1、求函数的极值与最值北京市陈经纶中学 知识回顾函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近左侧 ，右侧 ，我们就把点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值.( )yf x0 xx0()f x0 xx0()0fx0 xx( )0fx( )0fx0 x( )yf x0()f x( )yf x0 x知识回顾函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近左侧 ，右侧 ，我们就把点 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值.( )yf x0 xx0()f x0 xx0()0fx0 xx( )0fx( )0fx0 x( )yf x0()f x
2、( )yf x0 x例 若函数 在其定义域内有极值点 ，概念辨析则 是否一定是函数 导函数的零点？( )f x( )f x0 xx0 xx若函数 在其定义域内有极值点 .概念辨析由极值点的概念可知，此时必有 ，故 为导函数的零点.0()0fx0 xx0 xx( )f x反之，若函数 的导函数有零点 ，概念辨析则 是否一定是函数 的极值点？( )f x( )f x0 xx0 xx反例 . 概念辨析此时，函数 的导函数 有零点 ，但 并不是函数 的极值点.( )f x0 x 3( )f xx2( )3fxx0 x 3( )f xx若 是函数 的极值点， 概念辨析则：1. ；0()0fx 2. 在
3、附近左右两侧 的函数值异号.0 x( )fx0 xx( )f x二者缺一不可！ 例 求函数 的极值.例题解析思路分析：31( )443f xxx求满足 的求导函数0()0fx( )fx0 x确定函数定义域判断 两侧 的单调性0 x( )f x求函数 的极值( )f x求导得 .2( )4(2)(2)fxxxx令 ，解得 ，或 . ( )0fx2x 2x )(xfx)2,()2 , 2(), 2( 2200单调递增单调递增单调递减极大值极小值解：函数定义域为 .( )fxR所以当 时，函数 取得极大值 . 2x 28( 2)3f 31( )443f xxx当 时，函数 取得极小值 . 2x 31
4、( )443f xxx4(2)3f 一般地，求函数 的极值的方法是： 思路梳理解方程 .当 时：( )yf x（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值；( )0fx0()0fx( )0fx0 x( )0fx0()f x（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值.( )0fx0 x( )0fx0()f x思路梳理求满足 的求导函数0()0fx( )fx0 x确定函数定义域求函数 的极值( )f x判断 两侧 的单调性0 x( )f x例 求函数 在区间 上的最值.例题变式思路梳理：31( )443f xxx求函数 在 上的极值1,3( )yf x(1,3)求函数 在 上的最值(
5、 )yf x1,3求函数 在给定区间端点处的函数值 ，( )yf x(1)f(3)f求导得 .2( )4(2)(2)fxxxx令 ，解得 ，或 （舍）. . ( )0fx2x 2x )(xfx)2 , 1 3 , 2(20单调递增单调递减极小值解：题目给定区间 .1,3( )fx所以当 时，函数 取得极小值 . 2x 31( )443f xxx4(2)3f 因为 ， ， 11(1)4433f(3)9845f所以函数 的最大值为 ， 31( )443f xxx5最小值为 . 43一般地，求函数 在 上的最值的步骤是： 思路梳理1. 求函数 在 上的极值；( )yf x2. 将函数 的各极值与端点
6、处的函数值 , a b( )yf x( , )a b( )yf x ， 进行比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值.( )f a( )f b思路梳理求导函数( )yfx解方程( )0fx判断导函数符号得出原函数单调性确定原函数极值比较极值与区间端点处函数值的大小得到原函数最值反馈练习已知函数 .321( )4f xxxx当 时，求证： . 2,4x 6( )xf xx 反馈练习当 时，求证： . 2,4x 6( )xf xx 问题转化： .6( )6( )0 xf xxf xx 反馈练习当 时，求证： . 2,4x 6( )xf xx 问题转化： .6( )6( )0 xf xxf xx 设
7、 .( )( )6( )0g xf xxg x 反馈练习当 时，求证： . 2,4x 6( )xf xx 问题转化： .6( )6( )0 xf xxf xx 思路梳理求函数 的最值求函数 的极值( )g x( )g x问题还原问题转化：设 .( )( )6( )0g xf xxg x 令 ，解得 或 .求导得 .解：设 .321( )( ), 2,44g xf xxxxx 23( )2 , 2,44g xxx x ( )0g x0 x 83x )(xg)(xgx)0 , 2)38, 0(4 ,38(03800单调递增单调递增单调递减极大值极小值列表：可知 的极大值为 ，极小值为 .( )g
8、x(0)0g864( )327g 因为 ， ，( 2)6g (4)0g所以函数 的最大值为 ，最小值为 .( )g x06所以 . 故 ，即 .6( )0g x 6( )0f xx6( )xf xx 本题得证. 求函数的极值与最值的方法是：例题解析例 已知函数 .求函数 的极值.21( )(1)ln2f xaxaxx( )f x例题解析例 已知函数 .思路梳理：求函数 的极值.21( )(1)ln2f xaxaxx求满足 的求导函数0()0fx( )fx0 x确定函数定义域求函数 的极值( )f x( )f x判断 两侧 的单调性0 x( )f x求导得 .21(1)1( )(1)axaxfx
9、axaxx解：函数定义域为 .(0,)设 .求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)2( )(1)1g xaxax求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)二次函数？2( )(1)1g xaxax设 .求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)二次函数？分类讨论2( )(1)1g xaxax设 .设 .求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)二次函数？讨论1：对于最高次项系数是否为0分类讨论的讨论.2( )(1)1g xax
10、ax求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)当 时， .令 ，解得 .0a 1( )xfxx( )0fx1x 求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)(xf)(xf x) 1 , 0(), 1 ( 10单调递减单调递增极大值列表：此时，函数有极大值 .1( )xfxx当 时， .0a (1)1f 求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)当 时，0a 令 ，解得 ，或 .( )0fx1x 1xa求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为
11、 .(0,)当 时，0a 令 ，解得 ，或 .( )0fx1x 1xa大小关系？求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)当 时，0a 令 ，解得 ，或 .( )0fx1x 1xa大小关系？分类讨论求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)当 时，0a 令 ，解得 ，或 .( )0fx1x 1xa大小关系？分类讨论讨论2：导函数定义域内的零点有多个时，对于多个零点的大小关系的讨论.（i）当 ，即 时，11a01a)(xf)(xf x) 1 , 0()1, 1 (a),1(a1a100单调递增单调递增单调递减极大
12、值极小值列表：此时，函数有极大值 ，1(1)12fa 极小值 .11( )ln12faaa （ii）当 ，即 时，11a1a 对任意 恒成立.(0,)x所以函数 在 上单调递增.( )f x故函数 无极值.( )f x(0,)（iii）当 ，即 时，101a1a )(xf)(xf x), 1 ( )1, 0(a) 1 ,1(a1a100单调递增单调递增单调递减极大值极小值列表：此时，函数有极大值 ，极小值 .11( )ln12faaa 1(1)12fa 求导得 .21(1)1( )(1)axaxfxaxaxx解：函数定义域为 .(0,)(xf)(xf x) 1 , 0(), 1 ( 10单调递
13、减单调递增极大值列表：此时，函数有极大值 .当 时，0a 1(1)12fa 令 ，解得 .( )0fx1x 综上所述：当 时，函数无极值； 当 时，函数有极大值 ，无极小值；0a1(1)12fa 当 时，函数有极大值 ， 01a1(1)12fa 和极小值 ； 11( )ln12faaa 当 时，函数有极大值 ， 1(1)12fa 和极小值 . 11( )ln12faaa 1a 1a 总结求函数的极值分析函数的单调性含参数分类讨论不含参数例题解析例 已知函数 .求函数 在区间 上的最小值.( )()exf xxk( )f x0,1求导函数思路梳理：判断函数在 上是否有极值判断函数在 上的单调性(
14、 )fx求出极值求函数 在 上的最小值( )f x0,10,1求出区间边界处的函数值若有若没有0,1求导得 .( )(1)exfxxk令 ，解得 . ( )0fx1xk解：函数定义域为 .R求导得 .( )(1)exfxxk令 ，解得 . ( )0fx1xk)(xf)(xf x) 1,( k), 1(k1k0单调递增单调递减极小值列表：故函数在 单调递减，在 单调递增.(,1)k(1,)k 解：函数定义域为 .R求导得 .( )(1)exfxxk令 ，解得 . ( )0fx1xk)(xf)(xf x) 1,( k), 1(k1k0单调递增单调递减极小值列表：故函数在 单调递减，在 单调递增.(
15、,1)k(1,)k 在给定区间内？题目给定区间 .0,1解：函数定义域为 .R求导得 .( )(1)exfxxk令 ，解得 . ( )0fx1xk)(xf)(xf x) 1,( k), 1(k1k0单调递增单调递减极小值列表：故函数在 单调递减，在 单调递增.(,1)k(1,)k 在给定区间内？题目给定区间 .0,1分类讨论解：函数定义域为 .R求导得 .( )(1)exfxxk令 ，解得 . ( )0fx1xk在给定区间内？分类讨论讨论：在定义域内，对于导函数的零点是否在题目给定区间内的讨论.题目给定区间 .0,1解：函数定义域为 .R函数 在 上单调递增.( )f x当 ，即 时，故函数
16、的最小值为 . 1 0k 1k0,1( )f x(0)fk 函数 在 上单调递减，在 上单调递增.( )f x当 ，即 时，故函数 的最小值为 . 01 1k 12k0,1)k ( )f x1(1)ekf k (1,1k 函数 在 上单调递减.( )f x当 ，即 时，故函数 的最小值为 . 1 1k 2k0,1( )f x(1)(1)efk当 时，函数 的最小值为 . 当 时，当 时，综上所述：函数 的最小值为 ； 2k( )f x(0)fk 12k1(1)ekf k 函数 的最小值为 ； ( )f x(1)(1)efk( )f x1k总结常见讨论1. 对于最高次项系数是否为0的讨论.2.
17、在定义域内，导函数的零点有多个时，对于多个零点的大小关系的讨论.3. 在定义域内，对于导函数的零点是否在题目给定区间内的讨论.反馈练习1. 设函数 .若 在 处取得极小值，求 的取值范围. 2( )(41)43exf xaxaxa( )f x2x a反馈练习若 在 处取得极小值，求 的取值范围. ( )f x2x a思路梳理：求满足 的求导函数0()0fx( )fx0 x确定函数定义域确定函数 的极值( )f x判断 两侧 的单调性0 x( )f x设 .求导得 .2( )(21)2exfxaxax解：函数定义域为 .R二次函数？2( )(21)2g xaxax求导得 .当 时， .0a (
18、)(2)exfxx)(xf)(xf x)2 , 0(), 2( 20单调递减单调递增极大值列表：此时，函数在 处取极大值，不合题意.2x 解：函数定义域为 .R2( )(21)2exfxaxax求导得 .当 时，令 ，解得 ，或 . ( )0fx2x 0a 1xa在定义域内导数的零点个数确定两个零点的大小关系确定解：函数定义域为 .R2( )(21)2exfxaxax求导得 .当 时，令 ，解得 ，或 . ( )0fx2x 1xa)(xf)(xf x)1,(a)2 ,1(a2a100单调递减单调递减单调递增极小值极大值列表：此时，函数在 处取极大值，不合题意.2x 0a 解：函数定义域为 .R
19、), 2( 2( )(21)2exfxaxax求导得 .当 时，令 ，解得 ，或 . ( )0fx2x 0a 1xa两个零点的大小关系不确定解：函数定义域为 .R2( )(21)2exfxaxax在定义域内导数的零点个数确定（i）当 ，即 时，12a102a)(xf)(xf x)2 ,()1, 2(a),1(a2a100单调递增单调递增单调递减极大值极小值列表：此时，函数在 处取极大值，不合题意.2x （ii）当 ，即 时，12a12a 对任意 恒成立.( )0fx (0,)x所以函数 在 上单调递增.( )f x故函数 无极值，不合题意.( )f x(0,)（iii）当 ，即 时，102a1
20、2a )(xf)(xf x)1,(a)2 ,1(a2a100单调递增单调递增单调递减极大值极小值列表：此时，函数在 处取极小值，符合题意.2x 综上所述， 的取值范围是 .a1( ,)2), 2( 反馈练习2. 设函数 .求证：存在 ，当 时， .2( )exf xxx0c xc( )0f x 反馈练习求证：存在 ，当 时， .0c xc( )0f x 思路梳理：绘制 的草图求导函数确定函数 的极值( )f x( )fx判断 的单调性( )f x( )f x判断点 的大致位置( ,( )c f c则 .设 .求导得 .( )e21xfxx令 ，发现此时无法直接解出方程中的 .( )0fx解：函
21、数定义域为 .Rx( )( )e21xg xfxx( )e2xg x .故 既是函数的极小值.(ln2)12ln2g ( )e2xg x)(xg)(xgx)2ln,(), 2(ln2ln0单调递增单调递减极小值列表：令 ，解得 . ( )0g xln2x 也是函数的最小值.又易知 .(0)0g由零点存在性定理，存在唯一的实数 ，因为 ， .323( )e402g(ln2)12ln20g 0(ln2,2)x 使得 ，即 . 000()e210 xg xx 00e21xx又易知 .(0)0g由零点存在性定理，存在唯一的实数 ，因为 ， .323( )e402g(ln2)12ln20g 0(ln2,
22、2)x 使得 ，即 . 000()e210 xg xx 00e21xx故函数 存在两个零点，分别为0和 .草图如下：( )g x0 x当 时， ；故函数 存在两个零点，分别为0和 .草图如下：( )g x0 x由图象可知：(,0)x ( )0g x 当 时， ；0(0,)xx( )0g x 当 时， .0(,)xx( )0g x 当 时， 递增；故函数 存在两个零点，分别为0和 .草图如下：( )g x0 x因为 ，所以：(,0)x ( )f x当 时， 递减；0(0,)xx( )f x当 时， 递增.0(,)xx( )f x( )( )g xfx所以 在 处取得极大值 ；在 处取得极小值 .
23、0 xx( )f x0 x (0)1f02000()exf xxx .将 代入，可得00e21xx200003()1(ln2, )2f xxxx 可知 .031()( )024f xf所以当 时，必有 .0 x( )0f x 故函数 的草图如右图：( )f x .故函数 的草图如右图：( )f x所以一定存在 ，使 .0c ( )0f c 此 值即满足题目结论要求.c所以存在 ，当 时，0c xc( )0f x 在分析函数 单调性的过程中，特别是当 无法直接求出根时，可以尝试通过结合导函数的单调性和零点存在性定理来分析导函数的零点. ( )0fx( )f x( )yfx求导函数求导函数设( )
24、( )g xfx( )fx无法直接解出 的根( )0fx( )g x判断 单调性( )g x思路梳理：结合零点存在性定理判断 的零点( )g x1.本节课你学到了什么知识？ 2.你是如何获得这些知识的？ 3.你有什么体会？ 若 是函数 的极值点， 课堂小结则：1. ；0()0fx 2. 在 附近左右两侧 的函数值异号.0 x( )fx0 xx( )f x二者缺一不可！ 求函数的极值与最值的方法是：课堂小结求函数的极值分析函数的单调性含参数分类讨论不含参数课堂小结常见讨论1. 对于最高次项系数是否为0的讨论.2. 在定义域内，导函数的零点有多个时，对于多个零点的大小关系的讨论.3. 在定义域内，对于导函数的零点是否在题目给定区间内的讨论.(1) ， 1.求下列函数在给定区间上的极值和最值. 3( )62f xxx321( )233f xxxx (2) ， 1,1x 1,6x 求 的极值.2.设函数 . 2( )2 ln1(0)f xxaxa( )f x
