1、复数的概念及几何意义北京市第四中学一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要NZQ R一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要NZQ R一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要数学需要NZQ R一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要数学需要43x25x 22x NZQ R一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中
2、的等分度量的需要实际需要数学需要43x25x 22x 21x NZQ R一、回顾数系的扩充过程计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要数学需要43x25x 22x ？21x NZQ R二、复数的概念一般地，为了使方程 有解，我们规定 的平方等于 ，即 ，并称 为虚数单位.21x i1i2i1 二、复数的概念一般地，为了使方程 有解，我们规定 的平方等于 ，即 ，并称 为虚数单位.21x i1i2i1 说明：1.历史上人们曾经认为平方等于 的数是不存在的，是想象出来的“虚幻”的数（imaginary number），数学家欧拉首先用 表示这个平方等于 的
3、数.i11二、复数的概念一般地，为了使方程 有解，我们规定 的平方等于 ，即 ，并称 为虚数单位.21x i1i2i1 说明：2.虚数单位 可以与实数进行四则运算，而且运算仍保持以前的运算律（如加法交换律、乘法交换律等）成立.i二、复数的概念一般地，为了使方程 有解，我们规定 的平方等于 ，即 ，并称 为虚数单位.21x i1i2i1 说明：2.虚数单位 可以与实数进行四则运算，而且运算仍保持以前的运算律（如加法交换律、乘法交换律等）成立.i例如， ， ， ， ， .2i2 i2i 0 i0 ( 1) ii 1 i二、复数的概念定义：形如 （ ， ）的数称为复数. aiabbR二、复数的概念定
4、义：形如 （ ， ）的数称为复数. aiabbR复数一般用小写字母 表示，即 （ ， ）.aizabbRz其中 称为 的实部， 称为 的虚部.abzz二、复数的概念定义：形如 （ ， ）的数称为复数. aiabbR复数一般用小写字母 表示，即 （ ， ）.aizabbRz其中 称为 的实部， 称为 的虚部.abzz |i, ,.z zab a bCR全体复数组成的集合称为复数集，记作 ，因此C二、复数的概念定义：形如 （ ， ）的数称为复数. aiabbR复数一般用小写字母 表示，即 （ ， ）.aizabbRz其中 称为 的实部， 称为 的虚部.abzz |i, ,.z zab a bCR全
5、体复数组成的集合称为复数集，记作 ，因此C对任意实数 ，有 ，所以 .RCa0iaa计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要数学需要43x25x 22x ？21x NZQ R二、复数的概念计数的需要自然数整数有理数实数表示相反意义的量测量、分配中的等分度量的需要实际需要数学需要43x25x 22x 复数21x NZQ R二、复数的概念C例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6）
6、.2i3i i2i0解：（1） 的实部是 ，虚部是 ；2i21例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：（1） 的实部是 ，虚部是 ；2i21（2） 的实部是 ，虚部是 ；3i 31例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：（1） 的实部是 ，虚部是 ；2i21（2） 的实部是 ，虚部是 ；3i 31（3） ，所以 的实部是 ，虚部是 ；i0 1 i i01例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4）
7、； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：（4） 的实部是 ，虚部是 ；2i02例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：（4） 的实部是 ，虚部是 ；2i02（5） 的实部是 ，虚部是 ；0例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：（4） 的实部是 ，虚部是 ；2i02（5） 的实部是 ，虚部是 ；0（6） 的实部是 ，虚部是 .000例1 说出下列复数的实部和虚部： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ；
8、 （6） .2i3i i2i0小结：复数 （ ， ）的实部是 ，虚部是 .aizabbRab1.复数 （ ， ）的分类： aizabbR1.复数 （ ， ）的分类： （1）若 的虚部等于 ，则 为实数；（2）若 的虚部不等于 ，则称 为虚数；z0aizabbR（3）若 的实部等于 ，虚部不等于 ，则称 为纯虚数.000zzzzz1.复数 （ ， ）的分类： （1）若 的虚部等于 ，则 为实数；（2）若 的虚部不等于 ，则称 为虚数；z0aizabbR（3）若 的实部等于 ，虚部不等于 ，则称 为纯虚数.000zzzzzU C实数纯虚数虚数例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数： （1） ； （2）
9、 ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2i3i i2i0解：虚数有 ， ， ；2i3i i2i其中纯虚数有 ， .i2i（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.例3 分别求实数 的值，使得复数(2)(3)izxxx（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.例3 分别求实数 的值，使得复数(2)(3)izxxxz解：（1）当 ，即 时，复数 是实数；30 x3x （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.例3 分别求实数 的值，使得复数(2)
10、(3)izxxxz解：（1）当 ，即 时，复数 是实数；30 x3x （2）当 ，即 时，复数 是虚数；30 x3x z（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.例3 分别求实数 的值，使得复数(2)(3)izxxxz（2）当 ，即 时，复数 是虚数；z30 x2x z解：（1）当 ，即 时，复数 是实数；30 x3x 30 x3x （3）当 且 ，即 时，复数 是纯虚数.20 x2.两个复数的相等关系2.两个复数的相等关系已知复数 （ ， ）， （ ， ），则a1izabbRc2izcdd R12zzacbd且 .特别地， .i00abab2.两个复数的相等关系已知复数 （ ， ），
11、（ ， ），则a1izabbRc2izcdd R12zzacbd且 .特别地， .i00abab注意：两个实数可以比较大小；但是对于两个复数，如果不全是实数，它们之间不能比较大小，只能说它们相等或不相等.（1） ；（2） ；（3） .(2 )i6()ixyxxy 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.xy(1)(2)i0 xyy2()ixyxy（1） ；（2） ；（3） .(2 )i6()ixyxxy 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.xy(1)(2)i0 xyy2()ixyxy解：（1）根据复数相等的定义，得26 ,1,xyxxy 解得 ， .23x 53y （1） ；（2） ；
12、（3） .(2 )i6()ixyxxy 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.xy(1)(2)i0 xyy2()ixyxy解：（2）根据复数相等的定义，得10,(2)0,xyy 解得 ， .3x 2y （1） ；（2） ；（3） .(2 )i6()ixyxxy 例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.xy(1)(2)i0 xyy2()ixyxy解：（3）根据复数相等的定义，得20,0,xyxy解得 ， .1x 1y 三、复数的几何意义思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的几何意义？三、复数的几何意义思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的几何意义？azb一方面，复数 （
13、 ， ）被它的实部 与虚部 唯一确定，即复数 被有序实数对 唯一确定；aizabbR( , )a b另一方面，有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 .( , )a b( , )Z a b三、复数的几何意义 复数集与平面直角坐标系中的点集之间建立一一对应关系，即复数 点 .izab( , )Z a b三、复数的几何意义 复数集与平面直角坐标系中的点集之间建立一一对应关系，即复数 点 .izab( , )Z a b 例如，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 .12i(1,2)A3(3,0)Bi(0, 1)C三、复数的几何意义 复数集与平面直角坐标系中的点集之间建立一一
14、对应关系，即复数 点 .izab( , )Z a b说明：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内， 轴上的点对应的复数都是实数，称 轴为实轴； 轴上的点除原点外，对应的复数都是纯虚数，为了方便，称 轴为虚轴.xxyy三、复数的几何意义 平面直角坐标系中的点 能唯一确定一个以原点为始点， 为终点的向量 .izab( , )Z a bZOZ 复数 与坐标平面内的向量 建立一一对应关系，即OZ 复数 向量 .izab( , )OZa b 三、复数的几何意义复数 点 向量 .izab( , )OZa b ( , )Z a b 说明：向量 的长度称为复数 的模，复数 的模用 表示，因
15、此 .( , )OZa b izabz| z22| zab（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表
16、示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i解：（1） ；（2） ；（3） ；22|3i|= (3)1222|3i|= 311022|3i|= 3( 1)10 （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i解：（4） ；（5） ；（6） .22|2i|= 02222| 2i|= 0( 2)2 22|4|= 404（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i（1） ； （2）
17、 ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .例5 在复平面内，作出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.3i43i3i2i2i说明：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 的共轭复数记作 ，即当 （ ， ）时 ，且 .zzaizabbRizab特别地，实数 的共轭复数即为其本身 .xx| |zz例6 设复数 满足 ，那么复数 在复平面内对应的点的集合是什么图形？z| 2z z例6 设复数 满足 ，那么复数 在复平面内对应的点的集合是什么图形？z| 2z z解：由 可知，向量 的长度等于 ，即点 到原点的距离始终等于 ，因此点 组成的集合是圆心在原点，半径为
18、 的圆.| 2z OZ 2Z2Z2例6 设复数 满足 ，那么复数 在复平面内对应的点的集合是什么图形？z| 2z z解：由 可知，向量 的长度等于 ，即点 到原点的距离始终等于 ，因此点 组成的集合是圆心在原点，半径为 的圆.| 2z OZ 2Z2Z2自然数整数有理数实数复数四、小结1. 数系的扩充四、小结2. 复数的概念 形如 ( , )的数称为复数.aizabbR（1）其中 称为虚数单位，满足 ；i（2） 称为 的实部， 称为 的虚部；abzz2i1 （3）复数的分类：实数，虚数，纯虚数；（4）复数的相等关系.四、小结3. 复数的几何意义复数 点 向量 .izab( , )OZa b (
19、, )Z a b （1）复平面、实轴、虚轴的概念；（2）复数的模与共轭复数的概念,四、小结3. 复数的几何意义复数 点 向量 .izab( , )OZa b ( , )Z a b （1）复平面、实轴、虚轴的概念；（2）复数的模与共轭复数的概念,五、课后作业1. 说出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？并写出下列各数的实部和虚部.（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） . 2. 当实数 取何值时，复数 是实数？是虚数？是纯虚数？ 32i i2i(1+ 3)i832ix22(2)(32)izxxxx五、课后作业3. 求适合下列等式的实数 和 的值；（1） ；（2） .4. 写出下列复数的共轭复数.（1） ；（2） ；（3） ；（4） .4i22+5i32i x(2 )(23 )i33ixyxyy33(3)ixyxy五、课后作业5. 在复平面内画出表示下列复数的点和向量，并求它们的模.（1） ；（2） ；（3） ；（4） .213i222i343i
