1、利用导数研究恒成立问题北京市陈经纶中学知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域求导函数( )fx知 识 回 顾知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域求导函数( )fx知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)知 识 回 顾如何利用导数确定函数
2、的最值？明确函数及其定义域求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)令( )0fx列表知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域确定极值求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)令( )0fx列表知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域确定极值确定最值求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)令( )0fx列表思 考 探 究 1.你能确定函数 在区间2,3上的最大值和最小值吗？2( )21f xxx【思路1】 时， ，( )2
3、22(1)fxxx所以 在区间 上单调递增，2,3x( )0fx ( )f x2,3所以 ， .max( )(3)2f xfmin( )(2)1f xf 思 考 探 究 1.你能确定函数 在区间2,3上的最大值和最小值吗？2( )21f xxx 的开口向上，对称轴为 ， 【思路2】1x 所以 ， max( )(3)2f xfmin( )(2)1.f xf 2( )2 -1f xxx思 考 探 究 1.你能确定函数 在区间2,3上的最大值和最小值吗？2( )21f xxx在对称轴右侧的区间 上， 单调递增，2,3( )f x思 考 探 究试判断下列说法是否正确？对于任意的 ，都有 成立.2,3x
4、( )0f x 0y 思 考 探 究试判断下列说法是否正确？对于任意的 ，都有 成立.2,3x( )0f x 对于任意的 ，都有 成立.2,3x( )2f x 2y 2y 思 考 探 究 若对于任意的 都有 成立，你能确定实数c的取值范围吗？2,3x( )f xc【思路1】 实数c大于或等于 在 上的所有函数值，( )f x2,3 实数c大于或等于 在 上的最大值即可.( )f x2,3 所以，实数c的取值范围是 .2,)思 考 探 究 若对于任意的 都有 成立，你能确定实数c的取值范围吗？( )f xc【思路2】 将 ，看成函数 与 常数函数 之间的关系，( )f xcyc( )yf x结合
5、图象，可以得到实数c的取值范围.2,3x 2.对于函数 . 思 考 探 究试判断下列说法是否正确？对于任意的 ，都有 成立.2,3x( )0f x 对于任意的 ，都有 成立.( )-1f x 2,3x2( )21f xxx0y 1y 思 考 探 究 若对于任意的 都有 成立，你能确定实数m的取值范围吗？2,3x( )f xm思 考 探 究【思路1】 实数m小于或等于 在 上的所有函数值，( )f x2,3 只需要实数m小于或等于 在 上的最小值即可.( )f x2,3 所以，实数m的取值范围是 .(, 1 若对于任意的 都有 成立，你能确定实数m的取值范围吗？2,3x( )f xm思 考 探
6、究【思路2】 将 ，看成函数 与 常数函数 之间的关系，( )f xmym( )yf x结合图象，可以得到实数m的取值范围. 若对于任意的 都有 成立，你能确定实数m的取值范围吗？2,3x( )f xm对于函数 . 反 思 回 顾 对于任意的 ，都有 成立.2,3x( )2f x 对于任意的 ，都有 成立.( )-1f x 2,3x2( )21f xxx 若对于任意的 都有 成立， 试确定实数m、c的取值范围.2,3x( ),( )f xm f xc 3.已知函数 ，下列说法是否正确？31( )3f xxx思 考 探 究【分析】 判断两个说法是否正确的关键是什么？如何研究函数 在区间 上的特点
7、， 如何确定它在这段区间上的最值呢？( )f x0,2对于任意的 ，都有 成立.对于任意的 ，都有 成立.0,2x( )0f x 0,2x( )1f x 确定函数 在0,2上的最值.31( )3f xxx【解析】令 ，解得 ， .( )0fx11x 21x 2( )1fxx，定义域0,2，x( )fx( )f x(0,1)1(1,2)0极小值 当x变化时， ， 的变化情况如下表：( )fx( )f x022(2)3f所以， 在0,2上的最大值为 ，最小值为 .2(1)3f ( )f x因为 ， ，(0)0f2(2)3f【判断】因为 ， ，(0)0f2(2)3f对于任意的 ，都有 成立.对于任意
8、的 ，都有 成立.0,2x( )0f x 0,2x( )1f x 0y 1y 2(2)3f2(1)3f 所以， 在0,2上的最大值为 ，最小值为 .( )f x【思考】2(2)3f 在0,2上的最大值为 ，最小值为 .2(1)3f ( )f x 若对于任意的 都有 恒成立，你能确定实数m的取值范围吗？0,2x( )f xm如果将 改成 恒成立呢？( )f xm( )f xmym 在利用导数研究函数的性质时，常会遇到一些判断、证明不等式恒成立的问题，或者是已知不等式恒成立，确定参数取值范围的问题.小 结 解决这类问题的基本思路是：小 结“恒成立”问题函数的最值问题数形结合解决函数问题.例 题 一
9、 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【分析】min( )0f x( )0f x 恒成立确定a 确定 min( )f x例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【解】( )e2xf xxa，定义域 ， (,) 例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )0f x a【解】，定义域 ， (,) ( )e2xfx，( )e2xf xxa( )e2xf xxa例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )0f x a【解】，定义域 ， (,) ( )e2x
10、fx，令 ，可解得 ， ( )e20 xfxln2x ( )e2xf xxa( )e2xf xxa 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )fx( )f xx( )fx( )f x(,ln2)ln2(ln2,)0极小值 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )fx( )f xx( )fx( )f x(,ln2)ln2(ln2,)0极小值ln2min( )(ln2)e2ln222ln2.f xfaa 所以由题意： 恒成立，等价于 ， ( )0f x min( )0f x由题意： 恒成立，等价于 ， ( )0f x min( )0f x2ln22a 22ln20a，即 ， 所以由题意： 恒
11、成立，等价于 ， ( )0f x min( )0f x所以实数 的取值范围是 . a2ln22,)2ln22a 22ln20a，即 ， 所以例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x amin( )0f x( )0f x 恒成立解不等式确定a 确定 min( )f x例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a 同学们换一个角度想一想，还有其它的解法吗？【分析】例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【分析】( )0f x 恒成立2
12、exax恒成立例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【分析】( )2exh xx( )0f x 恒成立2exax恒成立例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【分析】( )0f x 恒成立2exax恒成立max( )ah x( )2exh xx例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【分析】( )0f x 恒成立2exax恒成立max( )ah x( )2exh xx即 恒成立，【解】由题意 恒成立，( )0f x 2e
13、xax令 ，则上式等价于 .( )=2exh xxmax( )ah x即 恒成立，【解】由题意 恒成立，( )0f x 2exax( )2exh x ，令 ，则上式等价于 .max( )ah x( )=2exh xx即 恒成立，【解】由题意 恒成立，( )0f x 2exax( )2exh x ，令 ，则上式等价于 .max( )ah x令 ，解得 .( )0h x ln2x ( )=2exh xx【解】 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )h xx(,ln2)ln2(ln2,)0极大值( )h x( )h x【解】 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )
14、h xx(,ln2)ln2(ln2,)0极大值( )h x( )h xmax( )(ln2)2ln22h xh 所以【解】 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )h xx(,ln2)ln2(ln2,)0极大值( )h x( )h xmax( )(ln2)2ln22h xh 所以max( )ah x 因为 因为【解】 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )h x所以实数 的取值范围是 . a2ln22,)x(,ln2)ln2(ln2,)0极大值( )h x( )h xmax( )(ln2)2ln22h xh 所以max( )ah x回 顾 反 思 已知函数 ，
15、若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a【思考】这是一个什么类型的题目？解决这类问题我们采用了怎样的方法？ 小 结题型：已知含有参数的不等式恒成立，确定参数取 值范围的问题.题型：已知含有参数的不等式恒成立，确定参数取 值范围的问题.解决问题的方法： 小 结题型：已知含有参数的不等式恒成立，确定参数取 值范围的问题. 小 结解决问题的方法： 方法1. 转化为直接确定函数的最值.题型：已知含有参数的不等式恒成立，确定参数取 值范围的问题. 恒成立( )0f x 恒成立( )0f x max( )0f x 小 结min( )0f x解决问题的方法： 方法1. 转化
16、为直接确定函数的最值. 小 结方法2. 分离参数-将要求的参变量分离出来单独 放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数， 将问题转化为新函数的最值问题.方法2. 分离参数-将要求的参变量分离出来单独 放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数， 将问题转化为新函数的最值问题.（1）分离参数后，总有 恒成立 （2）分离参数后，总有 恒成立 小 结max( )ah xmin( )ah x( )ah x( )ah x 已知函数 ，若对任意的 总有 恒成立，求实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )1f xaxa【分析】 例题二与例题一有哪些共同点，有哪些区别？ 类比例题一的解决，解决这道题可以采取什么样
17、的方法？如何操作？1,)x例 题 二 已知函数 ，若对任意的 总有 恒成立，求实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )1f xaxa【分析】思路1：1,)x例 题 二( )1f xax恒成立( )( )10h xf xax 恒成立min( )0h x令 ，即【解法1】( )1f xax等价于 在 恒成立， 在 恒成立，( )10f xax 1,)1,)( )( )1ln1h xf xaxxxax min( )0.h x令 ，即【解法1】( )1f xax等价于 在 恒成立， 在 恒成立，( )10f xax 1,)1,)( )( )1ln1h xf xaxxxax min( )0.h x
18、( )ln1h xxa 令 ，解得 .( )0h x 1eax，定义域 ，1,)当 ，即 时， ，【解法1】10a 1,)由题意 ，即 ，符合题意. 在 恒成立，1a 1e1a( )0h x min( )10h xa 1a 所以 ，所以 在 单调递增，( )h xmin( )(1)1h xha 1,)【解法1】当 ，即 时， ，10a 1a 1e1a 综上，实数 的取值范围是 . (,1a 当 变化时， ， 的变化情况如下表：xx( )h x( )h x1(1,e)a1ea1(e,)a0极小值( )h x( )h x11 a不符合题意.11min( )(e)1 e0aah xh 所以 1.关键
19、：变形转化构建函数函数最值.( )1f xax恒成立( )( )10h xf xax 恒成立min( )0h x恒成立回 顾 反 思 2.此题中涉及了对数函数、一次函数的导数以及差与乘积的导数运算. 准确确定导函数，准确进行导函数的运算也是解题的关键. 回 顾 反 思回 顾 反 思 3.利用导数确定函数的最值明确函数及其定义域确定极值确定最值求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x分类讨论 已知函数 ，若对任意的 总有 恒成立，求实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )1f xaxa【分析】 思路2：将参数a分离，得到新的目标函数， 由新函数的最值确定实数a的取值
20、范围.1,)x例 题 二 已知函数 ，若对任意的 总有 恒成立，求实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )1f xaxa【分析】1,)x例 题 二如何将参数a分离出来？新的函数是什么？如何确定它的最值？( )lnf xxx( )1f xax【分析】( )lnf xxx( )1f xax【分析】ln1xxax( )lnf xxx( )1f xax【分析】ln1xxaxln1axxx( )lnf xxx( )1f xax【分析】1,)xln1xxaxln1axxxln1xxax( )lnf xxx( )1f xax【分析】1,)xln1xxaxln1axxxln1xxax1lnaxxmin(
21、 )ax1( )lnxxx则 ，令 ， ，( )1f xax等价于 在 恒成立， 在 恒成立，ln1axxx1,)1,)1( )lnxxxmin( )ax1,)x故上式等价于 在 恒成立， 1x 1lnaxx1,)因为 ，【解法2】又 ，22111( )xxxxx1,)x时， ，( )0 x所以实数 的取值范围是 . (,1a所以 ，min( )(1)1x所以 在 单调递增，1,)( ) x ，min( )ax因为 【解法2】例 题 一 已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa( )0f x a 已知函数 ，若对任意的 总有 恒成立，求实数 的取值范围. ( )ln
22、f xxx( )1f xaxa1,)x例 题 二回 顾 反 思 （1）直接构造函数，确定函数最值. （2）分离参数，构造新函数，确定新函数最值. u 解决“由不等式恒成立确定参数范围的问题”的方法：“恒成立”问题函数的最值问题变 式 思 考变式1：已知函数 ， 若在区间 上，函数 的图象总在函数 图 象的上方，试确定实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )f xa1,)( )1g xax( )g x变 式 思 考变式1：已知函数 ， 若在区间 上，函数 的图象总在函数 图 象的上方，试确定实数 的取值范围. ( )lnf xxx( )f xa1,)( )1g xax( )g x问题等价于
23、 “对于任意的 ， 恒成立”，1,)x( )( )f xg x即“对于任意的 ， 恒成立”.ln1xxax1,)x变 式 思 考变式2：已知函数 在 上单 调递增，试确定实数 的取值范围. (,) 2( )exf xxaxa变 式 思 考变式2：已知函数 在 上单 调递增，试确定实数 的取值范围. 2( )exf xxax问题可以转化为： “对于任意的 R ， 恒成立”，( )0fx 需要验证参数取“=”时 是否满足题意.( )f xx即“对于任意的 R， 恒成立”.xe20 xxa(,) a课 堂 小 结1.本节课我们主要解决了什么样的问题？2.解决此类问题的方法是什么？关键是什么？3.在解
24、决问题过程中，运用了哪些数学的思想 和方法？课 堂 小 结恒成立 问 题 课 堂 小 结函数有关问题恒成立 问 题 课 堂 小 结直接构造函数分离变量构造函数函数有关问题恒成立 问 题 课 堂 小 结直接构造函数分离变量构造函数函数最值函数有关问题恒成立 问 题 课 堂 小 结恒成立 问 题 直接构造函数分离变量构造函数函数最值导数函数有关问题课 堂 小 结u在解决问题过程中：知识是基础，思想是灵魂， 方法是关键. 从特殊到一般，从一般到特殊，转化与化归， 数形结合、分类讨论课 堂 小 结u重视一题多解，体会不同解法的特点，积累解题经验，提高方法识别与选择的能力.课 堂 作 业 1.已知函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxmx( )0f x m(0,3)x 2.已知函数 的图象始终在函数 图象的上方，求实数 的取值范围. ( )exf x ( )g xxaa
