1、高二年级 数学函数的极值与导数北京市三里屯一中函数的性质单调性函数的单调性与导数的关系用导数研究函数单调性的方法 f (x)0，函数单调递增； f (x)0，(x+4)(x-2)0 即x2；令 f (x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.复习回顾 解：f (x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).x(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)f (x)f (x)的单调递增区间为(-，-4)，(2，+).+-f (x)0，(x+4)(x-2)0 即 -4x2；令 f (x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.1.求出
2、函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.复习回顾 解：f (x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).x(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)f (x)求导数求临界点列表写单调区间+-f (x)的单调递减区间为(-4，2).令 f (x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.复习回顾 f (x)的单调递增区间为(-，-4)，(2，+).解：f (x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).x(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)f (x)临界点附近临界点附近函数图象有函数图象有什么特
3、点？什么特点？求导数求临界点列表写单调区间+-令 f (x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.复习回顾 f (x)的单调递增区间为(-，-4)，(2，+).f (x)的单调递减区间为(-4，2).还记得高台跳水的例子吗？atho最高点h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10探索新知 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：(1)当t = a时，运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？athoh(t) = -4.9t2 + 6.5t +10h(a)=0探索新知 将最高点附近放大t = at a2.跳水运动员在最高点
4、处附近的情况：(2)当t 0将最高点附近放大athoh(a)=0探索新知 t = at ah(t) = -4.9t2 + 6.5t +102.跳水运动员在最高点处附近的情况：单调递减 h(t) a时，h(t)的单调性如何？单调递增 h(t)0将最高点附近放大athot = at ah(a)=0探索新知 h(t) = -4.9t2 + 6.5t +102.跳水运动员在最高点处附近的情况：导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，h(t)先增后减，h(t)先正后负，h(t)连续变化，于是有h(a)=0单调递减 h(t)0将最高点附近放大athoh(a)=0探索新知 t = at ah(t) = -4
5、.9t2 + 6.5t +102.跳水运动员在最高点处附近的情况：对于一般函数是否也有同样的性质呢？单调递减 h(t)0将最高点附近放大athoh(a)=0探索新知 t = at ah(t) = -4.9t2 + 6.5t +103.(1) 如图，函数 y = f (x) 在c，d，e，f，g，h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y = f (x) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y = f (x) 的导数的符号有什么规律？c d e o f g h xy探索新知 y = f (x)xyoabf (x)0f (x)0f (x)0f (x)0极小值点极大值点f (a)=0f (b)
6、=03.(2) 如图，函数y=f (x)在a，b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？探索新知 xyoaby=f (x)xxbf (x)+0-f (x)单调递增极大值单调递减f (a)f (b)xxaf (x)-0+f (x)单调递减极小值单调递增探索新知 一般地，设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所有的点，都有 f (x) f (x0)，则称 f (x0)是 f (x) 的一个极小值，点 x0 叫做函数 y = f (x) 的极小值点.极小值点、极大值点统称为极值点，
7、极大值和极小值统称为极值.发现规律 练习练习 试指出下面函数在a，b的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点.yabx1x2x3x4oxf (x4)f (x3)f (x1)f (x2)发现规律 极大值点：x1，x3极小值点：x2，x4极大值：f (x1) ，f (x3)极小值：f (x2) ，f (x4) 理解极值概念时需注意的几点深化理解 理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的深化理解 理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的
8、端点绝不是函数的极值点深化理解 理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f (x)在a，b内有极值，那么f (x)在a，b内绝不是单调函数，即单调函数在定义域内没有极值深化理解 理解极值概念时需注意的几点(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)深化理解 理解极值概念时需注意的几点(5)若函数f (x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)，相邻两个极大值
9、点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点深化理解 yxo探究1 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处如果有切线，那么切线是水平的， 即 f (x)=0.aby=f (x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考 若寻找可导函数的极值点,可否只 由 f (x) = 0求得即可?深入探究 分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点?f (x)=3x2 ，当f (x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.x yof (x) x3探究2 若 f (x0)=0，则 x0是否为极值点？结论：f (x0)=0是可导函数在
10、x0处取得 极值的必要而不充分条件.深入探究 f (x0) =0 x0 是可导函数f (x)的极值点 x0左右两侧导数异号 x0是函数f (x)的极值点 f (x0)=0 f (x)0 yxox1abyf (x)极大值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0 x2深入探究 探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？ xxx2 f(x) f (x) xxx1 f(x) f (x)增 +0-极大值减-0增减极小值+注意:(1)f(x0)=0时，x0不一定是极值点.(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求满足f(x0) =0的 点x0，再列表判断单
11、调性.结论：极值点两侧，导数正负符号相异.探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？深入探究 例1 求函数 的极值.学以致用 求导函数f (x)求满足f(x0) =0的x0判断x0两侧单调性若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值分析：例1 求函数 的极值.令 f (x) = 0，解得 x = 2，或 x = -2.f (x) 0，即 x2，或 x-2；f (x) 0，即 -2x 0，即x2，或 x-2；f (x) 0，即-2x2. 解:因为 ， 所以f (x) = x2-4 =(x-2)(x+2).学以致用 求导整理求解方程例1 求函数 的极值.当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情
12、况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)f (x)00f (x) +单调递增单调递减单调递增32834所以，当x = 2时，f (x)有极大值 ；当x = 2时，f (x)有极小值 .学以致用 列表断号求出极值-2oxy2学以致用 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.学以致用 求导函数f (x)求满足f(x0) =0的x0判断x0两侧单调性若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值分析：考虑f (x)的定义域11( )1xf xxx ，( )01.fxx时，例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.(0,).x解：因为f (x)=lnx-x ，所以学以致用 x(0, 1)
13、1(1, +)f (x)+0-f (x)所以，当x=1时，函数有极大值-1；函数无极小值.极大值当 x 变化时，f (x)， f (x)的变化情况如下表:例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.学以致用 注意：(1)列表时不要忽视定义域； (2)某些函数可能仅有一个极值.1( )f xxx例3 求函数 的极值.学以致用 分析：求f (x)的定义域求导函数f (x)求满足f(x0) =0的x0判断x0两侧单调性若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值1( )f xxx1( ), |0.f xxx xx=解：所以定义域为22211( )1xf xxx ，( )01.fxx 时，例3 求函数
14、的极值.学以致用 1( )f xxxx(-，-1)-1(-1，0)（0，1）1(1，+)f (x)+0-0+f (x)所以，当 x = -1时，函数有极大值-2；极大值极小值例3 求函数 的极值.当 x 变化时，f (x)， f (x)的变化情况如下表:导函数的正负是交替出现的吗？学以致用 注意：导函数的正负不一定交替出现， 要具体问题具体分析.当 x = 1时，函数有极小值2.求函数极值的一般方法：归纳方法 求函数极值的一般方法：(1)确定函数的定义域；归纳方法 求函数极值的一般方法：(1)确定函数的定义域；(2)求方程 f (x) = 0的解；归纳方法 求函数极值的一般方法：(1)确定函数
15、的定义域；(2)求方程 f (x) = 0的解；(3)用方程 f (x) = 0的解，顺次将函数的定义 域分成若干个开区间，并列成表格；归纳方法 求函数极值的一般方法：(1)确定函数的定义域；(2)求方程 f (x) = 0的解；(3)用方程 f (x) = 0的解，顺次将函数的定义 域分成若干个开区间，并列成表格；(4)由 f (x) 在方程 f (x) = 0的解左右的符号来 判断 f (x) 在此处取得极值的情况.归纳方法 若在x0附近，f (x) 左正右负，则 f (x0) 为极大值；+-x0-+x0若在x0附近，f (x) 左负右正，则 f (x0) 为极小值.解方程 f (x) =
16、 0.当 f (x0) = 0 时：归纳方法 函数极值函数极值的定义函数极值的求法1.求导；2.求极值点；3.列表；4.求极值.函数的性质单调性函数的单调性与导数的关系用导数研究函数单调性的方法总结提升 反映函数在某一点附近的局部性质1.下图是导函数 y=f (x) 的图象，试找出函数 y=f (x) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1ox2x3x4x5x6课后作业 2.求下列函数的极值:(1) f (x) = 6x2- x- 2 ； (2) f (x) = x3- 27x ；(3) f (x) = 6 +12x - x3 ； (4) f (x) = 3x - x3 .课后作业
