1、高一年级 数学两角和与差的正弦、正切(第一课时)北京市房山区良乡中学 一、温故知新1.诱导公式二 一、温故知新1.诱导公式二 sin()sincos()costan()tan . ， 一、温故知新2.诱导公式五 一、温故知新2.诱导公式五 sin()cos2cos()sin .2， 一、温故知新 3.两角差的余弦公式 一、温故知新 3.两角差的余弦公式cos()cos cossinsin . 二、探究新知 尝试与发现 二、探究新知 (1)30 45，怎样借助的三角函数值求出尝试与发现sin75 sin15，的值？ 二、探究新知 (1)30 45，怎样借助的三角函数值求出尝试与发现sin75 s
2、in15，的值？sin75sin 9015（） 二、探究新知 (1)30 45，怎样借助的三角函数值求出尝试与发现sin75 sin15，的值？sin75sin 9015（）cos15 二、探究新知 (1)30 45，怎样借助的三角函数值求出尝试与发现sin75 sin15，的值？sin75sin 9015（）cos 4530（）cos15 二、探究新知 (1)30 45，怎样借助的三角函数值求出尝试与发现sin75 sin15，的值？6+ 2.4sin75sin 9015（）cos 4530（）cos15 二、探究新知 尝试与发现(2) ，一般地怎样根据与的三角函数值求出sin+sin（）
3、， （）的值？ 二、探究新知 尝试与发现 根据两角和与差的余弦公式,可以证明如下的两角和与差的正弦公式. 二、探究新知 尝试与发现 根据两角和与差的余弦公式,可以证明如下的两角和与差的正弦公式.Ssin()sincoscossin+ +：， 二、探究新知 尝试与发现 根据两角和与差的余弦公式,可以证明如下的两角和与差的正弦公式.Ssin()sincoscossin+ +：，Ssin()sincoscossin.： 二、探究新知 证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知 二、探究新知 证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知sin( + )cos()2 二、探究新知 证明 由诱导公式以及
4、两角和与差的余弦公式可知sin( + )cos()2 =cos ()2 二、探究新知 证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知sin( + )cos()2 =cos ()2=cos()cossin()sin22 二、探究新知 证明 由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知sin( + )cos()2 =cos ()2=cos()cossin()sin22sincos+ cossin， 二、探究新知 而且用-替换 得到 二、探究新知 sinsin （）（） 而且用-替换 得到 二、探究新知 sinsin （）（）sincos+cossin（）（） 而且用-替换 得到 二、探究新知 sincos
5、cossin.sinsin （）（）sincos+cossin（）（） 而且用-替换 得到 二、探究新知 Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（） 二、探究新知 想一想：公式有何特点？你如何记忆？Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（） 二、探究新知 公式的助记方法是：S=SCCS+Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（） 二、探究新知 公式的助记方法是：S=SCCS+S=SCCSSsinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin
6、.：（）例如,sin75sin 30 +45（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）sin30 cos45cos30 sin45例如,sin75sin 30 +45（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）sin30 cos45cos30 sin4512326+ 2+22224，例如,sin75sin 30 +45（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）例如,sin15sin 4530（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsin
7、coscossin.：（）例如,sin15sin 4530（）sin 45 cos 30cos 45 sin 30Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）例如,sin15sin 4530（）sin 45 cos 30cos 45 sin 30232162.22224Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）或者sin15sin 6045（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）或者sin 60 cos 45cos 60 sin 45sin15sin 6045
8、（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（）或者sin 60 cos 45cos 60 sin 45321262.22224sin15sin 6045（）Ssinsincoscossin+ +：（），Ssinsincoscossin.：（） 三、典例剖析 例1().Pxy，求点的坐标到 的位置. 已知向量 如图所示，(3)OP ，4 ，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转OP O45OP 三、典例剖析 例1().Pxy，求点的坐标到 的位置.解xOP ，设 已知向量 如图所示，(3)OP ，4 ，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转OP O45OP 三、典
9、例剖析 例1().Pxy，求点的坐标到 的位置.解22345OP ，则因为所以xOP ，设 已知向量 如图所示，(3)OP ，4 ，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转OP O45OP 三、典例剖析 例1().Pxy，求点的坐标到 的位置.解22345OP ，则因为所以34cossin.55，xOP ，设 已知向量 如图所示，(3)OP ，4 ，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转OP O45OP 三、典例剖析 cos( +45 )=5xxOP 三、典例剖析 =5cos(45 )x因此cos( +45 )=5xxOP 三、典例剖析 5(cos cos45sinsin45 )=5cos(45 )x因此c
10、os( +45 )=5xxOP 三、典例剖析 5(cos cos45sinsin45 )324225()=52522，=5cos(45 )x因此cos( +45 )=5xxOP 三、典例剖析 sin( +45 )=5yyOP 三、典例剖析 5sin(45 )y sin( +45 )=5yyOP 三、典例剖析 5(sincos45cos sin45 )5sin(45 )y sin( +45 )=5yyOP 三、典例剖析 5(sincos45cos sin45 )4232725(+)=.525225sin(45 )y sin( +45 )=5yyOP 三、典例剖析 5(sincos45cos si
11、n45 )4232725(+)=.525225sin(45 )y 2 7 2().22P ，从而sin( +45 )=5yyOP例231sincossin().226xxx：求证例2证明31sincossin().226xxx：求证例2证明31cossin6262,，因为所以31sincossin().226xxx：求证例2证明31cossin6262,，因为所以31sincoscossinsincos2266xxxx31sincossin().226xxx：求证例2证明31cossin6262,，因为所以31sincoscossinsincos2266xxxx31sincossin().22
12、6xxx：求证sincoscossin66xx例2证明31cossin6262,，因为所以31sincoscossinsincos2266xxxx31sincossin().226xxx：求证sincoscossin66xxsin().6x例2也可以将右边直接用 展开来证明，S+31sincossin().226xxx：求证例2分析例2也可以将右边直接用 展开来证明，S+31sincossin().226xxx：求证例2分析sin()6x 例2也可以将右边直接用 展开来证明，S+31sincossin().226xxx：求证例2分析sin()6x sincoscossin66xx例2也可以将右
13、边直接用 展开来证明，S+31sincossin().226xxx：求证例2分析sin()6x sincoscossin66xx31=sincos22xx31sincossin().226xxx：求证例2证明方法：1.将左边化为右边是两角和与差公式的逆用;31sincossin().226xxx：求证例2证明方法：1.将左边化为右边是两角和与差公式的逆用;2.将右边化为左边是两角和与差公式的正用.尝试与发现 如果函数31( )sincos22f xxx，你能求出 的最大值及最大值点吗？( )f x尝试与发现 如果函数31( )sincos22f xxx，你能求出 的最大值及最大值点吗？( )f
14、 x分析：由例2的结果可知，sin().6x31( )sincos22f xxx尝试与发现 如果函数31( )sincos22f xxx，你能求出 的最大值及最大值点吗？( )f x分析：由例2的结果可知，sin().6x31( )sincos22f xxx因此 的最大值为1，的最大值点 ( )f x满足0 x( )f x尝试与发现 如果函数31( )sincos22f xxx，你能求出 的最大值及最大值点吗？( )f x分析：由例2的结果可知，sin().6x31( )sincos22f xxx因此 的最大值为1，的最大值点 ( )f x满足0+=+2 62xkkZ，因此最大值点为+2 .3
15、kk Z，0 x( )f x尝试与发现 例3 在求函数( )sincosf xxx说法正确吗？的最小值时，下面的 “因为 的最小值为 , 的最小值也为 ,所以 的最小值为 .”sin x( )f xcos x如果不对,指出原因,并求 的周期、最小值与最小值点.( )f x112 例3 在求函数( )sincosf xxx说法正确吗？的最小值时，下面的 “因为 的最小值为 , 的最小值也为 ,所以 的最小值为 .”sin x( )f xcos x如果不对,指出原因,并求 的周期、最小值与最小值点.( )f xsin=1x解=+2 2xkkZ，；112因为 时有 例3 在求函数( )sincosf
16、 xxx说法正确吗？的最小值时，下面的 “因为 的最小值为 , 的最小值也为 ,所以 的最小值为 .”sin x( )f xcos x如果不对,指出原因,并求 的周期、最小值与最小值点.( )f xsin=1x解=+2 2xkkZ，；=+2 .xkk Z，而 时有cos =1x11因为 时有2因此 与 不能同时成立， 这就是说，sin=1xcos =1x因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2cos=sin442又因为 ,所
17、以2因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2cos=sin442又因为 ,所以( )sin +cosf xxx2因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2cos=sin442又因为 ,所以( )sin +cosf xxx222(sin +cos )22xx2因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2cos=sin442又因为 ,所以( )sin +cosf xxx222(sin +cos )22xx2(
18、sin cos+cos sin)44xx2因此 与 不能同时成立， 这就是说，( )f x的最小值不是 ，有关说法不对.sin=1xcos =1x2cos=sin442又因为 ,所以( )sin +cosf xxx222(sin +cos )22xx2(sin cos+cos sin)44xx2sin()4x2由此可知函数 的周期为 2，最小值为( )f x2，( )sin +cosf xxx2sin()4x由此可知函数 的周期为 2，最小值为而且最小值点 满足0 x0+=+2 42xkkZ，( )f x2，( )sin +cosf xxx2sin()4x由此可知函数 的周期为 2，最小值为而
19、且最小值点 满足0 x0+=+2 42xkkZ，因此最小值点为3+2 .4kkZ，( )f x2，( )sin +cosf xxx2sin()4x探究：由例3可以看出： 当a,b都是不为零的常数时,为了求出探究：由例3可以看出： 当a,b都是不为零的常数时,函数( )sincosfxaxbx的周期、最值等，为了求出关键是要探究：由例3可以看出： 当a,b都是不为零的常数时,函数( )sincosfxaxbx的周期、最值等，( )sin().f xAx的形式也就是说,将函数化为为了求出关键是要要找到合探究：由例3可以看出： 当a,b都是不为零的常数时,函数( )sincosfxaxbx的周期、最
20、值等，( )sin().f xAx的形式也就是说,适的A和 ，使得sincos = sin()axbx Ax将函数化为为了求出关键是要要找到合探究：由例3可以看出： 当a,b都是不为零的常数时,函数( )sincosfxaxbx的周期、最值等，( )sin().f xAx的形式也就是说,适的A和 ，使得sincos = sin()axbx Ax恒成立.将函数化为为了求出关键是要要找到合尝试与发现 A满足式的 和一定存在吗？它们与a,b有什么关系？sincos = sin()axbx Ax尝试与发现 A满足式的 和一定存在吗？它们与a,b有什么关系？如果式恒成立,sincos = sin()ax
21、bx Ax尝试与发现 A满足式的 和一定存在吗？它们与a,b有什么关系？如果式恒成立,sincosaxbx= sin coscos sinAxAx，sincos = sin()axbx Ax尝试与发现 A满足式的 和一定存在吗？它们与a,b有什么关系？如果式恒成立,sincosaxbx= sin coscos sinAxAx，因此cossinaAbA，从而可知sincos = sin()axbx Ax尝试与发现 A满足式的 和一定存在吗？它们与a,b有什么关系？如果式恒成立,sincosaxbx= sin coscos sinAxAx，因此cossinaAbA，从而可知22222+( cos
22、)( sin )abAAA，sincos = sin()axbx Ax因此,如果取22+Aab，则有尝试与发现 因此,如果取22+Aab，则有22cos+aaAab，22sin.+bbAab尝试与发现 因此,如果取22+Aab，则有22cos+aaAab，22sin.+bbAab由式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，尝试与发现 因此,如果取22+Aab，则有22cos+aaAab，22sin.+bbAab由式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为 ()abP，的点为尝试与发现 尝试与发现 OP，而是以射线为终边的角所示，如图尝试与发现 OP，而是以射线为终边的角所示，如图
23、尝试与发现 .则 一定满足式OP，而是以射线为终边的角所示，A满足式的 和因此如图.一定存在尝试与发现 sincos = sin()axbx Ax.则 一定满足式OP，而是以射线为终边的角所示，A满足式的 和因此22sincos =sin().axbxabx如图.一定存在尝试与发现 sincos = sin()axbx Ax.则 一定满足式公式22sincos =sin()axbxabx，尝试与发现 公式22sincos =sin()axbxabx，其中22+Aab，尝试与发现 公式22sincos =sin()axbxabx，其中22+Aab，22cos+aaAab，尝试与发现 公式22si
24、ncos =sin()axbxabx，其中22+Aab，22cos+aaAab，22sin.+bbAab尝试与发现 公式22sincos =sin()axbxabx，其中22+Aab，22cos+aaAab，22sin.+bbAab通常称这个公式为“辅助角公式”.尝试与发现 例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.解13.ab ，因为221(3)2 ，所以所以例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.解13.
25、ab ，因为221(3)2 ，所以所以13( )2( sin5cos5 )22f xxx例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.解13.ab ，因为221(3)2 ，所以所以13( )2( sin5cos5 )22f xxx=2 sin5 cos()cos5 sin()33xx例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.解13.ab ，因为221(3)2 ，所以所以13( )2( sin5cos5 )22f xxx=2 sin5 cos()cos5 sin()33xx=2sin(5).3x例4已知函
26、数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.1,3ab 由此可知函数 的周期为 25，最小值为-2，( )f x例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.1,3ab 由此可知函数 的周期为 25，最小值为-2，而且最小值点 满足0 x05=+2 32xkk Z，( )f x例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.1,3ab 由此可知函数 的周期为 25，最小值为-2，而且最小值点 满足0 x05=+2 32xkk Z，因此最小值点为2 +.305kkZ，( )f
27、 x例4已知函数( )sin53cos5f xxx，求 的周期、( )f x最小值及最小值点.1,3ab sincosyaxbx小结sin()yAx形如 的函数转化为 的形式. 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？ 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式； 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式：Ssin()sincoscossin+ +：， 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式：Ssin()sincoscossin+ +：，Ssin()sincoscossin.： 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式：S
28、sin()sincoscossin+ +：，Ssin()sincoscossin.：辅助角公式：22sincos =sin()axbxabx，其中22=+Aab ，22cos+aaAab，22sin.+bbAab 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式；2.你是如何获得这些知识的？ 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式；从特殊到一般，从具体到抽象；2.你是如何获得这些知识的？ 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式；从特殊到一般，从具体到抽象；2.你是如何获得这些知识的？3.通过本节课的学习，谈谈你的体会. 四、课堂小结1.本节课你学到了什么？两角和与差的正弦公式、辅助角公式；从特殊到一般，从具体到抽象；2.你是如何获得这些知识的？3.通过本节课的学习，谈谈你的体会. 用已知探究未知的方式，探究过程体会了从特殊到一般的数学思想. 五、布置作业 1.(4)OP ，3 ，已知向量OPO 将绕原点旋转 60 12060，1OP，到2OP，3OP的位置.123.PPP， ，求点 的坐标2.求函数的周期、最值以及最值点.( )cos3sin 3 .f xxx感谢观看！再见！
