1、弧度制及其与角度制的换算北京市师达中学请同学们观察动画，这些机械部件在做什么运动？问题1.大齿轮旋转一周，旋转的角 度是多少？大齿轮旋转三分 之一周，旋转的角度是多少？请同学们观察动画，回答：360，3601203，角度制.问题2.你对角度制有哪些认识？请同学们观察动画，回答：初中学习过的角度制：定义：以度，分，秒为单位的角的 度量制叫作角度制.1度： 把圆周等分成 份，其中 每一份所对应的圆心角为1度. 360问题3.当大齿轮旋转一周时，一个小齿 轮旋转的角度是多少?请同学们观察动画，回答：RrAB两个齿轮旋转形成的弧长是相等的.旋转形成的两条弧有什么关系？大齿轮旋转一周形成的弧长为 ，小齿
2、轮旋转形成的弧长为 ，2R2R数学化小齿轮旋转的角与 有关.22RrRrAB当 时，=()R kr k Z小齿轮旋转的角是2()2Rk kr Z ，整数 周.k数学化RrA2()2Rmlmr Z，小齿轮旋转的角是弧长 对应的圆心角是多少呢？l当 不是 的整数倍时，rR数学化BRrAB2=.360rl n初中学习过的弧长公式：如果圆心角为 ，则弧长 为nl数学化请同学们观察图形，回答：问题4.在半径不同的两个同心圆中， 比较 的圆心角所对的弧 长的关系.120两个同心圆的圆心记作 ， 的圆心角 所对的两段弧为 ， .O 120ABAB半径大，弧长大；半径小，弧长小.120ABBA22=120=3
3、603ABRRl12022=120=3603ABrrl，22=120=3603ABRRl，得到23ABlR，23ABlr，ABBA这两个等式的右边不包含半径，表示弧长与半径的比值不依赖于半径，这个比值是一个常数，且只与圆心角 有关. 120提出猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.120问题5.还可以用什么来度量角呢？可以利用弧长与半径的比值来度量角吗？ABBA问题6. 与 有什么关系？12012023ABBA确定同一个角.问题7.证明猜想：同一圆心角所对的弧长 与其所在圆的半径的比值是一个常 数.120ABBAn由弧长公式可得分析：设圆心角 ，弧长为 ，半径 为 ，nl
4、r2=360rl n，2=360lnr，等式的右边不包含半径，这表示弧长与半径的比值不依赖于半径，是一个常数.rlABnrlAB同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.n问题8. 与 有什么关系？n2360nrlAB确定同一个角.120ABBA问题5.还可以用什么来度量角呢？可以利用弧长与半径的比值来度量角吗？120ABBA问题5.还可以用什么来度量角呢？利用弧长与半径的比值来度量角.AB弧度数：称弧长与半径比值的这个常数 为圆心角的弧度数.rlr 弧度: 长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角.1单位: ，读作弧度.rad这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.1ra
5、dAB半径为 ，弧长为 所对的圆心角为 ，则 rl问题9.如果圆心角 是负角，如何表示？rl=lr=lr 的含义是什么？sin3用弧度制表示角时，“弧度”二字（或 ）可以省略不写，只写这个角对应的弧度数.rad例如：2ABlr表示 的角的正弦.3rad表示 是 的角；2rad问题1.大齿轮旋转一周，旋转的角度是 多少？请同学们观察动画，回答：360角度制弧度制22RR问题10.弧度制与角度制如何换算呢？3602180等于多少弧度呢？1等于多少度呢？1 rad1 =180180=1 rad问题1.大齿轮旋转三分之一周，旋转 的角度是多少？请同学们观察动画，回答：120角度制弧度制2120 =12
6、01803，分析：180，1 =180，30 = 301806，得45 = 451804，60 = 60.1803643ABC1304560例1.把 化成弧度（用 表示），并在平面直角坐标系中作出他们的终边.1.053分析：2 ,.4Skk Z4练习. 写出与 终边相同的角的集合.4逆时针顺时针注意：两种度量角的单位不能混用， 数形结合360 ,4Skk Z，452 ,Skk Z，是不允许的.85分析：180得1，rad8588 180=28855，85在第四象限.180=，例2.把 化成角度数,并指出它所在的象限.分析：一个扇形中有哪些量？这些量之间有 什么关系？ABlrS例3.利用弧度制推
7、导扇形的面积公式. 设扇形的圆心角为 ，扇形的弧 长为 ，扇形的半径为 ，扇形的 面积为 .radrl由.lrlr，得弧长公式S22r，ABlrS圆心角是 的扇形的面积是 1rad221=22rSr，1=.2Slr例3.利用弧度制推导扇形的面积公式 . .lr扇形面积公式2扇形面积公式1212Sr，lrS分析： 1=2Slr，220rl ，20cm202lr，得21=(202 )(5)252Sr rr ，得练习.用 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大，最大面积是多少？radlrS 设扇形的圆心角为 ，扇形的弧 长为 ，扇形的半径为 ，扇形的面 积为 .lrS020020rl
8、， 由得010r ，当半径 时，扇形的面积最大, 5r cm2lr圆心角rad.此时20210lr弧长cm，所以当扇形的半径为 弧长为 圆心角为 时，5cm，10 cm，2rad252cm .扇形的面积最大，最大面积为最大面积为252cm .2=(5)25Sr，小结数学问题数学 抽象发现问题科学实际问题lr用 度量 ？用 度量 ？l提出问题lr弧度制与解决问题角度制分析 问题换 算作业1.把下列各角度化为弧度（用含有 的代数式表示）.(1)240(2) 12(3) 22 30作业2.把下列各弧度化成角度.5(1)3(2)83(3)2作业3.在半径为 的扇形中，圆心角为 ，求扇形的 面积.5cm2rad感谢观看
