1、习题课对称问题 第二章 直线和圆的方程 1.学会点点、点线、线线对称问题. 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 学 习 目 标 1.两条直线垂直的条件：斜率存在，k1k21. 导 语 3.点(x0，y0)在直线AxByC0上的条件是Ax0By0C0. 随堂演练课时对点练 一、几类常见的对称问题 二、光的反射问题 三、利用对称解决有关最值问题 内容索引 一、几类常见的对称问题 例1已知直线l：y3x3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； 解设点P关于直线l的对称点为P(x，y)， 则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于直线l， 点P的坐标为(2,7). (2)直线yx
2、2关于l的对称直线的方程； 在直线yx2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M(x0，y0)， 化简得7xy220，即为所求直线方程. (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 解在直线l上取两点E(0,3)，F(1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)，F(7,4). 因为点E，F在所求直线上， 即3xy170. 反思感悟对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(2ax，2by). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. 设l的方程为AxByC0(A2B20)
3、和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0 x)B(2y0y)C0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P关于l的对称点Q可以通过 条件：PQl；PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 跟踪训练1已知P(1,2)，M(1,3)，直线l：y2x1. (1)求点P关于直线l对称点R的坐标； 解设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 解因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程， 则直线MR为所求的直线，方程
4、为11x2y170. 二、光的反射问题 例2一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解如图， 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 A的坐标为(4,3). 反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y3. 由于反射光线为射线， 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走
5、过的路程为8. 反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对 应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 跟踪训练2如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上， 最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路 程是 解析由题意知，AB所在直线的方程为xy40. 如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)， 关于y轴的对称点为C(2,0)， 则光线所经过的路程为|CD| 三、利用对称解决有关最值问题 例3在直线l：xy10上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； 解如图，设
6、点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，连接BB， ab40， 点B的坐标为(5，1). 即2xy90. 易知|PB|PA|PB|PA|， 当且仅当P，B，A三点共线时，|PB|PA|最大. (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小. 解如图，设点C关于l的对称点为C，可求得C的坐标为(1,2)， AC所在直线的方程为x3y70. 易知|QA|QC|QA|QC|，当且仅当Q，A，C三点共线时，|QA| |QC|最小. 反思感悟利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值 小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的 距
7、离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直 线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A， B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的 对称点A，得直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直 线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似 方法求解. 跟踪训练3在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点， 又有一定点M(3,4)，则|MA|AB|BM|的最小值是 A.10 B.11 C.12 D.13 解析如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为 P(3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，4)，
8、 则|MB|PB|，|MA|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时， 当A与B不重合时，|MA|AB|BM|AQ|AB|PB|PQ|10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|AB|BM|取得最小值， 最小值为10. 1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行， 千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 课堂小结 随堂演练 1.点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标是 A.(1，3) B.(17，9) C
9、.(1,3) D.(17,9) 1234 解析设点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标为(a，b)， 所以该点的坐标为(1，3). 2.直线x2y10 关于直线x1对称的直线方程是 A.x2y10 B.2xy10 C.2xy30 D.x2y30 1234 3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线xy10对称，则 A.a1，b2 B.a2，b1 C.a4，b3 D.a5，b2 1234 4.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又 经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为 1234 解析由题易知直线AB的方程为xy3，点P(0,2)关
10、于x轴的对称点为 P1(0，2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， 课时对点练 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点 的距离是 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.点P(2,5)关于直线xy10的对称点的坐标为 A.(6，3) B.(3，6) C.(6，3) D.(6,3) 解析设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(6，3). 3.直线2x3y60关于点(1，1)
11、对称的直线方程是 A.2x3y70 B.3x2y20 C.2x3y80 D.3x2y120 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线斜率不变， 设对称后的直线方程l为2x3yc0， 又点(1，1)到两直线的距离相等， 12345678910 11 12 13 14 15 16 化简得|c1|7，解得c6 或c8， l的方程为2x3y60(舍)或 2x3y80， 即直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是2x3y80. 4.已知直线l：axbyc0与直线l关于直线xy0对称，则l的方 程为 A.bxayc0 B.bxayc
12、0 C.bxayc0 D.bxayc0 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.点P(a，b)关于直线l：xy10对称的点仍在l上，则ab等于 A.1 B.1 C.2 D.0 解析点P(a，b)关于直线l：xy10对称的点仍在l上， 点P(a，b)在直线l上， ab10，即ab1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B的路程为 解析点A(3,5)关于x轴的对称点A(3，5)， 则光线从A到B的路程即AB的长， 12345678910 11 12 13 14 15
13、 16 7.已知A(3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|MB|取最小值，则 点M的坐标为_. (1,0) 解析如图，作点A关于x轴的对称点A(3，8)， 连接AB，则AB与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即2xy20.令y0，得x1， 所以点M的坐标为(1,0). 8.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线 经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_. 6xy60 解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)， 则反射光线所在直线过点M， 123456
14、78910 11 12 13 14 15 16 又反射光线经过点N(2,6)， 即6xy60. 9.已知点M(3,5)，在直线l：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使 MPQ周长最小. 解由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求 得点M关于y轴的对称点为M2(3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方 程为x2y70. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l：xy30，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又 从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的ABC的个数； 123456
15、78910 11 12 13 14 15 16 解如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A(1，2)，点B关于直 线xy30的对称点为B(3，m3). 根据光学知识，知点C在直线AB上， 点C又在直线BA上， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当m3时，点B在直线xy30上，不能构成三角形. 综上，符合题意的ABC只有1个. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求直线BC的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则直线AB的方程为3xy10， 即直线BC的方程为3xy10. 11.已知点(1，1)关于直线
16、l1：yx的对称点为A，设直线l2经过点A，则 当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 A.2x3y50 B.3x2y50 C.3x2y50 D.2x3y50 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 设点B(2，1)到直线l2的距离为d， 当d|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.若x，y满足xy10，则x2y22x2y2的最小值为 解析原多项式可化为(x1)2(y1)2， 其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方， 且点P(x，y)在直线xy10上.
17、设d为点Q到直线xy10的距离， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和， 设点A(2,4)关于x轴的对称点为A， 则A(2，4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|MB|的最小值， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营
18、， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 B(1，4)，若将军从点A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为xy 3.则“将军饮马“的最短总路程为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示， 设点B关于直线xy3的对称点为C(a，b)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 在直线xy3上取点P， 由对称性可得|PB|PC|， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 x4y10 又线段PQ
19、的中点是(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以p，q为方程x22x10的根， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由两点式得直线PQ的方程为x4y10. 16.已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设A关于直线l的对称点为A(m，n)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故A(2,8). 因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|， 当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P 即是直线AB与直线l的交点， 故所求的点P的坐标为(2,3). (2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则|PB|PA|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是 直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2， 故所求的点P的坐标为(12,10). 本课结束 更多精彩内容请登录：
