1、二项式定理（一二项式定理（一） 教学设计教学设计 贵州省高中数学李时建名师工作室贵州省高中数学李时建名师工作室吴作印吴作印 一、教学设计一、教学设计 1. 教学内容解析教学内容解析 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习后 一章“随机变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括：二项式 定理的推导，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学 习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、 证恒等式、近似计算等方面形成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运 用；二项式定理的证明是一个教学难点这是因为，证明中符号比较抽
2、象、需要 恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学计数原 理的巩固，也是对之后随机变量及其分布（特别是超几何分布）作铺垫。而在高 等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，可以得到优美 的 n n n ) 1 1 (lim =e2.718281 2.学生学情分析学生学情分析 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续， 它所研究的是一类特殊的多项 式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要 方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的 展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方
3、 面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练， 特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学 生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决 n ba)( 展开式采用的是的不完全归 纳法(猜想)， 与初中学习的多项式的展开结合起来， 从)(ba 、 2 )(ba 、 3 )(ba 、 4 )(ba 的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生 体会从一般到特殊的数学思想方法。 然而，n无穷大时， 能保证展开式恒成立吗？ 3教学策略分析教学策略分析 考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理 的推导过程（生长性）；二是
4、基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、 二项式系数、通项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想证 明归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维 水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先让学生计算 2 ()?ab 3 ()?ab 4 ()?ab 在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的 方法解决该问题。采用了数学探究式教学模式组织教学，在解决简单具体问 题的基础上，抽象出解决一般问题的方法，让学生亲身经历“提出问题解 决问题总结规律” ，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和 习惯。更是设置“问题串” ，促进学生深层次思考。 在教学过程中，设置“创设问
5、题情境创设问题情境，因疑惑而激趣因疑惑而激趣亲身体验亲身体验，探索新探索新 知知合作合作探究探究，总结，总结规律规律典型例题分析典型例题分析强化训练，巩固提升强化训练，巩固提升”让学 生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析概括的能力，以及化归意识。 教学中教师充分发挥主导作用，营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围， 充分调动学生学习的积极性，以数学问题情境为立足点，为学生自主探索、合作 交流提供足够的时间和空间，放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经 验的基础上主动建构。并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好 数学的信心，践行贵州师范大学吕传汉教授“教思考，教体验，教表
6、达”的理念。 4教学目标设置教学目标设置 知识与技能：知识与技能： (1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理； (2)能利用通项公式求某一项的系数。 过程与方法：过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概 括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思 维方式。 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历 程，体会数学语言的简洁和严谨。 教学重点：教学重点：用计数原理分析 2 )(ba 、 3 )(ba 的展开式，推导二项式定理； 教学难点教学难点： 利用计数原理分析二
7、项式的展开过程， 发现二项式形成单项式之 和时各项系数的规律。 二、教学过程二、教学过程 1.1.创设问题情境，因疑惑而激趣创设问题情境，因疑惑而激趣 教师：请同学们计算下面两个题： 2 ()?ab 3 ()?ab 【教师巡视 2 分钟，学生用初中多项式的乘法展开 222 ()2abaabb ， = 3222 ()()()()(2)abab abab aabb 】 教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个： 4 ()?ab 【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，大部分学生停下演 算静静的思考】 【说明：学生【说明：学生(1,2,3.)i i 表示预设学生可能回答或提出的问题】表
8、示预设学生可能回答或提出的问题】 学生 1： 4 ()ab 就是 4 个()ab 相乘， 计算有点麻烦， 要算到什么时候去哦！ 学生 2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。 学生 3：就像数列的通项公式吗？ 教师：你能猜想 2016 ()ab 的展开式是什么吗？ 【设计意图设计意图： 鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始， 也许学生的 猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢 发芽】 教师：同学们，你们现在的困惑，就是牛顿当年的困惑 那是 1664 年冬，22 岁的牛顿在研读沃利斯博士的无穷算术时，引发了 许多思考 2 ()?ab 3 ()?ab 4
9、 ()?ab 都可以用初中多项式的乘法 展开，如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？ 学生 4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。 学生 5：一般情形下，当nN 时， ()nab等于多少？ 教师：同学们很聪明啊，和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么，研究规律的 最终目的是想得到什么结论？今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他 探究、发现二项式定理的过程。 教师板书：二项式定理：二项式定理：()? n ab 【设计意图设计意图】 从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考 解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是 调动学生学习新知识的积极
10、性。 数学不是冰冷的美丽， 她是来自现实的火热思考。 问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。 （点评：点评：与数学史情境有机结合，把学生带入本课时学习主题。 ） 2.亲身体验亲身体验，探索新知探索新知 教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？ 学生 6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到 这种一般情况。 学生 7：好像每一项都有,a b，只是系数不同。 学生 8：不对！有一项只有a，有一项只有b。 教师： “从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！ （预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当预设：学生应该能观察
11、出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当 点拨点拨。 ） 教师：记得刚才有同学说， 4 ()ab 就是四个()ab 相乘，刚才求得的展开 式是这样的： 4 ()ab ()()()()ab ab ab ab 432 234 464aa ba babb 。 请思考问题：展开式中各种类型的项是如何得到的？ 展开式中各项的系数是如何确定的？ （点评：点评：具有导向性的问题能指引学生明确研究方向，教师做到了适时点拨） 学生 9：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法；第二步，第 二次取有两种不同的方法，共四步，共有 4 216项。 学生 10：但是展开式只有 5 项哦，合并同类项了！ 【设计意
12、图设计意图】考虑到所任教的学生是贵州省一类示范高中的实验班，基础较 扎实，所以直接用课本 30 页的探究作为该节课探究载体。教师确定研究方向后 让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明 显的指向性，预设能够让学生回忆计数原理。若学生遇到困难，教师可以回到 2 ()ab 展开式进行点拨。 【预设【预设学生遇到困难学生遇到困难，教师提示教师提示】 )()( 2 bababa是 2 个)(ba 相乘， 根据多项式乘法法则， 每个)(ba 再相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个)(ba 中的a或b都选定后，才能 得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，
13、 2 )(ba 的展 开式有 4 项，而且每一项都是)2 , 1 , 0( 2 kba kk 的形式。 每个都不取b的情况有 1 种，即 0 2 C,即 2 a前的系数为 0 2 C； 恰有 1 个取b的情况有 2 种，即 1 2 C，即ab前的系数为 1 2 C； 恰有 2 个取b的情况有 1 种，即 2 2 C，即 2 b前的系数为 2 2 C； 因此， 22 2 1 2 20 2 222 2)()(bCabCaCbababababa 【设计意图设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项 及其各项系数的由来； 引导学生用计数原理进行再思考， 分析各项以及项的个数， 这
14、也为推导 n ba)( 的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法” 。 学生： 教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则， 4 ()ab 展开式的 每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。 我们分析的结论是有五 种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到 4 a；第二类：三个括号都取 a，一个括号取b得到 3 a b；第三类，第四类 教师：A 同学，你具体分析 3 a b有哪几种情形可以得到？它的系数 4 又是如 何确定的？ 学生 A： 3 a b是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的， 共有四种取法，所以系数为 4。 教师：A 同学回答得很好，观察得很仔
15、细，很好地回答了问题，请坐！ 教师：接下来我们一起看其他情形。 （教师多媒体动画演示）（教师多媒体动画演示） 【设计意图设计意图】由比课本例题稍微难一点的具体问题启发学生再思考，目的是 让学生找到二项式展开式的各项及其各项的系数， 对于学生的发现及时给予充分 的表扬和鼓励。这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘 法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程。 （点评点评：教师教师动画演示，加深学生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究作 铺垫。 ） 预设预设：若学生还是观察不出其规律若学生还是观察不出其规律，采取如下方式采取如下方式。可以为归纳二项式定理可以为归纳二项式定理 的
16、通项公式作铺垫。的通项公式作铺垫。 说明说明：教师分析 2 ()ab 展开式 每一项特征， 并师生共同归纳出 其表达式； 3 ()ab ， 4 ()ab 由 学生独立思考并展示。 3.合作合作探究探究，总结，总结规律规律 教师：接下来我们要牛顿一样的思考！ 问题问题：一般情形下，当nN 时， ()nab等于多少？ 【说明】说明】将学生分成 9 组，每组 7 人，2 人负责展开式书写并证明；2 人负 责归纳展开式的特征；3 人负责展开式的记录、展示。目的是这样分层提高了学 生学习的积极性。学生小组讨论，归纳并总结。时间是 8 分钟。 【多媒体展示】【多媒体展示】 nn n rrnr n n n
17、n n n bCbaCbaCaCba 110 )( （1） 共有1n项； （2） 二项式系数： 0 n C、 1 n C、 2 n C、 、 k n C、 、 n n C ； （3） 通项： rrnr nr baCT 1 （4） 注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。 【设计意图设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教 师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深 对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中， 充分感受到成功的情感体验， 做到吕传汉教授提出的 “教思考、 教体验、 教表达” 。 【问题问题】各二项
18、式系数之和是多少？即? 10 n n r nnn CCCC 【教师点拨】【教师点拨】 （1）将二项式定理左边a、b都赋值为 1，得 nn n r nnn CCCC2 10 ； （2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项a、b的一切取值都成立， 因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。 在 二 项 式 定 理 中 令xb ， 那 么 二 项 式 定 理 变 成 一 个 关 于x的 函 数 n n n xaxaxaaxaxf 2 210 )()(。所有各项系数和就是) 1 (f。 【设计意图设计意图】适当拔高，给学生提供思考的空间，好的数学问题能点燃学生 的激情，好奇
19、心总能激发学生有效参与课堂学习。 4 4. .典型例题分析典型例题分析 例例 1： 6 1 (2)x x 求的展开式. 【要求】【要求】学生 4 分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果； 预设：学生可能出现的两种解法：预设：学生可能出现的两种解法：方法一：直接展开；方法二：先化简 后展开。重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算 难度。 【追问】【追问】例题中的第二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多 少？ （点评点评：方法的优化有助于解决问题的方法的优化有助于解决问题的“精精、准准、简简” ，不断的追问强化不断的追问强化 了学生对容易混淆知识点理解）了学生对容易混
20、淆知识点理解） 5 5. .强化训练，巩固提升强化训练，巩固提升 A 组组 基础题基础题 （1）求 7 )(qp 的展开式； （2）求 7 )21 (x的展开式的第 4 项的系数； （3）求 9 ) 1 ( x x 的展开式中 3 x的系数； （4）求 73 )2(xx 的展开式的第四项的二项式系数； 【设计意图设计意图】设置题目由浅入深，面向全体学生，巩固新知，把课本例题 2 安排在训练题组中。 B 组组提升题提升题 （1）若 9 () a x x 的展开式中 3 x的系数是84，则a （ 2 ） 求(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的 展 开 式 中 含 x4项 的 系 数 为. 【
21、设计意图【设计意图】设置问题在学生最近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运 用，对所学新知识点有效提升。 三、归纳总结三、归纳总结 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）你掌握了哪些学习数学方法？ 【设计意图设计意图】师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发 表自己的意见。学生自己总结，对知识点进行梳理，加深理解。 四、作业布置四、作业布置 37 P习题A组第 2 题（2） ；第 4 题（2） （3） ；第 5 题。 五、教学反思五、教学反思 1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣创设问题情境，因疑惑而激趣亲身体验亲身体验，探索探索 新知新知合作合作探究探究
22、，总结，总结规律规律典型例题分析典型例题分析强化训练，巩固提升强化训练，巩固提升”五个环节 层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通 过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。 2、以以“问题问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置 问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线 组织教学活动， 引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。 教学实验表明， 学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个 问题 2 ()?ab ， 3 ()?ab 开始，接着在
23、 4 ()?ab ， 2016 ()?ab ，乃至 ()? n ab 的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题展开式 中各种类型的项是如何得到的？展开式中各项的系数是如何确定的？引领学 生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提 出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭示问题的数学 实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。 3、让课堂让课堂“动起来，静下去动起来，静下去” ， 使得学生获得能力提升使得学生获得能力提升。 心理学家皮亚杰强调“认识起因于主各体之间的相互作用” ，只有客体的形 式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建 构，也就是学生获得真正的理解。本节课遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和 “教、学、研互相促进的规律” ，教学中追求简易，重视直观，注重推理能力的 训练， 尽量创造学习环境， 让学生学得生动主动， 充分发挥其课堂上的主体作用。
