1、课时跟踪检测课时跟踪检测 8等比数列的性质等比数列的性质 (对应学生用书 P083) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1在等比数列an中，Tn表示前 n 项的积，若 T51，则() Aa11Ba31 Ca41Da51 解析由题意， 可得 a1a2a3a4a51， 即(a1a5)(a2a4)a31， 又 a1a5a2a4 a23，所以 a531，得 a31. 答案B 2等比数列 x,3x3,6x6，的第四项等于() A24B0 C12D24 解析由题意知(3x3)2x(6x6)， 即 x24x30， 解得 x3 或 x 1(舍去)，所以等比数列的前 3 项是3，6，12，则第四项为24. 答案
2、A 3在由正数组成的等比数列an中，若 a3a4a53，则 sin(log3a1lg 3a2 log 3a7)的值为() A.1 2 B 3 2 C1 2 D. 3 2 解析由 a3a4a53得：a343，即：a43 3， log 3(a1a2a7)log 3a74log 337 3 7 3 214 3 ， sin14 3 sin 3 3 2 .故选 D. 答案D 4在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则a5 a7等于( ) A.5 6 B.6 5 C.2 3 D.3 2 解析方法一设公比为 q，则由等比数列an各项为正数且 an1an知 0 q1，由 a2a86，得 a
3、256， a5 6，a4a6 6 q 6q5. 解得 q 2 6， a5 a7 1 q2 6 2 23 2. 方法二a2a8a4a66， 又a4a65，a6a4， a62， a43， a5 a7 a4 a6 3 2. 答案D 5已知公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a10 () A4B5 C6D7 解析由题意可知 a3a11a2716.因为等比数列an的各项都是正数，所以 a74，所以 log2a10log2(a723)log2255. 答案B 6已知等比数列an中，有 a3a114a7，数列bn是等差数列，其前 n 项和 为 Sn，且 b7a7，则 S
4、13() A26B52 C78D104 解析设等比数列an的公比为 q， a3a114a7，a274a70，解得 a74， 数列bn是等差数列，且 b7a7. S1313a1a13 2 13b713a752.故选 B. 答案B 7已知an是等比数列，数列bn满足 bnlog2an，nN*，且 b2b44， 则 a3的值为() A1B2 C4D16 解析an为等比数列，所以 a2a4a23， 因为 b2b44，所以 log2a2log2a4log2(a2a4)log2a232log2a34，可 得 log2a32，a34，故选 C. 答案C 8已知等比数列an的各项均为正数，且 a1008a10
5、11a1009a10108，则 log2a1 log2a2log2a2018等于() A2016B2017 C2018D2019 解析由 a1008a1011a1009a10108，可得 2a1009a10108，即 a1009a10104， log2a1 log2a2 log2a2018 log2(a1a2a2018) log2(a1009a1010)1009 log2410092018.故选 C. 答案C 9设各项为正数的等比数列an中，公比 q2，且 a1a2a3a30230，则 a3a6a9a30() A230B210 C220D215 解析a1a2a3a30230，a301q1 23
6、29a30 1q2930 2 230，a12 27 2 ， a3a6a9a30a10 3(q3)910 2 227 2 2210(23)45220. 答案C 二、填空题 10 在 3 和一个未知数间填上一个数， 使三数成等差数列， 若中间项减去 6， 成等比数列，则此未知数是_ 解析设此三数为 3， a， b， 则 2a3b， a623b， 解得 a3， b3 或 a15， b27， 所以这个未知数为 3 或 27. 答案3 或 27 11设数列an为公比 q1 的等比数列，若 a2016和 a2017是方程 4x28x3 0 的两根，则 a2018a2019_. 解析由 a2016和 a20
7、17是方程 4x28x30 的两根， 得 a2016a20172， a2016a20173 4， 解得 a20161 2， a20173 2 或 a20163 2， a20171 2 (舍)， q3，a2018a20193 2(33 2)18. 答案18 12在等比数列an中，若 a2a3a6a9a1032，则 a29 a12的值为_ 解析因为 a29 a12 a6a12 a12 a6， 又 a2a3a6a9a10(a2a10)a6(a9a3)a5632， 所以 a62，故 a29 a12a 62. 答案2 三、解答题 13 在正项等比数列an中， a1a52a3a5a3a736， a2a42
8、a2a6a4a6100， 求数列an的通项公式 解a1a5a23，a3a7a25， 由题意，得 a232a3a5a2536， 同理得 a232a3a5a25100， a3a5236， a3a52100. 即 a3a56， a3a510. 解得 a32， a58 或 a38， a52. 分别解得 a11 2， q2 或 a132， q1 2. an2n 2 或 an26 n. 14在由实数组成的等比数列an中，a3a7a1128，a2a7a12512，求 q. 解法一：由条件得 a7q 4a7a7q428， a7q 5a7a7q5512， 由得 a37512，即 a78. 将其代入得 2q85q
9、420. 解得 q41 2或 q 42，即 q 1 4 2 或 q42. 法二：a3a11a2a12a27，a37512，即 a78. 于是有 a3a1120， a3a1164， 即 a3和 a11是方程 x220 x640 的两根，解此方程得 x4 或 x16. 因此 a34， a1116 或 a316， a114. 又a11a3q8， q a11 a3 1 84 1 8 4 2或 q 1 4 1 8 1 4 2 . 素养能力题从容有序过 15如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2.过点 A 作 BC 的垂线， 垂足为 A1；过点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2
10、作 A1C 的垂线，垂足为 A3； ， 依此类推 设 BAa1， AA1a2， A1A2a3， ， A5A6a7， 则 a7_. 解析等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2，所以 ABACa12，AA1 a2 2，An1Anan1sin 4a n 2 2 an2 2 2 n，故 a72 2 2 61 4. 答案 1 4 16容器 A 中盛有浓度为 a%的农药 m L，容器 B 中盛有浓度为 b%的同种 农药 m L，A，B 两容器中农药的浓度差为 20%(ab)，先将 A 中农药的1 4倒入 B 中，混合均匀后，再由 B 倒入一部分到 A 中，恰好使 A 中保持 m L，问至少经 过多少
11、次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于 1%? 解设第 n 次操作后，A 中农药的浓度为 an，B 中农药的浓度为 bn，则 a0 a%，b0b%. b11 5(a 04b0)，a13 4a 01 4b 11 5(4a 0b0)； b21 5(a 14b1)，a23 4a 11 4b 21 5(4a 1b1)； bn1 5(a n14bn1)，an1 5(4a n1bn1) anbn3 5(a n1bn1)3 5(a 0b0) 3 5 n1. a0b01 5，a nbn1 5 3 5 n.依题意知1 5 3 5 n1%，nN*，解得 n6. 故至少经过 6 次这样的操作，两容器中农药的浓度差小
12、于 1%. 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1055，S20210. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn an an1，是否存在 m，k(km2，m，kN *)使得 b1，bm，bk成等比 数列？若存在，求出所有符合条件的 m，k 的值；若不存在，请说明理由 解(1)设等差数列an的公差为 d，则 Snna1nn1 2 d. 由已知，得 10a1109 2 d55， 20a12019 2 d210， 即 2a19d11， 2a119d21， 解得 a11， d1. 所以 ana1(n1)dn(nN*) (2)假设存在 m，k(km2，m，kN*)使得 b1，bm，bk成等比数列则 b2m b1bk. 因为 bn an an1 n n1，所以 b 11 2，b m m m1，b k k k1， 所以 m m1 21 2 k k1.整理得 k 2m2 m22m1. 以下给出求 m，k 的方法：因为 k0， 所以m22m10，解得 1 2m1 2. 因为 m2，mN*，所以 m2，此时 k8. 故存在 m2，k8 使得 b1，bm，bk成等比数列
