1、第第 2 课时课时双曲线及其标准方程的应用双曲线及其标准方程的应用 学习目标1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.2.双曲线在实际生活中的应用 导语 双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课研究双曲线在实际生活中的应用 一、双曲线定义的应用 例 1已知 A(4,0)，B 是圆(x1)2(y4)21 上的点，点 P 在双曲线x 2 9 y 2 7 1 的右支上， 则|PA|PB|的最小值为() A9B2 56 C10D12 答案C 解析设点 C(1,4)，点 B 在圆上，则|PB|PC|r|PC|1， 由点 P 在双曲线右支上，点 A 为双曲线左焦点， 设 A为双曲线右焦点， 所以
2、由双曲线定义知|PA|PA|2a|PA|6， 所以|PA|PB|PA|PB|6|PA|PC|61|AC|55510. 反思感悟求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决 跟踪训练 1已知定点 A(3,1)，F 是双曲线x 2 4 y 2 121 的右焦点，P 是双曲线右支上的动点， 则|PA|PF|的最小值为() A. 2B5 24C5 24D. 24 答案C 解析设 F1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及 P 是双曲线右支上的动点可得|PF1|PF|2a， 所以|PF|PF1|2a， 所以|PA|PF|PA|PF1|2a|PA|PF1|4， 结合图形可得|PA|
3、PF1|AF1| 3421025 2， 当且仅当 P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点 P 在 P处取得最小值， 所以|PA|PF1|45 24，所以|PA|PF|的最小值为 5 24. 二、双曲线方程的设法 例 2已知双曲线x 2 16 y2 4 1 的左、右焦点分别为 F1，F2. (1)若点 M 在双曲线上，且MF1 MF2 0，求 M 点到 x 轴的距离； (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3 2，2)，求双曲线 C 的方程 解(1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 h，MF1 MF2 0， 则 MF1MF2， 设|MF1|m，|
4、MF2|n， 由双曲线定义，知 mn2a8， 又 m2n2(2c)280， 由得 mn8， 1 2mn4 1 2|F 1F2|h， h2 5 5 . (2)设所求双曲线 C 的方程为 x2 16 y2 41(40，b0)有公共焦点的双曲线方程为 x2 a2 y2 b21(a 20，b0)有公共焦点的双曲线方程为 y2 a2 x2 b21(a 20，b0) 则有 a2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a25， b21， 所求双曲线的标准方程为x 2 5 y21. 方法二焦点在 x 轴上，c 6， 设所求双曲线方程为x 2 y2 61(其中 00)2 72 解析如图所示，以 AB 所在的直
5、线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 则|DA|DB|2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支 故 2c4，c2,2a2，a1，b2c2a2413， 故轨迹方程为 x2y 2 3 1(x0) 根据题意知 C(3， 3)，|MB|MC|MA|MC|2|AC|22 72. 当 A，M，C 共线时等号成立 1知识清单： (1)双曲线定义的应用 (2)双曲线方程的求法 (3)双曲线在实际生活中的应用 2方法归纳：转化法 3常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错 1如图，双曲线 C： x2 9 y 2 101 的左焦点为 F 1，双曲线上的点 P1与 P2关于 y 轴对称
6、，则|P2F1| |P1F1|的值是() A3B4C6D8 答案C 解析如图所示，设双曲线的右焦点为 F2，连接 P2F2，因为双曲线上的点 P1与 P2关于 y 轴 对称，根据双曲线的对称性，可得|P1F1|P2F2|，所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|23 6. 2相距 4k 千米的 A，B 两地，听到炮弹爆炸的时间相差 2 秒，若声速每秒 k 千米，则炮弹 爆炸点 P 的轨迹可能是() A双曲线的一支B双曲线 C椭圆D抛物线 答案B 解析由已知可得|PA|PB|2k4k|AB|， 根据双曲线的定义可知，点 P 在以 A，B 为焦点双曲线上， 则炮弹爆炸点 P 的轨迹可能是双曲
7、线 3经过点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是_ 答案 y2 25 x2 751 解析设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0，b0)， 所以 a2b29， 10 a2 4 b21， 解得 a25， b24. 所以双曲线的方程为y 2 5 x 2 4 1. 方法二设双曲线的方程为 x2 16 y2 251(250，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2.若双曲线上存在点 A 使得 F1AF290，且|AF1|2|AF2|4，则双曲线的方程为() Ax2y 2 4 1B.x 2 4 y21 C.x 2 2 y 2 3 1D.x 2 3 y 2 2 1
8、答案A 解析由题意，根据双曲线的定义及|AF1|2|AF2|4， 可得|AF1|AF2|22a，解得 a1， 因为F1AF290， 所以|F1F2|2|AF1|2|AF2|220， 即(2c)220，即 c25， 又 b2a2c2，则 b2c2a24， 所以双曲线的方程为 x2y 2 4 1. 3已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点分别为 F 1(5，0)，F2(5,0)，P 为 C 上一点， PF1PF2，tanPF1F23 4，则 C 的方程为( ) Ax2y 2 241 B.x 2 24y 21 C.x 2 9 y 2 161 D.x 2 16 y2 9 1 答
9、案A 解析F1(5,0)，F2(5,0)， c5，|F1F2|10， PF1PF2，tanPF1F23 4， cosPF1F24 5 |PF1| |F1F2|， |PF1|8，|PF2|6， 由双曲线的定义可知，|PF1|PF2|22a， a1， b2c2a225124. 双曲线的方程为 x2y 2 241. 4已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1( 5，0)，点 P 在双曲线上，且线段 PF1的中 点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是() A.x 2 4 y21Bx2y 2 4 1 C.x 2 2 y 2 3 1D.x 2 3 y 2 2 1 答案B 解析由已知条件，得焦点在 x 轴
10、上，设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则 a 2b2 5. 线段 PF1的中点的坐标为(0,2)， 点 P 的坐标为( 5，4)，将其代入双曲线的方程， 得 5 a2 16 b21. 由解得 a21，b24， 双曲线的方程为 x2y 2 4 1. 5已知双曲线的两个焦点为 F1( 10，0)，F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足 MF 1 MF 20，|MF 1|MF 2|2，则该双曲线的方程是() A.x 2 9 y21Bx2y 2 9 1 C.x 2 3 y 2 7 1D.x 2 7 y 2 3 1 答案A 解析MF1 MF2 0， MF1 MF2 ，
11、即 MF1MF2， |MF1|2|MF2|240. 则(|MF1|MF2|)2|MF1|22|MF1|MF2|MF2|2402236. |MF1|MF2|62a，即 a3. c 10，b2c2a21. 则该双曲线的方程是x 2 9 y21. 6已知点 P 在曲线 C1：x 2 16 y2 9 1 的右支上，点 Q 在曲线 C2：(x5)2y21 上，点 R 在曲 线 C3：(x5)2y21 上，则|PQ|PR|的最大值是() A6B8C10D12 答案C 解析双曲线x 2 16 y2 9 1 的两个焦点分别是 F1(5,0)与 F2(5,0)，且|PF1|PF2|8， 而这两个焦点恰好是两圆(
12、x5)2y21 和(x5)2y21 的圆心， 且两圆的半径分别是 r21，r31， 所以|PQ|max|PF1|1，|PR|min|PF2|1， 所以|PQ|PR|的最大值为(|PF1|1)(|PF2|1)|PF1|PF2|28210. 7已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2的坐标分别为( 5，0)和( 5，0)，点 P 在双 曲线上，且 PF1PF2，PF1F2的面积为 1，则双曲线的方程为_ 答案 x2 4 y21 解析由 |PF1|PF2|2， |PF1|2|PF2|22 52 (|PF1|PF2|)216，即 2a4，解得 a2， 又 c 5，所以 b1， 故双曲线的方程为x
13、2 4 y21. 8已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，且|PF1|2|PF2|，则 cos F1PF2_. 答案 3 4 解析由双曲线定义知，|PF1|PF2|2 2， 又|PF1|2|PF2|， |PF2|2 2，|PF1|4 2，|F1F2|2c2 a2b24. cos F1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 32816 24 22 2 3 4. 9已知与双曲线x 2 16 y2 9 1 共焦点的双曲线过点 P 5 2 ， 6 ，求该双曲线的标准方程 解已知双曲线x 2 16 y2 9 1， 则 c216925，
14、c5. 设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 依题意知 b225a2， 故所求双曲线方程可写为x 2 a2 y2 25a21. 点 P 5 2 ， 6 在所求双曲线上， 5 2 2 a2 6 2 25a2 1， 化简得 4a4129a21250， 解得 a21 或 a2125 4 . 当 a2125 4 时，b225a225125 4 25 4 0，不符合题意，舍去， a21，b224， 所求双曲线的标准方程为 x2y 2 241. 10.2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生里氏 8.0 级地震，为了援救灾民， 某部队在如图所示的 P 处空降了一批救灾药品，
15、要把这批药品沿道路 PA，PB 送到矩形灾民区 ABCD 中去，若 PA 100 km，PB150 km，BC60 km，APB60，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线 一侧的点沿道路 PA 送药较近，而另一侧的点沿道路 PB 送药较近，请说明这一界线是一条什 么曲线？并求出其方程 解矩形灾民区 ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路 PA 送药较近， 第二类沿道路 PB 送药较近，第三类沿道路 PA 和 PB 送药一样远近， 依题意知，界线是第三类点的轨迹， 设 M 为界线上的任一点，则|PA|MA|PB|MB|，|MA|MB|PB|PA|50， 界线是以 A，B 为焦点的双曲线的右支的
16、一部分， 如图，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 设所求双曲线方程的标准形式为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， a25,2c|AB| 100215022100150cos 6050 7， c25 7，b2c2a23 750， 故双曲线的标准方程为 x2 625 y2 3 7501， 注意到点 C 的坐标为(25 7，60)，故 y 的最大值为 60，此时 x35， 故界线的曲线方程为 x2 625 y2 3 7501(25x35，y0) 11 若双曲线x 2 n y21(n1)的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在双曲线
17、上， 且满足|PF1|PF2| 2 n2，则PF1F2的面积为() A1B.1 2 C2D4 答案A 解析设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2 n， 已知|PF1|PF2|2 n2， 解得|PF1| n2 n，|PF2| n2 n， |PF1|PF2|2. 又|F1F2|2 n1， 则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2为直角三角形，F1PF290， 1 2 PF F S1 2|PF 1|PF2|1 221. 12双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反 向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上已知双曲线 C：x 2 16 y2
18、9 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，从 F2发出的光线射向 C 上的点 P(8，y0)后，被 C 反射出去，则入射光线与反射光线 夹角的余弦值是() A.13 14 B11 14 C.11 14 D13 14 答案C 解析设 P(8，y0)在第一象限，64 16 y20 9 1y03 3， |PF2| 8523 326， |PF1|6814，|F1F2|10，cosF1PF214 262102 2146 11 14. 13已知 A(3,0)，B 是圆 x2(y4)21 上的点，点 P 在双曲线x 2 4 y 2 5 1 的右支上，则|PA| |PB|的最小值为() A9B2 54C8D7
19、答案C 解析如图所示，设圆心为 C，双曲线右焦点为 A(3,0)，且|PB|PC|1，|PA|PA|4， 所以|PB|PA|PC|PA|3|AC|38，当且仅当 A，B，C 三点共线时取得等号 14.一块面积为 12 公顷的三角形形状的农场，如图所示，在PEF 中，已知 tanPEF1 2， tanPFE2，试建立适当的直角坐标系，求出分别以 E，F 为左、右焦点且过点 P 的双曲 线方程为_ 答案 x2 5 y 2 4 1 解析以 EF 所在直线为 x 轴，EF 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系， 设以 E，F 为焦点且过点 P 的双曲线方程为x 2 a2 y2 b21， 焦点为 E(c
20、,0)，F(c,0) 由 tanPEF1 2，tanEFP2， 设PFx，则 tan tan(EFP)2， 得直线 PE 和直线 PF 的方程分别为 y1 2(xc) 和 y2(xc) 将联立，解得 x5 3c，y 4 3c， 即 P 点坐标为 5 3c， 4 3c. 在EFP 中，|EF|2c，EF 上的高为点 P 的纵坐标， 由题设条件 SEFP4 3c 212， c3，即 P 点坐标为(5,4) 由两点间的距离公式|PE| 532424 5，|PF| 532422 5，|PE|PF|2a， a 5， 又 b2c2a24， 故所求双曲线的方程为x 2 5 y 2 4 1. 15.光线被曲线
21、反射， 等效于被曲线在反射点处的切线反射 已知光线从椭圆的一个焦点出发， 被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反 射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 C： x2 m2 y2 n2 1(m0，n0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则 光线经过 2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_ 答案2k(am) 解析光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双 曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图， |BF2|2m|BF1
22、|， |BF1|BA|AF1|BF2|2m|BA|AF1|AF2|AF1|2m2a2m， 所以光线经过 2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为 2k(am) 16已知OFQ 的面积为 2 6，且OF FQ m，其中 O 为坐标原点 (1)设 6m4 6，求OF 与FQ 的夹角的正切值的取值范围； (2)设以 O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q， 如图所示， |OF |c，m 6 4 1 c2， 当|OQ |取得最小值时，求此双曲线的标准方程 解(1)因为 1 2|OF |FQ |sin2 6， |OF |FQ |cos m， 所以 tan 4 6 m . 又 6m4 6， 所以 1tan 0，b0)， Q(x1，y1)，则FQ (x1c，y1)， 所以 SOFQ1 2|OF |y1|2 6，则 y14 6 c . 又OF FQ m，即(c,0)(x1c，y1) 6 4 1 c2， 解得 x1 6 4 c， 所以|OQ | x21y21 3 8c 296 c2 122 3， 当且仅当 c4 时，取等号，|OQ |最小， 这时 Q 的坐标为( 6， 6)或( 6， 6) 因为 6 a2 6 b21， a2b216， 所以 a24， b212， 于是所求双曲线的标准方程为x 2 4 y 2 121.
