1、习题课习题课对称问题对称问题 学习目标1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题 导语 1两条直线垂直的条件：斜率存在，k1k21. 2P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标公式为 x1x2 2 ，y1y2 2. 3点(x0，y0)在直线 AxByC0 上的条件是 Ax0By0C0. 一、几类常见的对称问题 例 1已知直线 l：y3x3，求： (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点的坐标； (2)直线 yx2 关于 l 的对称直线的方程； (3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程 解(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x，y)，
2、则线段 PP的中点在直线 l 上，且直 线 PP垂直于直线 l， 即 y5 2 3x4 2 3， y5 x431， 解得 x2， y7. 点 P的坐标为(2,7) (2)解方程组 y3x3， yx2， 得 x5 2， y9 2， 则点 5 2， 9 2 在所求直线上 在直线 yx2 上任取一点 M(2,0)， 设点 M 关于直线 l 的对称点为 M(x0，y0)， 则 y0 2 3x02 2 3， y0 x0231， 解得 x017 5 ， y09 5. 点 M 17 5 ，9 5 也在所求直线上 由两点式得直线方程为 y9 2 9 5 9 2 x5 2 17 5 5 2 ， 化简得 7xy2
3、20，即为所求直线方程 (3)在直线 l 上取两点 E(0,3)，F(1,0)， 则 E，F 关于点 A(3,2)的对称点分别为 E(6,1)，F(7,4) 因为点 E，F在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为y1 41 x6 76， 即 3xy170. 反思感悟对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式 点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点为 P(2ax,2by) (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求 设 l 的方程为 AxByC0(A2B20)和点 P(x0，y0)， 则 l 关于 P 点的对称直线方程为 A(2x0 x)B(2y0y)C0
4、. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P 关于 l 的对称点 Q 可以通过条件：PQl； PQ 的中点在 l 上来求得 (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题 跟踪训练 1已知 P(1,2)，M(1,3)，直线 l：y2x1. (1)求点 P 关于直线 l 对称点 R 的坐标； (2)求直线 PM 关于直线 l 对称的直线方程 解(1)设点 P 关于直线 l 的对称点 R 的坐标为(x，y)， 则有 2y 2 21x 2 1， y2 x121， 解得 R 7 5， 4 5 . (2)因为 M(1,
5、3)的坐标满足直线 l 的方程， 又点 P 关于直线 l 的对称点为 R 7 5， 4 5 ， 则直线 MR 为所求的直线，方程为 11x2y170. 二、光的反射问题 例 2一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x6y25 反射后通过点 P(4,3)，求反射 光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程 解如图， 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)， 由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b a 4 3 1， 8a 26 b 225， 解得 a4， b3， A 的坐标为(4,3) 反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P
6、(4,3)，A，P 两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为 y3. 联立 y3， 8x6y25， 解得 x7 8， y3， 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为 y3 x7 8 . 由光的性质可知， 光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度|AP|， 由 A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8， 即光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8. 反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称 的利用点的对称关系可以求解 跟踪训练 2如图所示，已知点 A(4，0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射
7、后再 射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到点 P，则光线所经过的路程是() A2 10B6C3 3D2 5 答案A 解析由题意知，AB 所在直线的方程为 xy40.如图，点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程为|CD|2 10. 三、利用对称解决有关最值问题 例 3在直线 l：xy10 上求两点 P，Q.使得： (1)P 到 A(4,1)与 B(0,4)的距离之差最大； (2)Q 到 A(4,1)与 C(3,0)的距离之和最小 解(1)如图，设点 B 关于 l 的对称点 B的坐标为(a，b)，连接 BB，则 kB
8、Bkl1，即 b4 a 11， ab40， BB的中点 a 2， b4 2在直线 l 上， a 2 b4 2 10，即 ab60. 由得 a5， b1， 点 B的坐标为(5，1) 于是 AB所在直线的方程为 y1 11 x4 54， 即 2xy90. 易知|PB|PA|PB|PA|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，|PB|PA|最大 联立直线 l 与 AB的方程，解得 x10 3 ，y7 3， 即 l 与 AB的交点坐标为 10 3 ，7 3 . 故点 P 的坐标为 10 3 ，7 3 . (2)如图，设点 C 关于 l 的对称点为 C，可求得 C的坐标为(1,2)， AC所在直线的方程为
9、x3y70. 易知|QA|QC|QA|QC|，当且仅当 Q，A，C三点共线时，|QA|QC|最小 联立直线 AC与 l 的方程，解得 x5 2，y 3 2， 即 AC与 l 的交点坐标为 5 2， 3 2 . 故点 Q 的坐标为 5 2， 3 2 . 反思感悟利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要 解决在直线 l 上求一点，使这点到两定点 A，B 的距离之差最大的问题，若这两点 A，B 位于 直线 l 的同侧， 则只需求出直线 AB 的方程， 再求它与已知直线的交点， 即得所求的点的坐标； 若 A，B 两点位于直线 l 的
10、异侧，则先求 A，B 两点中某一点，如 A 关于直线 l 的对称点 A， 得直线 AB 的方程，再求其与直线 l 的交点即可对于在直线 l 上求一点 P，使 P 到平面上 两点 A，B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解 跟踪训练 3在平面直角坐标系中， 点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上两个动点， 又有一定点 M(3,4)， 则|MA|AB|BM|的最小值是() A10B11C12D13 答案A 解析如图，设点 M(3,4)关于 y 轴的对称点为 P(3,4)，关于 x 轴的对称点为 Q(3，4)， 则|MB|PB|，|MA|AQ|. 当 A 与 B 重合于坐标原点 O 时， |MA
11、|AB|BM|PO|OQ|PQ| 33244210； 当 A 与 B 不重合时，|MA|AB|BM|AQ|AB|PB|PQ|10. 综上可知，当 A 与 B 重合于坐标原点 O 时，|MA|AB|BM|取得最小值，最小值为 10. 1知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题 (2)反射问题 (3)利用对称解决有关最值问题 2方法归纳：转化化归、数形结合 3常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交 直线关于角平分线所在直线对称混淆 1点(3,9)关于直线 x3y100 对称的点的坐标是() A(1，3)B(17，9) C(1,3)D(17,9) 答案
12、A 解析设点(3,9)关于直线 x3y100 对称的点的坐标为(a，b)， 则由 3a 2 3b9 2 100， b9 a3 1 3 1， 解得 a1， b3， 所以该点的坐标为(1，3) 2直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是() Ax2y10B2xy10 C2xy30Dx2y30 答案D 解析在直线 x2y10 上任取两点，如：(1,1)，0， 1 2 ， 这两点关于直线 x1 对称的点分别为(1,1)，2， 1 2 ， 两对称点所在直线的方程为 y11 2(x1)，即 x2y30. 3若点 P(3,4)和点 Q(a，b)关于直线 xy10 对称，则() Aa1，b2Ba2，
13、b1 Ca4，b3Da5，b2 答案D 解析由 b4 a31， a3 2 b4 2 10， 解得 a5， b2. 4已知 A(3,0)，B(0,3)，从点 P(0,2)射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反 射回到 P 点，则光线所经过的路程为() A2 10B6 C3 3D. 26 答案D 解析由题易知直线 AB 的方程为 xy3，点 P(0,2)关于 x 轴的对称点为 P1(0，2)，设点 P(0,2)关于直线 AB 的对称点为 P2(a，b)，如图， b2 a 11， a 2 2b 2 3， 解得 a1， b3. P2(1,3)， 光线所经过的路程为|PQ|QM|
14、MP|P1P2| 12322 26. 课时课时对点对点练练 1已知点 A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点 P(x，y)到原点的距离是() A4B. 13C. 15D. 17 答案D 解析根据中点坐标公式得 x2 2 1， 53 2 y， 解得 x4， y1. 所以点 P 的坐标为(4,1)，则点 P(x，y)到原点的距离 d 402102 17. 2点 P(2,5)关于直线 xy10 的对称点的坐标为() A(6，3)B(3，6) C(6，3)D(6,3) 答案C 解析设点 P(2,5)关于直线 l 的对称点的坐标为(x，y)， 则 y5 x21， x2 2 y5 2 10
15、， 解得 x6， y3， 故点 P(2,5)关于直线 l 的对称点的坐标为(6，3) 3直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是() A2x3y70 B3x2y20 C2x3y80 D3x2y120 答案C 解析直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线斜率不变， 设对称后的直线方程 l为 2x3yc0， 又点(1，1)到两直线的距离相等， |23c| 2232 |236| 2232 ， 化简得|c1|7，解得 c6 或 c8， l的方程为 2x3y60(舍)或 2x3y80， 即直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是 2x3y80. 4已知直线 l：axbyc0
16、 与直线 l关于直线 xy0 对称，则 l的方程为() Abxayc0Bbxayc0 Cbxayc0Dbxayc0 答案A 5点 P(a，b)关于直线 l：xy10 对称的点仍在 l 上，则 ab 等于() A1B1C2D0 答案A 解析点 P(a，b)关于直线 l：xy10 对称的点仍在 l 上， 点 P(a，b)在直线 l 上， ab10，即 ab1. 6光线从点 A(3,5)射到 x 轴上，经 x 轴反射后经过点 B(2，10)，则光线从 A 到 B 的路程为 () A5 2B2 5C5 10D10 5 答案C 解析点 A(3,5)关于 x 轴的对称点 A(3，5)， 则光线从 A 到
17、B 的路程即 AB 的长， |AB| 51023225 10. 即光线从 A 到 B 的路程为 5 10. 7已知 A(3,8)，B(2,2)，在 x 轴上有一点 M，使得|MA|MB|取最小值，则点 M 的坐标为 _ 答案(1,0) 解析如图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A(3，8)，连接 AB，则 AB 与 x 轴的交点 即为 M，连接 AM.因为 B(2，2)，所以直线 AB 的方程为 y2 82 x2 32，即 2xy20. 令 y0，得 x1，所以点 M 的坐标为(1,0) 8已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则 反射光线
18、所在直线的方程为_ 答案6xy60 解析设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)， 则反射光线所在直线过点 M， 所以 b4 a31， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1， b0. 又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为y0 60 x1 21， 即 6xy60. 9已知点 M(3,5)，在直线 l：x2y20 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使MPQ 周长最小 解由点 M(3,5)及直线 l，可求得点 M 关于 l 的对称点为 M1(5,1)同样可求得点 M 关于 y 轴 的对称点为 M2(3,5)由 M1及 M2两点可得到直线 M1M2的方程为
19、 x2y70. 解方程组 x2y70， x2y20， 得交点 P 5 2， 9 4 .令 x0，得 M1M2与 y 轴的交点 Q 0，7 2 .所以当 P 和 Q 的坐标分别为 5 2， 9 4 ， 0，7 2 时，MPQ 的周长最小 10已知直线 l：xy30，一束光线从点 A(1,2)处射向 x 轴上一点 B，又从点 B 反射到 l 上的一点 C，最后从点 C 反射回点 A. (1)试判断由此得到的ABC 的个数； (2)求直线 BC 的方程 解(1)如图，设 B(m,0)，点 A 关于 x 轴的对称点为 A(1，2)，点 B 关于直线 xy30 的对称点为 B(3，m3) 根据光学知识，
20、知点 C 在直线 AB 上，点 C 又在直线 BA 上，且直线 AB 的方程为 y 2 m1(xm) 由 y 2 m1xm， xy30， 得 x35m m3 . 又直线 AB的方程为 y2m1 4 (x1)， 由 y2m1 4 x1， xy30， 得 xm3 m5. 所以35m m3 m3 m5，即 3m 28m30， 解得 m1 3或3. 当 m1 3时，符合题意； 当 m3 时，点 B 在直线 xy30 上，不能构成三角形综上，符合题意的ABC 只有 1 个 (2)由(1)得 m1 3， 则直线 AB 的方程为 3xy10， 即直线 BC 的方程为 3xy10. 11已知点(1，1)关于直
21、线 l1：yx 的对称点为 A，设直线 l2经过点 A，则当点 B(2，1) 到直线 l2的距离最大时，直线 l2的方程为() A2x3y50B3x2y50 C3x2y50D2x3y50 答案B 解析设 A(a，b)，则 b1 a11， b1 2 a1 2 ， 解得 a1， b1， 所以 A(1,1) 设点 B(2，1)到直线 l2的距离为 d， 当 d|AB|时取得最大值，此时直线 l2垂直于直线 AB， 又 1 kAB 1 11 21 3 2， 所以直线 l2的方程为 y13 2(x1)，即 3x2y50. 12若 x，y 满足 xy10，则 x2y22x2y2 的最小值为() A2B.9
22、 2 C3D4 答案B 解析原多项式可化为(x1)2(y1)2，其几何意义为点 P(x，y)和点 Q(1,1)间距离的平方， 且点 P(x，y)在直线 xy10 上设 d 为点 Q 到直线 xy10 的距离，由|PQ|d，得 x12y12|111| 2 ，即 x2y22x2y29 2.故所求的最小值为 9 2. 13著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代 数问题可以转化为几何问题加以解决，如： xa2yb2可以转化为平面上点 M(x，y) 与点 N(a， b)的距离 结合上述观点， 可得 f(x) x24x20 x22x10的最小值为() A2 5B5 2C
23、4D8 答案B 解析f(x) x24x20 x22x10 x22042 x12032， f(x)的几何意义为点 M(x,0)到两定点 A(2,4)与 B(1,3)的距离之和， 设点 A(2,4)关于 x 轴的对称点为 A， 则 A(2，4)要求 f(x)的最小值，可转化为求|MA|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|MB|AB| 1223425 2， 即 f(x) x24x20 x22x10的最小值为 5 2. 14唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” 诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某 处出发，先到河边饮马后再
24、回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设 军营所在位置为 B(1，4)，若将军从点 A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为 xy3. 则“将军饮马“的最短总路程为() A. 13B. 17C2 17D10 答案C 解析如图所示， 设点 B 关于直线 xy3 的对称点为 C(a，b)， 由题意可得 a1 2 b4 2 3， b4 a11， 解得 a7， b4， 即 C(7,4)， 在直线 xy3 上取点 P， 由对称性可得|PB|PC|， 所以|PA|PB|PA|PC|AC| 1722422 17， 当且仅当 A，P，C 三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为
25、 2 17. 15 若函数 y x x21的图象上存在两点 P， Q 关于点(1,0)对称， 则直线 PQ 的方程是_ 答案x4y10 解析根据题意，设 P p， p p21 ，Q q， q q21 ， 又线段 PQ 的中点是(1,0)， 所以 pq 2 1， p p21 q q210， 整理得 pq2， pq1， 所以 p，q 为方程 x22x10 的根， 解得 x1 2， 所以 P 1 2， 2 4 ，Q 1 2， 2 4 或 P 1 2， 2 4 ，Q 1 2， 2 4 . 由两点式得直线 PQ 的方程为 x4y10. 16已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4) (
26、1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小； (2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大 解(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)， 则 n0 m22， m2 2 2n0 2 80， 解得 m2， n8， 故 A(2,8) 因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|PB|PA|PB|AB|， 当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与 直线 l 的交点， 则 x2， x2y80， 得 x2， y3， 故所求的点 P 的坐标为(2,3) (2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则|PB|PA|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，则 yx2， x2y80， 得 x12， y10， 故所求的点 P 的坐标为(12,10)
