1、高一数学高一数学 数列数列 教学设计教学设计 第三章第三章数列（第一课时）数列（第一课时） 人教版全日制普通高中教科书（必修）数学第一册人教版全日制普通高中教科书（必修）数学第一册 贵州省贵阳市第五中学贵州省贵阳市第五中学宋薇宋薇 教学目标教学目标 【探究性学习目标】【探究性学习目标】 探究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些 日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。 目的在于培养学生的创新精神和 创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发 生发展过程。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成， 教师不可代替，但作为组织者
2、，可提供必要指导。 【学科知识目标】【学科知识目标】 通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写 出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公 式。进一步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想形成知识网络，培 养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。加强知识间的鉴别与联系。 【能力目标】【能力目标】 在解决问题的过程中，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重 点培养创新能力和实践能力。 【德育目标】【德育目标】 通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性增强爱国 情感、环保意识，激发学生为国富民强而勤奋学习的精神。 【情感目
3、标】【情感目标】 通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯 及合作化学习的团队精神。 【美育目标美育目标】 数学的抽象美在“数列”上表现得淋漓尽致。 【探究方法】【探究方法】 观察发现，寻找规律。找序号与项的关系，得出通项公式 【组织形式】【组织形式】 小组合作，集体讨论。 【教学方法】【教学方法】 首先由一个传说故事及一些生活中的例子，引导学生认真观察各数列的特 点， 激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生得出有关数列的基本知识 （探究的基础）及引导学生发现序号与项的关系的规律（探究的策略） ，逐渐发 现其规律，进而抽象、归纳其通项公式。让学生对数列学习进行初
4、步的研究尝试 活动，让学生充分展开思维进入研究状态。 【特点分析】【特点分析】 教师主导启发，学生主体参与。 例子的多样性、观察的开放性给学生的探究提供了一定的创新空间。 【多媒体演示】【多媒体演示】 黑板与多媒体的有机整合展示，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大 的创新空间。 【教学重点】【教学重点】 发现规律，观察、归纳出一般结论，且会灵活运用。 1理解数列概念； 2用通项公式写出数列的任意一项，会求简单数列的通项公式。 【教学难点】【教学难点】 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式的能力（即是数学个性思 维品质的综合素质的体现） 【教学手段】【教学手段】 计算机与数学的有机整
5、合 【课时安排】【课时安排】 一课时 【授课时间】【授课时间】 四十分钟 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 引入课题引入课题 什么是数列？ 由一个古印度由一个古印度 传说故事传说故事 棋盘棋盘 上的麦粒上的麦粒 让学让学 生认识学习数生认识学习数 列的作用列的作用， 增强增强 学习的兴趣学习的兴趣 学生通过倾听 这个故事来认 识数列 1、创设学习情 境 2、激发学生学 习的兴趣 讲授新课讲授新课 展示生活中的实例展示生活中的实例 先由杜甫的诗先由杜甫的诗 绝句绝句 引出课引出课 题题， 每一句都与每一句都与 数有关系数有关系。 再由再由 一些生活中的一些生活中的
6、 例子进一步探例子进一步探 索数列的定义索数列的定义 及其蕴含的数及其蕴含的数 量关系。量关系。 思考每一个例 子排列的结果 （1）培养发现 问题、分析问 题、 解决问题的 能力 （2）这些例子 增强民族自豪 感、环保意识、 运动的思想。 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 探究一探究一 提问提问找这些数的共同特点找这些数的共同特点 1，2，22，23，24，,263 4,5,6,7, 8, 9, 10 10, 9, 8，7, 6, 5, 4 15, 5, 16, 16, 28, 32 0,10,20,30,1000 -1，1，-1，1，-1，1，. 通过探究数列
7、，不断培养创新通过探究数列，不断培养创新 能力能力 （创新是发展的不竭动（创新是发展的不竭动 力）力） 这 个 问 题 由 学 生 看 黑 板 或 屏 幕 来 回 答，说出它的 规 律 得 出 数 列的定义。 培养学生 观察、思 考 的 能 力。借助 黑板与多 媒体增强 学生感性 认识。 一、数列的定义一、数列的定义 按一定次序排列的一列按一定次序排列的一列 数叫做数叫做数列数列。 数列中的每一个数都叫数列中的每一个数都叫 做做这个数列的项这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的 第第 1 项（或首项（或首 项）第项）第 2 项项, , 第第 n 项项, 理 解 数 列 的
8、 定义。 让学生的让学生的 学习由感学习由感 性到理性性到理性 的过程的过程 探究二探究二 提问提问若数列中被排列的数若数列中被排列的数 相同，但次序不同，则是不是相同，但次序不同，则是不是 同一数列同一数列? 如如:数列（数列（2） 4，5，6，7，8，9，10。 数列（数列（3） 10，9，8，7，6，5，4 它们不是同一数列。它们不是同一数列。 （注意：比较数列与数集的区 别） 这 一 点 由 学 生 观 察 黑 板 上 的 例 子 回 答 通过对 这个问 题的研 究， 让学 生真正 理解数 列的定 义 （及时 反馈） 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 二
9、二、 数列数列 的 表 示的 表 示 方法方法 (1) 列 举列 举 法法 （重点内（重点内 容）容） （1 1）先回顾函数的表示）先回顾函数的表示 方法方法 （2 2）数列的）数列的一般形式一般形式可可 以写成：以写成： a a1 1，a a2 2，a an n，简记简记 为为aan n ， 其中其中 a an n是数列的是数列的 第第 n n 项。项。 （1）学生回答函数的三学生回答函数的三 种表示法种表示法 （2）认识）认识aan n 与与 a an n的关的关 系系 让学生培 养分析、 比较的能 力，有温 故而知新 的意识。 找数列的找数列的 实质实质 数列中的每一个数都对数列中的每一
10、个数都对 应着一个序号，反过来，应着一个序号，反过来， 每个序号也都对应着一个每个序号也都对应着一个 数。数。 如数列（如数列（1 1） 项项4 45 56 67 7 8 89 91010 序号序号1 12 23 34 4 5 56 67 7 试一试说明试一试说明： 数列的项是序号数列的项是序号 的函数的函数， 序号从序号从 1 1 开始依次增开始依次增 加时加时， 对应的函数值按次序排对应的函数值按次序排 出就是数列出就是数列， 这就是数列的实这就是数列的实 质。质。 培养学生 由特殊到 一般的归 纳能力、 及观察能 力的培养 (2)解析解析 法法 如果数列如果数列 an中中 的的第第 n项
11、项 an与与n 之之 间的关系可以用一间的关系可以用一 个公式来表示，则个公式来表示，则 称此公式为数列的称此公式为数列的 通项公式通项公式。 如数列如数列(2)(2)可用公式可用公式培养学生 由特殊到 一般的归 纳能力、 及观察能 力的锻炼 探究三探究三 提问提问同一数列的通项同一数列的通项 公式唯一吗公式唯一吗? ? （注意：如果这问学生回（注意：如果这问学生回 答有困难，老师可引导完答有困难，老师可引导完 成）成） 答答: :有些并不唯一有些并不唯一 如数列如数列(6)(6)可用可用 又可用又可用 1、 引导学 生观察黑 板上的例 子。 2、 引导学 生得出调 节符号的 一般性的 结论。
12、（这 是数学的 由特殊到 一般的基 本思想） )()1( * Nna n n )7,(3 * nNnnan * * ,2, 1 , 12, 1 Nkkn Nkkn an 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 (3)图式图式 法法 a an n=n+3=n+3（n nN N * *， ，n n7 7）的）的 图象图象 a an n=(-1)=(-1) n n (n(nN N * *) )的图象 的图象 数列数列(2)(2)图象图象 是一些点是一些点 数列数列(6)(6)这些点是这些点是 孤立的！孤立的！ 用生动的 动物跳动 的过程来 分析图示 法，可增 强学习趣 味性
13、。且 加强学生 类比数列 与函数的 联系。 三、数列 的分类 一个数列，它的项数可一个数列，它的项数可 以是有限的也可以是无限以是有限的也可以是无限 的，根据数列的项数是有的，根据数列的项数是有 限的还是无限的，数列又限的还是无限的，数列又 分为有穷数列和无穷数分为有穷数列和无穷数 列。我们规定：列。我们规定： 项数有限的数列叫做有穷项数有限的数列叫做有穷 数列数列 项数无限的数列叫做无穷项数无限的数列叫做无穷 数列数列 如数列如数列（1 1） 、 （2 2） 、 （3 3） 、（4 4） （5 5） 、 都是有穷数列都是有穷数列。 如数列如数列 （6 6）是无穷数列）是无穷数列 观察实例 找
14、类型， 培养归类 能力 议一议议一议: : 根据下面数列根据下面数列an的通项的通项 公式，写出它的前公式，写出它的前 5 项：项： 分析分析 ： 通项公式反映了一通项公式反映了一 个数列项与项数的函数关个数列项与项数的函数关 系系， 给了数列的通项公式给了数列的通项公式， 这个数列便确定了，代入这个数列便确定了，代入 项数就可求出数列的每一项数就可求出数列的每一 项项 在通项公式中取在通项公式中取 n=1n=1，2 2，3 3， 4 4，5 5，得到数列的前，得到数列的前 5 5 项：项： （2）-1，2，-3，4，-5 让学生理 性认识与 感性认识 相结合。 1 )1( n n a n n
15、a n n )1()2( 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 )1( 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 试一试：试一试： 写出下面数列的一个通项写出下面数列的一个通项 公式，使它的前公式，使它的前 4 项分别项分别 是下列各数：是下列各数： （1）1，3，5，7 （2） 分析：认真观察各数列所分析：认真观察各数列所 给出的项，寻求各项与项给出的项，寻求各项与项 数的关系，归纳其规律，数的关系，归纳其规律， 抽象出其通项公式抽象出其通项公式 变式训练：变式训练： 规律规律： 这个数列的前四项都是这个数列的前四项都是 序号的序号的 2 2 倍减去
16、倍减去 1 1 规律规律： 这个数列的前四项分母这个数列的前四项分母 都是序号加上都是序号加上 1 1，分子都是分分子都是分 母的平方减去母的平方减去 1 1 规律规律： 绝对值都等于序号与序绝对值都等于序号与序 号加号加 1 1 的积的倒数的积的倒数， 且奇数项且奇数项 为负偶数项为正为负偶数项为正 培养学生 的创新意 识。养成 勤动手、 动脑、善 于总结、 归纳的习 惯。知识 循序渐进 做一做：做一做： P108练习 1、2、3、4 （由学生与我的配合来定 题量） 学生集体或独立完成， 老师辅 导 及 时 反 馈，让学 生对这节 知识更清 楚 课后小结课后小结 （感悟与（感悟与 反思）反思
17、） （师生共（师生共 同完成）同完成） 数列数列 一一定义定义 1. 数列数列 2. 项项 二、数列表示方法二、数列表示方法 1. 列举法列举法 2. 解析法解析法 3、图示法、图示法 三、数列的分类三、数列的分类 1、有穷数列、有穷数列 2、无穷数列、无穷数列 教学意图教学意图 【尝试探索、建立新知】【尝试探索、建立新知】 四、四、 例题讲例题讲 解解 例例 1（议一议）（议一议） 例例 2（试一试）（试一试） 教学意图教学意图 【例题示范、学【例题示范、学 会应用】会应用】 五、课后小结五、课后小结 教学意图教学意图 【对教学内容归对教学内容归 纳、疏理，小结纳、疏理，小结 本节课渗透的数
18、本节课渗透的数 学思想方法，便学思想方法，便 于 学 生 课 后 复于 学 生 课 后 复 习习】. 数列设计意图数列设计意图 本节课要理解数本节课要理解数 列的定义；数列的三列的定义；数列的三 种表示方法；数列的种表示方法；数列的 分类。应学习的数学分类。应学习的数学 思想是：数形结合的思想是：数形结合的 思想；分类的思想思想；分类的思想. 2.掌握通项公式掌握通项公式 的常用技巧：项数与的常用技巧：项数与 序号的规律；分数数序号的规律；分数数 列分子、分母分别找列分子、分母分别找 规律；正负相间符号规律；正负相间符号 规律。规律。 （2） 2222 21314151 ;,; 2345 11
19、11 3, 1 2 2 33 4 4 5 （ ） 21 n an 2 (1)1 1 n n a n 1 ( 1) (1) n n a n n ： , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 教学环节教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动教学意图教学意图 课后作业课后作业 一、课本一、课本 P110 习题习题 3.1 1，22、 二二、思考数列思考数列 1 1、2 2、3 3、5 5、 8 8、 1313中前后项间的关中前后项间的关 系，如何找其通项公式？系，如何找其通项公式？ 三、三、1预习内容：课预习内容：课本本 P108P109 预习提纲：预习提纲：什么叫数什么叫数 列的递推公式？
20、列的递推公式？递推递推 公式与通项公式有什么异公式与通项公式有什么异 同点？同点？ 记下作业 让学生对 知识巩固 与加深 教学效果教学效果 预测预测 通过这节课的教学，培 养了学生思考、分析、研 究问题的意识。培养学生 观察的习惯。培养学生从 特殊到一般的归纳能力。 提高观察、抽象的能力。 在课堂上老师为主导， 同时让学生真正成为学习 的主人，课堂的主体，让 学他们从中领悟数列的基 本思想。 象这种课是一种尝试， 也是一种体验。我认为这 节课有趣的传说、生动的 画面、时时的探究，对学 生的学习后面的内容起到 了很好的引导作用。许多 问题的提出都用了类比的 方法，让学生对知识温故 而知新。 我认
21、为以后在教学中， 应该多以探究性学习的这 种方法来传授知识，让学 生慢慢养成这种思维方 式。让学生尝试，从不同 角度运用合情推理及逻辑 推理的方法来解答问题。 长期这样的训练学生在思 维上一定有一个很大的飞 跃。 教学设计的说明教学设计的说明 一、教材分析一、教材分析 本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；本课是在学习映射、函数知 识基础上研究数列，既对进一步理解数列，又为今后研究等差、等比数列打下基 础，起着承前启后的重要作用. 首先，数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的应用。值得一提 的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用。例如在我国已颁布的供各种生 产部门设计产品尺寸用
22、的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的。 其次，数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多 知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识 在这一章均得到了较为充分的应用， 而学习数列又为后面学习数列与函数的极限 等内容作了铺垫。应该说：新课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的 是强化数学知识的内在联系，而数列正是将各知识勾通方面发挥了重要作用。 最后，由于不少关系恒等变形、解方程（组）以及一些带有综合性的数学问 题都与等差数列、等比数列有关，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的 能力。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知
23、的承接作用。 二、学生情况分析二、学生情况分析 学习障碍：学习障碍： 本节课是学习数列的起始课，在学习中会遇到下列障碍： 1对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊 2对数列与函数的关系认识不清 3对数列的表示，特别是通项公式 anf(n)感到困惑对数列的通项公式可 以不只一个觉得不可思议 4由数列的前几项写不出数列的通项公式 学习策略：学习策略： （1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由 实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有 数，如书中所给的例子等 （2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数 列与
24、函数的关系在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函 数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列函数表示法有 列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。 （3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，这一例题为写通 项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳 通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助 （4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要 帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一 项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师与学生共
25、同归纳一些规律 性的结论。 1、并非所有数列都能写出它的通项公式；如 2、有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的。如数列 1，-1，1，-1，1， -1，的通项可写成 1 1 n n a 或 1 1 n n a 或 1,( -1 n nn a 为奇数） ，（ 为偶数）等 3、 当一个数列出现 “+” 、“-” 相间时， 应先把符号分离出来， 用 1 11 nn 或 - 等来控制； 4、有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示； 5、 熟悉常见数列的通项： 三、教学方法及教学手段分析三、教学方法及教学手段分析 考虑到学生已学过映射考虑到学生已学过映射、函数的特点函数的特点，为突破难点为突破难点
26、，在教学上在教学上，我着重从以下几我着重从以下几 个方面个方面： （1 1）数列的定义数列的定义，通项公式通项公式； （2 2）归纳通项公式归纳通项公式； （3 3）画出数列的图像画出数列的图像； （4 4）把数列的通项公式理解为一种特殊函数，采取了讲解、引导、探索式相结）把数列的通项公式理解为一种特殊函数，采取了讲解、引导、探索式相结 合的教学方法启发学生积极思考、勇于创新合的教学方法启发学生积极思考、勇于创新. . （一） 启发诱导式：举实例让学生找规律，得到数列的基本知识。 （二） 自主学习式：根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己 通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中
27、，将新的知识内化到学生原 有的认知结构中去。 （三） 问题解决式：设计的每一个探究问题的解答过程。 （四）利用多媒体教学手段，引入课题，能激发学生学习兴趣，增加数学人 文色彩，同时也阐述了数列来源于实际，化抽象为具体，增强动感与直观性，同 时也提高教学效果和教学质量 总之总之 1、本节课是数列的起始课，设置情景、激发兴趣有利于学生学好本章、本节课是数列的起始课，设置情景、激发兴趣有利于学生学好本章 知识；知识； 2、把数列与集合、函数对比学习，有利于巩固旧知识，掌握新知识、把数列与集合、函数对比学习，有利于巩固旧知识，掌握新知识， 使所学知识形成系统化；使所学知识形成系统化； 3、教法和学法上
28、突出教材重点教法和学法上突出教材重点、力求突破难点力求突破难点，加深学生对知识的理加深学生对知识的理 解。较多地采用提问（包括设问解。较多地采用提问（包括设问） ；在教学材料呈现上以多媒体形式给出；在教学材料呈现上以多媒体形式给出。 例题的配备由浅入深、渗透了思维活动组织上由此及彼的类比推理概括的例题的配备由浅入深、渗透了思维活动组织上由此及彼的类比推理概括的 方法。方法。贯彻贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主攻教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主攻”的教的教 学思想，采取学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思精讲、善导、激趣、引思”的八字方针。的八字方针。 2 1,2,3,4,5, 1,3,5,7,9,21 2,4,6,8,10,2 1,4,9,16,25, 2,4,8,16,32,2 n n n n n n an an an an a 等
