1、回归分析（2）高二年级 数学首都师范大学附属苹果园中学 复习回顾1.研究两个变量的相关性的步骤：收集数据画散点图相关性检验不具有线性相关关系线性相关求出回归直线方程应用预测2.线性回归方程：1=1222=1()()()nniiiii=inniii=ixxyyx ynx ybxxxnx1-ayx.b复习回顾设样本点为(x1,y1)，(x2,y2)， ， (xn,yn)，线性回归方程为 yabx（1）相关系数11222222221111()()()()nniiiii=innnniiiii=i=iixxyyx ynxyrxnxynyxnxyny-()()3.相关性检验.复习回顾相关系数r的性质：|1
2、.r 复习回顾越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱|r|r(2)检验步骤：作统计假设：x与y不具有线性相关关系；根据小概率0.05与n-2在附表中查出r的一个临界值；0.05r根据样本相关系数计算公式算出r的值；复习回顾作统计推断. 如果 ， 表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；如果 ，我们没有理由拒绝原来的假设， 这时寻找回归直线方程是毫无意义的0.05rr| |0.05rr| |复习回顾4.对两个变量进行线性回归分析的过程：(1)根据所给数据作出散点图；(2)作相关性检验；(3)如果线性相关，则求出回归直线方程例某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）
3、有关，经统计得到数据如下：典型例题求出y对x的回归方程将上述数据绘制成散点图，如图所示：y与x之间不具有线性相关关系由小概率0.05与n-2=8在附表中查得 ；0.050.632r思考：(1) y与x之间是线性相关关系吗？0.05rr| |，不妨设变量 ，对u与y作相关性检验1ux思考：(2) y与 之间是线性相关关系吗？1xyabu.byax解：首先作变量置换 ，题目所给的数据变成如下表所示的10对数据：1uxui10.50.330.20.1yi10.155.524.082.852.11ui0.050.030.020.010.005yi1.621.411.301.211.15将上述数据绘制成
4、散点图，如图所示：uy相关性检验：1.作统计假设 ：u与y不具有线性相关关系；2.由小概率0.05与n-2=8在附表中查得 ；0.050.632r3.使用计算器进行计算：r = 0.9998 ；4. ，即 ，0.05| r | r|= 0.9998 0.632r从而有95%的把握认为u与y之间具有线性相关关系，求y对u的回归直线方程有意义最后回代 ，可得1=ux8.973= 1.125 +yx.这就是题目要求的y对x的回归曲线方程它是经过平移的反比例函数图象的一个分支可算得 ，则= 1.125 +8.973yu.= 8.973,= 1.125bay与x的非线性关系y与u的线性关系变量置换1ux
5、非线性回归分析问题变量置换线性回归分析问题例设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：作出这组数的散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除了用一次函数外，还可以用其他函数吗？典型例题第x天14916253649高度y/cm0479111213分析：将上述数据绘制成散点图，如图所示：图象的形状与函数 的图象很相似=yx可以用类似 的表达式来描述y与x的关系=+yab x解： 首先作变量置换 ，题目所给的数据变成如下表所示的数据：uxui1234567yi0479111213将上述数据绘制成散点图，如图所示：相关性检验：1.作统计假设 ：u与y不具有线性相关关
6、系；2.由小概率0.05与n-2=5在附表中查得 ；0.05= 0.754r3.使用计算器进行计算：r = 0.97；4. ，即 ，0.05| rr| = 0.97 0.754r从而有95%的把握认为u与y之间具有线性相关关系，求y对u的回归直线方程有意义回代 ，可得 .=ux=0.429 + 2.107yx-这就是y对x的回归曲线方程可算得 ，则 .=0.429 + 2.107yu-= 2.107= 0.429ba-,思考：你还能想到用哪个函数来描述此题中x与y的关系呢？图象的形状还与函数 的图象很相似= lnyx能否用类似 的表达式来描述y与x的关系?=+ lnyab x解： 首先作变量置
7、换 ，题目所给的数据变成如下表所示的数据：lnvxvi01.392.202.773.213.583.89yi0479111213将上述数据绘制成散点图，如图所示：v相关性检验：1.作统计假设 ：v与y不具有线性相关关系；2.由小概率0.05与n-2=5在附表中查得 ；0.05= 0.754r3.使用计算器进行计算：r = 0.998；4. ，即 ，0.05| rr| = 0.998 0.754r从而有95%的把握认为v与y之间具有线性相关关系，求y对v的回归直线方程有意义回代 ，可得 .= lnvx=0.334 + 3.424lnyx-这就是y对x的回归曲线方程可算得 ， ，则 .=0.334
8、 + 3.424yv-= 3.424b=0.334a-作变量置换 ux作变量置换 lnvxr=0.97r=0.998线性回归分析r=0.898vy=a+bx=+ lnyab x=+yab x典型例题例电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示：t012345678910U100755540302015101055试对变量t与U作回归分析并求出U对t的回归方程提示：电压U随时间t按指数规律衰减，有=e ( 0)btUAb分析：根据题目所给的数据，绘制散点图如下：分析： 这个例题也是非线性回归分析问题 通过适当的变量置换，将非线性回归分析问题转化为线性回
9、归分析问题=e ( 0)btUAb解：=e (rr| = 0.995 0.602r从而有95%的把握认为t与v之间具有线性相关关系，求v对t的回归直线方程有意义由此可得 .= 4.6160.313vt-换回原来的变量t与U，可得 ， ln= 4.6160.313Ut-即 . 4.616 0.3134.6160.3130.313= e= ee= 101.01etttU-这就是题目要求的U对t的回归曲线方程.可算得 ，= 0.313b-= 4.616.a课堂小结 在实践中，两个变量间的关系可能是线性相关，但在很多情况下呈现一种“曲线关系”对于非线性回归分析问题，我们可以采用适当的变量置换，把问题化
10、为线性回归分析问题，使其得到解决课后作业 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响，对近8年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值ix(1,2,8)iy i 课后作业46.65636.81.61469108.8xyw82=1()iixx-8=1()()iiixxyy-8=1()()iiiww yy-其中 .8=11=,=8iiiiwx ww课后作业(1)根据散点图判断，y=a+bx与 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；ycdx课后作业(3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x，根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x=49时，年销售及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？谢谢大家
