1、函数的单调性与导数北京市朝阳外国语学校1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 （ 为常数），则 . ( )f xcc( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 （ 为常数），则 . ( )f xcc( )_fx 01.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 （ 为常数），则 . ( )f xcc( )_fx 0若 （ ），则 . ( )f xx*Q( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 （ 为常数），则 . ( )f xcc( )_fx 0若 （ ），则 . ( )f xx*Q( )_fx1x1.请同学们根据基本初
2、等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )sinf xx( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )sinf xx( )_fx cosx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )sinf xx( )_fx cosx若 ，则 . ( )cosf xx( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )sinf xx( )_fx cosx若 ，则 . ( )cosf xx( )_fxsin x1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )xf xa( )_fx若
3、，则 . ( )exf x ( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )xf xa( )_fxlnxaa若 ，则 . ( )exf x ( )_fxex1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )logaf xx( )_fx若 ，则 . ( )lnf xx( )_fx1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空. 复习回顾若 ，则 . ( )logaf xx( )_fx1lnxa若 ，则 . ( )lnf xx( )_fx1x2.请同学们根据导数的运算法则填空. 复习回顾 . ( )( )_f xg x . ( )( )_f xg
4、 x .( )_ ( ( )0)( )f xg xg x2.请同学们根据导数的运算法则填空. 复习回顾 . ( )( )_f xg x ( )( )fxg x . ( )( )_f xg x .( )_ ( ( )0)( )f xg xg x2.请同学们根据导数的运算法则填空. 复习回顾 . ( )( )_f xg x ( )( )fxg x . ( )( )_f xg x ( ) ( )( )( )fx g xf x g x .( )_ ( ( )0)( )f xg xg x2.请同学们根据导数的运算法则填空. 复习回顾 .( )_ ( ( )0)( )f xg xg x2( ) ( )(
5、)( ) ( )fx g xf x g xg x情景引入2( )4.96.510h ttt ( )( )9.86.5v th tt 高台跳水 探究新知-观察2( )4.96.510h ttt ( )( )9.86.5v th tt 观察 与 的单调性有什么联系？( )v t( )h t探究新知-观察 时， ， 单调递增；( )0v t (0, )ta( )h t 时， ， 单调递减.( )0v t ( , )ta b( )h t由此，你能猜想函数的单调性和导数有什么样的关系吗？探究新知-猜想 猜想：在某区间 内，如果 ，那么 在此区间内单调递增；( , )a b( )0fx( )f x 在某区
6、间 内，如果 ，那么 在此区间内单调递减.( , )a b( )0fx( )f x探究新知-操作确认在区间 内， ， 单调递增.(,) ( )0fx( )f x探究新知-操作确认在区间 内， ， 单调递减；(,0)( )0fx( )f x在区间 内， ， 单调递增.(0,)( )0fx( )f x探究新知-操作确认在区间 内， ， 单调递增；(,0)( )0fx( )f x在区间 内， ， 单调递增.(0,)( )0fx( )f x探究新知-操作确认在区间 内， ， 单调递减；(,0)( )0fx( )f x在区间 内， ， 单调递减.(0,)( )0fx( )f x探究新知-操作确认 结论：
7、在某区间 内，如果 ，那么 在此区间内单调递增；( , )a b( )0fx( )f x 在某区间 内，如果 ，那么 在此区间内单调递减.( , )a b( )0fx( )f x探究新知-解释说明 思考：为什么函数的单调性和导数之间会有这样的关系 呢？探究新知-解释说明思考：为什么函数的单调性和导数之间会有这样的关系呢？探究新知-解释说明思考：为什么函数的单调性和导数之间会有这样的关系呢？探究新知-解释说明函数 在区间 内单调递增：对任意的( )f x( , )a b12,( , )x xa b若 ，则 .12xx12()()f xf x探究新知-解释说明函数 在区间 内单调递增：对任意的(
8、)f x( , )a b12,( , )x xa b若 ，则 .12xx12()()f xf x1212()()0f xf xxx探究新知-解释说明1212()()0f xf xxx0()0fx方法小结方法小结思考思考1：函数 在区间 内满足 恒成立，那么 有什么特性呢？( )f x( , )a b( )0fx( )f x思考思考1：函数 在区间 内满足 恒成立，那么 有什么特性呢？( )f x( , )a b( )0fx( )f x此时函数 是常值函数.( )f x思考思考2：函数 在区间 内满足 恒成立，能否得到 在此区间内单调递增？( )f x( , )a b( )0fx( )f x思考
9、思考2：函数 在区间 内满足 恒成立，能否得到 在此区间内单调递增？( )f x( , )a b( )0fx( )f x不一定，常值函数就是反例.思考思考3：函数 在区间 内单调递增，能否得到 在此区间内恒成立呢？( )f x( , )a b( )0fx思考思考3：函数 在区间 内单调递增，能否得到 在此区间内恒成立呢？( )f x( , )a b( )0fx不能.当 时， ； 例1 已知导函数 的下列信息： 学以致用14x( )fx( )0fx当 或 时， ； 4x ( )0fx1x 当 或 时， . 4x ( )0fx1x 试画出 图象的大致形状. ( )f x学以致用【分析】 时， ，
10、单调递增； (1,4)x( )0fx( )f x 时， ， 单调递减； (,1)x ( )0fx( )f x 时， ， 单调递减. (4,)x( )0fx( )f x学以致用学以致用例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数 的单调区间.3( )3f xxx学以致用例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数 的单调区间.3( )3f xxx【分析】学以致用例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数 的单调区间.2( )33fxx3( )3f xxx解：求导得 .因为 在 上恒成立，( )0fxR( )f xR所以 在 上单调递增.学以致用例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数 的单调区间.
11、2( )33fxx3( )3f xxx解：求导得 .因为 在 上恒成立，( )0fxR( )f xR所以 在 上单调递增.【反思】同学们还有其它方法吗？ 学以致用例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数 的单调区间.3( )3f xxx学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x【分析】我们研究函数的单调性有哪些方法？ 学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x【分析】还能观察出函数的单调性吗？ 学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f
12、 xxx x【分析】利用单调性的定义能够解决本题吗？ 学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x任取 且 ，12,(0, )x x 12xx那么 12()()f xf x1122sinsin.xxxx【分析】利用单调性的定义能够解决本题吗？ 学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x【分析】利用导数能解决本题吗? 学以致用例3 求函数 的单调区间. ( )sin,(0, )f xxx x【分析】利用导数能解决本题吗? 例3 求函数 的单调区间. 所以 在 上单调递减.解：求导得 .学以致用( )cos1fxx( )sin,(0,
13、)f xxx x因为 在 上恒成立，( )0fx(0, )( )f x(0, )例3 求函数 的单调区间. 所以 在 上单调递减.解：求导得 .学以致用( )cos1fxx( )sin,(0, )f xxx x因为 在 上恒成立，( )0fx(0, )( )f x(0, )【反思】通过本题，你有什么体会？学以致用练习 求函数 的单调区间.32( )23241f xxxx【分析】你准备采用什么方法？学以致用练习 求函数 的单调区间.32( )23241f xxxx练习 求函数 的单调区间. 解：求导得 .学以致用22( )66246(4)fxxxxx32( )23241f xxxx由 ，得 或
14、. ( )0fx1172x 1172x 由 ，得 . ( )0fx11711722x 所以 的单调递增区间是 32( )23241f xxxx117(,)2 和 ； 117(,)2 单调递减区间是 . 117117(,)22 【反思】能否说 在 ( )f x117117(,)(,)22 单调递增？ 函数 的图象如下： 32( )23241f xxxx虽然 ， 12xx但是 . 12()()f xf x11( ,()xf x22(,()xf x请同学们概括一下利用导数研究函数的单调性的步骤.方法小结利用导数研究函数的单调性的步骤： 方法小结当 时，即_时，函数_; ( )_,_.fxx( )0f
15、x当 时，即_时，函数_. ( )0fx所以 的单调递增区间是_;递减区间是_. ( )f x求导，求定义域 研究导 函数符号 回答原函数单调性 中，请分别找出各容器对应的水的高度 与时间 的 学以致用例4 水以恒定的速度注入下面四种底面积相同的容器 ht函数关系图象. 中，请分别找出各容器对应的水的高度 与时间 的 学以致用例4 水以恒定的速度注入下面四种底面积相同的容器 ht函数关系图象. 【分析】单位时间注入水的体积相同，因此高度变化和横截面面积大小有关. 学以致用学以致用学以致用学以致用【反思】通过例4我们发现，增减有快慢之分，图象有陡缓之别，那么这跟导数又有什么关系呢？同学们能设计方
16、案来探究一下吗？ 【反思】例4我们发现，增减有快慢之分，图象有陡缓之别，那么这跟导数又有什么关系呢？同学们能设计方案来探究一下吗？ 观察-归纳-猜想观察在原函数图象比较陡峭（平缓）的地方，导函数有什么特点？ 观察-归纳-猜想观察在原函数图象比较陡峭（平缓）的地方，导函数有什么特点？ 观察-归纳-猜想观察在原函数图象比较陡峭（平缓）的地方，导函数有什么特点？ 观察-归纳-猜想观察-归纳-猜想函数在某范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，函数的图象比较陡峭 1.本节课你学到了什么知识？ 2.你是如何获得这些知识的？ 3.你有什么体会？ () () 1.研究下列函数的单调性，并求出单调区间. ( )exf xx32( )f xxxx2.函数 图象如图所示，试画出其导函数 的图象. ( )f x( )fx
