1、高二数学瞬时速度与导数(1)中国人民大学附属中学（一）创设情境，提出问题【问题】某跳台跳水运动员从起跳到入水的过程中，距离水面的高度 h(单位：m )与起跳后的时间 t(单位：s )存在函数关系如何求该运动员在 t = 1 s 时的速度呢？2( )4.9410,h ttt 【数理综合思考】（1）物体竖直上抛运动的运动方程是什么？（2）在函数 中，我们能读取一些什么信息？（3）物理上怎么计算 t = 1 s 时的速度？2( )4.9410h ttt 201( )2h tv tgt04m/s,v 29.8m/s ,g 010m.h 01,4 9.8 15.8m/s.tvvgtv 0.h（二）寻找算
2、法，剖析思路（1）从生活经验中获取思路生活中我们对物体在某一时刻的运动速度是有感觉的比如汽车在某一时刻的速度，我们的感受与判断是如何作出的呢？（二）寻找算法，剖析思路（2）将生活素材数学化设 时刻附近的“一小段时间”为t，并设汽车的位移 s（单位：m）关于行驶时间 t （单位：s）的函数关系为 s = f (t)则这一小段时间内的平均速度为0t00()( ).f ttf tt （二）寻找算法，剖析思路（3）从特殊情况入手，研究变化规律先研究 1 右侧附近的情况： 计算 的值.0.1:t (1.1)(1)8.4719.16.29;0.10.1hh (1)(1)htht 0.01, 0.001,
3、0.0001, 0.00001,t （二）寻找算法，剖析思路时间区间(s)时间改变量t平均速度(m/s) 1,1.1 0.1 -6.29 1,1.01 0.01 -5.849 1,1.001 0.001 -5.8049 1,1.0001 0.0001 -5.80049 1,1.00001 0.00001 -5.800049 1,1.000001 0.000001 -5.8000049 1,1.0000001 0.0000001 -5.80000049 （二）寻找算法，剖析思路（3）从特殊情况入手，研究变化规律再研究 1 左侧附近的情况： 计算 的值.0.1:t (0.9)(1)9.6319.1
4、5.31;0.10.1hh (1)(1)htht 0.01,0.001,0.0001,0.00001,t （二）寻找算法，剖析思路时间区间(s)时间改变量t平均速度(m/s)0.9,1 -0.1 -5.310.99,1 -0.01 -5.7510.999,1 -0.001 -5.79510.9999,1 -0.0001 -5.799510.99999,1 -0.00001 -5.7999510.999999,1 -0.000001 -5.79999510.9999999,1 -0.0000001 -5.79999951 （二）寻找算法，剖析思路（4）数形结合，直观理解变化趋势-5.9-5.8-
5、5.7-5.6-5.5-5.4-5.3-5.2平均速度从右侧趋于5.8 m/s（二）寻找算法，剖析思路（4）数形结合，直观理解变化趋势-6.4-6.3-6.2-6.1-6-5.9-5.8-5.7平均速度从左侧趋于5.8 m/s-5.9-5.8-5.7-5.6-5.5-5.4-5.3-5.2-6.4-6.3-6.2-6.1-6-5.9-5.8-5.7（二）寻找算法，剖析思路（5）抽象概括，发现规律 计算 1 到 1t 的平均变化率：222(1)(1) 4.9(1)4(1) 10( 4.9 14 1 10)4.9()9.844.95.8.hthttttttttt （三）方法迁移，解决问题 计算 t
6、0 到 t0t 的平均变化率： 称为 t0 时刻的瞬时速度.00220000200()( ) 4.9()4() 10( 4.9410)4.9()9.844.99.84.h tth tttttttttttttttt （四）概念辨析对比，深入数理研究（1）瞬时速度与平均速度的关系平均速度瞬时速度趋于0（四）概念辨析对比，深入数理研究（2）“t 趋于0”和“t = 0”的区别这里 趋于 0，意思是指 是一个非常小的正数，它可以无限接近 0，但永远也不会等于 0.04.99.84tt 09.84ttt令t = 0吗？（四）概念辨析对比，深入数理研究（3）奇怪的比值与极限思想当 趋于 0 时，分子趋于
7、0 ，分母也趋于 0 ，但其比值却趋于常数.t2000()( )4.9()9.84.h tth ttttttt （四）概念辨析对比，深入数理研究（4）从数学上理解物理公式在匀变速运动中，物体的运动方程是如何理解 是初速度、 是加速度？初速度 t = 0 时刻的瞬时速度，先求平均速度加速度速度的平均变化率201( ).2s tv tat0va（四）概念辨析对比，深入数理研究 所以，瞬时速度为2200200()( )11()() ()221()21.2s tts ttv tta ttv tattvtat tattvata t 0( ).v tvat0(0)vvs的平均变化率平均速度v瞬时速度v(t
8、)初速度v0（四）概念辨析对比，深入数理研究再求速度的平均变化率：所以，匀变速运动的加速度为00()( )()().v ttv ttva ttvatta. av的平均变化率平均加速度加速度（五）巩固例题选讲【例】竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为 100 m/s(1) 求小球在 t0 时刻的瞬时速度；(2) 试求小球何时速度为 0 .【解】不妨设小球从地面向上弹射，则小球离地面的高度 为：221( )1001004.9 .2h ttgttt( )h t（五）巩固例题选讲（1）小球在 到 之间的平均速度为：00220000200()( )100()4.9() (1004.9)1009.84.9
9、()1009.84.9.h tth tttttttttttttttt 0t0tt （五）巩固例题选讲当 趋于 0 时， 趋于 ，即小球在 时刻的瞬时速度为（2）由（1）知，小球在 t 时刻的瞬时速度为 ，令 ，得： ，即小球大约在弹射 10.2 秒后速度为 0 .01009.84.9ttt01009.8t01009.8 .t1009.8t1009.80t50010.2 (s)49t 0t【总结】求瞬时速度的主要步骤： 求增量 求平均速度 求瞬时速度：当 t 趋于 0 时，求出平均速度 趋近的常数，即为瞬时速度00()( );hh tth t 00()( );h tth tt 00()( )h
10、tth tt 【拓展】思考与讨论：（1）小球的速度变为 0 ，意味着什么？ 小球的速度变为0，意味着小球升至最高点（2）小球上升的最大高度是多少？（精确到 1m）2(10.2)100 10.24.9 10.2510(m).h2250025000( )1004.94.9().4949h tttt 【拓展】思考与讨论：（3）小球在 3 s 到 9 s 之间的平均速度是多少？这个平均速度与小球在 3 s和 9 s 的瞬时速度有什么数量关系？小球的平均速度： =100-9.83-4.96=41.2 (m/s).小球在 t0 时刻的瞬时速度：当 t0 =3，9时，速度分别为 70.6 m/s, 11.8
11、 m/s.01009.84.9tt01009.8 .t【拓展】思考与讨论：（4）一般地，小球在 t1 到 t2 的平均速度与它在 t1 和 t2 时刻的瞬时速度有什么数量关系？你能证明吗？在数量上，平均速度是两瞬时速度的算术平均数 （证明过程留给同学们自行思考）【例】已知某 F1 赛车从 0 s 到 6 s 匀加速过程中，位移 s(单位：m) 与时间 t (单位：s) 存在函数关系 ，求该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度【解法1】该赛车在 6 s 到 (6+t) s 之间的平均速度为 当t 趋于 0 时，6t +72 趋于72， 即该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度为72 m/s.2(
12、 )6s tt22(6)(6)6(6)66672.ststttt 【例】已知某 F1 赛车从 0 s 到 6 s 匀加速过程中，位移 s(单位：m) 与时间 t (单位：s) 存在函数关系 ，求该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度【解法2】该赛车在 0 s 到 6 s 的平均速度为 因为该赛车在 t = 0 s 时的速度为 0m/s， 所以该赛车在 t = 6 s 时的瞬时速度为 362 = 72 (m/s).2( )6s tt22(6)(0)666036.606ss （六）课堂小结与回顾匀速运动速度时时相等匀变速运动平均速度瞬时速度生活实例极限数形结合（七）课后作业已知某物体作竖直上抛运动，其运动方程为（1）求此物体在 t = 1 s 时的瞬时速度；（2）何时此物体的瞬时速度为 2 ?（3）此物体的初速度和加速度分别是多少？2( )543.s ttt
