式22sin2cos2sin 2axbxabx2T 解 因为22cos1sin 2sin 2cos2222(sin 2cos2 )222 sin(2)4xxxxxxx ( )f x所以，所求函数的周期为 ，值域为 .2,2将 角化为 角 2cos22co
19、s1xxx2x“同名一次”形式22sin2cos2sin 2axbxabx2T例3中，函数在 上的值域 ，2,2R R例3中，函数在 上的值域 ，2,2R R若自变量范围缩小，值域会怎样变化？ 变式探究 已知函数 ， 2()2 co ssin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x例3中，函数在 上的值域 ，R R2,20,2x变式探究中， ，求对应值域 . 解 由例3可知( )2 sin(2)4fxx变式探究 已知函数 ， 2( )2 cossin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x解 由例3可知( )2 sin(2)4fxx02x因为 ， 52444x可得
20、，变式探究 已知函数 ， 2( )2 cossin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x解 由例3可知( )2 sin(2)4fxx02x因为 ， 52444x可得 ，变式探究 已知函数 ， 2( )2 cossin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x令24xX将转化为sin(2)4yxsinyX解 由例3可知( )2 sin(2)4fxx02x因为 ， 52444x可得 ，则有 .5sinsin(2)sin442x变式探究 已知函数 ， 2( )2 cossin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x解 由例3可知( )2 sin(2)4fxx
21、02x因为 ， 52444x可得 ，则有 .5sinsin(2)sin442x因此 ，故所求值域为 . 1( )2fx1,2变式探究 已知函数 ， 2( )2 cossin 21fxxx 若 ，求 的值域.0,2x( )f x222222:sin22sincos:cos2cossin2tan:tan21tanSCT知识小结：倍角公式三、归纳总结二倍角余弦公式的三种等价形式：222:cos2cossinC222cos11 2sin 三角恒等变换常见题型：1、利用公式进行化简和求值；2、利用公式证明三角恒等式；3、三角问题的综合应用.三角恒等变换解题思路：发现差异，寻找联系，灵活变换 三角恒等变换
22、解题思路：发现差异，寻找联系，灵活变换1、发现差异，要“三看”： 一看角的差异； 二看函数名称的差异； 三看式子的结构特点.三角恒等变换解题思路：发现差异，寻找联系，灵活变换2、寻找联系，用公式： 分析差异之间的内在联系，找到相关的知识要素， 选择运用适当的公式解决问题. 三角恒等变换解题思路：发现差异，寻找联系，灵活变换3、灵活变换，写步骤： 灵活运用公式，合理进行知识要素之间的转化， 从而实现“角”、“名”、“形”的统一； 养成解题规范的良好数学习惯.注意小贴士：在解决三角恒等变换问题时，要时刻注意角的取值范围对公式转化的影响.贴心小建议：梳理好知识，理解内在联系，大家可以自主进行变式探究，提升思维高度.课后作业：1、已知 ，求 的值.2、证明恒等式： .3、求函数 的周期、最值和最值点.4、以学习小组为单位，与同学一起分工合作，依照知识之间的联 系，设计制作三角的知识结构图，全班进行交流分享.5sin13sin2 ,cos2 ,tan22( )12sinsin 2f xxx2212 sincos1tancossin1tan
