1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2021-2022 年度高三学年上学期第一次月考年度高三学年上学期第一次月考 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 考试时间：120 分钟满分：150 分 一一.选择题（本题共选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1.已知全集N 16Uxx ，集合1,2,3,5A，3,4,5B ，则 U AB （） A1,6B2,6 C1,2D1,2,6 2.已知向量 1 (2,0),(1), 2 ，ab则 ba2（） A3
2、B 5C2 3D5 3.若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2（） A. 64 25 B. 48 25 C. 1D. 16 25 4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问 各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之 和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位） ，这 个问题中戊所得为（） A 4 5 钱B 3 4 钱C 3 5 钱D 2 3 钱 5.若数列 n a的通项公式为221 n n an，则数列 n a的前n项和为（） A.
3、2 21 n nB. 12 21 n n C. 12 22 n n D. 2 22 n n 6.已知菱形 ABCD 的边长为 4，点 M 是线段 CD 的中点， 2BNNC ，则 ()ANBMBN =（） A 40 9 B 40 9 C 20 9 D 20 9 7.已知 34 ,cos,cos,4 55 ABCABBC, 则ABC的面积为（） A5B6C10D12 8.如图是函数 f(x)Acos(x)(A0，0，| 2 )的部分图象，则 f( 4 )（） A3B1C1 D3 9.将函数 2sin 4 f xx 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向右平移 0 个单位
4、后得到的图象关于直线 2 x 对称，则的最小值是（） A. 4 B. 6 C. 3 4 D. 3 8 10.函数 | | ( )sin x f xex的部分图象大致为（） AB CD 11.已知数列 n a 的前 n 项和 1 22 n n S ，若 * n N， 2 4 nn aS 恒成立，则实数的最大值是（） A3B4C5D6 12.已知函数 1 ln,0 ,0 x xx fx xex ，若关于x的方程 22 ( )( )0fxaf xaa有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（） A(0,1B, 11, C(, 1)1 D 1,01 二填空题二填空题： （本题共（本题共 4 小题，每小题
5、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知奇函数 ( )f x满足(2)( )f xf x ，且当(0,1)x时， 2 ( )logf xx ，则 7 2 f 的值为. 14.已知 1 sincos 2 ，0,，则cos2的值为. 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 15.递增的等比数列 n a的每一项都是正数，设其前n项的和为 n S，若 24 30,aa 15 81,a a 则 6 S . 16.已知SAB是边长为 2 的等边三角形，45ACB ，当三棱锥SABC体积最大时，其外接球的表面 积为_ 三解答题三解答题： （本题共（本题共 6 小题，共小
6、题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 已知向量m()1- ,cos=x，nxx 2 cos,sin3，Rx，设=)(xf 2 1 +nm （）若0, 2 x ，求函数 ( )f x的最大值和最小值； （）若 5 , 66 ，且 4 ( ) 5 f ，求cos2的值. 18.（本题满分 12 分） 数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1 21 nn aS ，等差数列 n b的公差大于 0.已知 22 1Sb，且 125 ,b b b 成等比数列. （）求数列 n a 的通项公式； （）求
7、数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T. 19.（本题满分 12 分） 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2coscos0bcAaC （）求角 A 的大小； （）若ABC的面积为3 3，求ABC外接圆面积的最小值 20.（本题满分 12 分） 已知数列 n a ， * 0, nn bbnN ，满足 11 2ab ， 1 1 2 nn n nn ab b ab . （）令 n n n a c b ，证明：数列 n c 为等差数列，并求数列 n c 的通项公式； （）若 1 3 n n b ，证明： 123 3 2 n aaaa. 21.（本题满分 12 分） 已知
8、 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左，右焦点， 12 6FF ，当P在E上且 1 PF垂直x轴时， 21 7PFPF . （）求E的标准方程； （）A 为E的左顶点，B为E的上顶点，M是E上第四象限内一点，AM与y轴交于点C，BM与x轴 交于点D. 求证：四边形ABDC的面积是定值. 22.（本题满分 12 分） 已知 2 1 23ln 2 fxxxx， 32 1 ln 6 g xxxax. （）求 fx在 1,1f 处的切线方程； （）若不等式 ( )26xfxgxf xxa 对任意1x 成立，求a的最大整数解； （） 3 1 ( ) 6 F xg xx
9、的两个零点为 1212 ,()x xxx ，且 0 x为 F x的唯一极值点，求证： 120 34xxx . 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2021-2022 年度高三学年上学期第一次月考年度高三学年上学期第一次月考 数学答案（理科）数学答案（理科） 一一选择题选择题 16CBADCA712BADACA 二填空题二填空题 13.114. 7 4 15.36416. 28 3 三解答题三解答题： （本题共（本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17解： （）因为向量 2 (cos
10、 , 1),( 3sin ,cos)mxnxx ， 则函数 2 1131cos21 ( )3sincoscossin2 22222 x f xm nxxxx 31 sin2cos2sin(2) 226 xxx ， 若0, 2 x ，则 5 2, 666 x ， 所以当2 66 x ，即0 x 时， 1 ( ) 2 min f x ； 当2 26 x ，即 3 x 时， max ( )1f x. （）由 4 ( ) 5 f ，得 4 sin(2) 65 ， 因为 5 , 66 ，则 3 2, 662 ，又 4 sin(2)0 65 ， 所以 3 2, 62 ， 则 2 3 cos(2)1sin
11、(2) 665 ， 所以cos2 cos(2) 66 43 3 cos(2)cossin(2)sin 666610 . 18解： （）因为 1 21 nn aS ，所以 1 21(2) nn aSn ， 所以 11 (21)(21)2 nnnnn aaSSa ， 即 1 3(2) nn aa n ， 当1n 时， 21 213aS ，所以 21 3aa， 所以 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 1 3 n n a. （）设 n b公差为d，由 22 1Sb，得 2 3b ， 因为 125 ,b b b成等比数列， 所以 2 21 5 bbb，即(3)(33 )9dd， 解得
12、2d 或 0d （舍去） ， 所以 1 1b ， 所以21 n bn. 所以 1 11 (21)(21) nn b bnn ， 因为 1111 () (21)(21)2 2121nnnn ， 所以 111111 (1)()() 23352121 n T nn ， 11 (1) 22121 n nn . 19解： （）因为 2coscos0bcAaC ， 所以2sincossincoscossin0BACACA， 所以2sincossin0BAAC，即2sincossin0BAB 因为0B，所以sin0B ，所以 1 cos 2 A 因为0A，所以 3 A （）由（）可知 3 A ，则 3 si
13、n 2 A 因为ABC的面积为3 3，所以 13 sin3 3 24 bcAbc，所以12bc 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 由余弦定理可得 22222 2cos12abcbcAbcbcbc，则2 3a 设ABC外接圆的半径为 r，则 2 3 24 sin3 2 a r A ，即2r ， 故ABC外接圆的面积 2 4Sr，当且仅当2 3bc时，等号成立 即当2 3bc时，ABC外接圆面积的最小值为4 20解： （） 1 1 2 nn n nn ab b ab Q ， 111 2 nnnnnn ababbb ， 又 0 n b ，两边同除以 1nn bb ，可得 1
14、 1 2 nn nn aa bb ，即 1 2 nn cc ， 所以 n c 是公差为 2 的等差数列. 又 1 1 1 2 a c b ，所以22(1)2 n nnc . （）由（）得 2 n n a n b ， 21 22 33 n nn n n anbn ， 则 2 111 242 333 n n Sn ， 231 11111 242(1)2 33333 nn n Snn ， 由，得 21 21111 2222 33333 nn n Sn 1 21 1 33 1 2 1 3 1 3 n n n 1 11 12 33 nn n 1 23 1 3n n ， 323 22 3 n n n S
15、. 又 * nN， 23 0 2 3n n ， 3 2 n S， 即 12 3 2 n aaa. 21解： （）由题意知 2 1 b PF a ， 21 2PFPFa， 21 7PFPF，则 1 82PFa ， 得2ab，又3c ， 222 abc，解得22 3ab， 所以E的标准方程是 22 1 123 xy . （）由题意知 2 3,0A ， 0, 3B ，设 ,M m n，0,Ct，,0D s ， 因为A，C，M三点共线，则AC AM ，解得 2 3 2 3 n t m ， B，D，M三点共线，则BDBM ，解得 3 3 m s n ， 2 3ADs，3BCt， 22 1 123 mn
16、， 3126 32 366 32 332 3 mnmn ADBCstst nmnm 6 312 336 2 33 mn mn 62 33 6 612 32 332 3 mn mn nmnm . 1 6 2 ABDC SADBC. 22解： （） 2 1 23ln 2 f xxxxQ所以定义域为0,， ( ) 3 2fxx x ，(1)4 f ， 3 (1) 2 f ， 所以切线方程为8 250 xy ； （） 26xfxgxfxxa 等价于 3 (ln) 1 xxx a x ， 2 3(2ln ) ( ) (1) xx h x x ，记 ( )2lnm xxx， 1 ( )10m x x ，
17、所以 m x为(1, )上的递增函数，且(3)1 ln30m ， (4)2ln40m， 所以 0 (3,4)x，使得 0 0m x，即 00 2ln0 xx， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 所以 h x在 0 1,x 上递减，在 0, x 上递增，且 000 min00 0 3(ln ( )3 1 )xxx h xhxx x ， 1010 ()43ln0 33 m 0 10 (3,) 3 x， 000 min00 0 3(ln ( )3 ) 9,10 1 xxx h xhxx x 所以a的最大整数解为9； （）证明： 2 ( )lnF xxax， ( 2)( 2)
18、 ( )20 axaxa F xx xx 得 0 2 a x ， 当 0, 2 a x ， ( )0F x ； , 2 a x ，( )0F x ； 所以 ( )F x在0, 2 a 上单调递减， , 2 a 上单调递增，而要使 F x有两个零点，要满足 0 0F x， 即 2 ln02 222 aaa Faae ； 因为 1 0 2 a x， 2 2 a x ，令 2 1 x t x (1)t ，由 12 g xg x ， 22 1122 lnlnxaxxax，即 222 1111 lnlnxaxt xatx， 2 1 2 ln 1 at x t ， 而要证 120 34xxx ， 只需证 1 (31)2 2txa，即证 22 1 (31)8txa，即证 2 2 ln (31)8 1 at ta t ， 由0a ，1t 只需证 22 (31) ln880ttt， 令 22 ( )(31) ln88h tttt，则 1 ( )(186)ln76h tttt t ， 令 1 ( )(186)ln76n tttt t ，则 2 61 ( )18ln110 t n tt t (1)t ， 故 n t在(1, )上递增，( )(1)0n tn ， 故 h t在(1, )上递增，( )(1)0h th ， 120 34xxx
