1、章末复习课章末复习课 一、圆锥曲线的定义及标准方程 1求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹方程 (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动 的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关 点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 (4)待定系数法： 根据条件能确定曲线的类型， 可设出方程形式， 再根据条件确定待定的系数 2求圆锥曲线
2、方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养 例 1(1)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离 心率为 2，则该双曲线的方程为_ 答案x2y 2 3 1 解析由题意得 c2， c a2， 解得 a1， c2， 则 b2c2a23， 因此双曲线方程为 x2y 2 3 1. (2)在圆 x2y24 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D.当点 P 在圆上运动时，动 点 M 满足PD 2MD ，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程 解方法一由PD 2MD ，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐
3、标为(x，y)，则点 P 的 坐标为(x,2y) 因为点 P 在圆 x2y24 上， 所以 x2(2y)24， 所以曲线 C 的方程为x 2 4 y21. 方法二设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则 D(x0，0)， 由PD 2MD ，得 x0 x，y02y， 因为点 P(x0，y0)在圆 x2y24 上， 所以 x20y204，(*) 把 x0 x，y02y 代入(*)式，得 x24y24， 所以曲线 C 的方程为x 2 4 y21. 反思感悟(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件 (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解
4、三角形的知识 来解决 (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几 何图形，利用几何意义去解决 跟踪训练 1(1)已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|，则动点 M 的轨迹是 () A椭圆B双曲线 C抛物线D以上都不对 答案C 解析把轨迹方程 5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12| 5 . 动点 M 到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等点 M 的轨迹是以原点为 焦点，以直线 3x4y120 为准线的抛物线 (2)点 P 是抛物线 y28x 上的任意一点， F 是抛物线的焦点， 点 M 的坐标是(2,3
5、)， 求|PM|PF| 的最小值，并求出此时点 P 的坐标 解抛物线 y28x 的准线方程是 x2，那么点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 x2 的 距离，过点 P 作 PD 垂直于准线 x2，垂足为 D，那么|PM|PF|PM|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当 M，P，D 三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最小值为 |MD|2(2)4， 所以|PM|PF|的最小值是 4. 此时点 P 的纵坐标为 3，所以其横坐标为9 8，即点 P 的坐标是 9 8，3. 二、圆锥曲线的几何性质 1本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心
6、率为考查重点 (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后 定量” 2圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养 例 2(1)如图，F1，F2是椭圆 C1：x 2 4 y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是() A. 2B. 3C.3 2 D. 6 2 答案D 解析由椭圆可知|AF1|AF2|4， |F1F2|2 3.因为四边形 AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2|AF2|2 |F1F2|212， 所以 2|AF1|AF2|(|AF1|
7、AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2 |AF2|22|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2 2，因此对于双曲线有 a 2，c 3， 所以 C2的离心率 ec a 6 2 . (2)已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双曲线 C 2的方程为x 2 a2 y2 b21，C 1与 C2的离心 率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为_ 答案x 2y0 解析设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2， 则 e1 a2b2 a ， e2 a2b2 a .因为 e1e2 3 2 ，所以 a4b4 a
8、2 3 2 ，即 b a 41 4，所以 b a 2 2 . 故双曲线的渐近线方程为 yb ax 2 2 x， 即 x 2y0. 反思感悟求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都 有关系式 a2b2c2(a2b2c2)以及 ec a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数， 这是基本且常用的方法 (2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重 要的思路及方法 (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的 定义、几何性质，建立参
9、数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形 象、直观 跟踪训练 2(1)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的半焦距是 c，A，B 分别是长轴、短轴的一个端 点，O 为原点，若ABO 的面积是3c2，则此椭圆的离心率是() A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 答案A 解析由 1 2ab 3c 2，即 a2(a2c2)12c4， 所以(a23c2)(a24c2)0，所以 a24c2，a2c， 故 ec a 1 2. (2)已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C 2：x22py(p0)的焦点到双 曲线 C1的
10、渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为() Ax28 3 3 yBx216 3 3 y Cx28yDx216y 答案D 解析由 e21b 2 a24 得 b a 3， 则双曲线的渐近线方程为 y 3x， 即3xy0，抛物线 C2的焦点坐标为 0，p 2 ， 则有 p 2 2 2，解得 p8， 故抛物线 C2的方程为 x216y. 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系， 可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一 元二次方程的判别式 2借用直线与圆锥曲线问题培养数
11、学运算的核心素养 例 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点(0， 3)，离心率为 1 2，左、右焦点分别为 F 1(c,0)， F2(c,0) (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y1 2xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F 1F2为直径的圆交于 C，D 两点，且 满足|AB| |CD| 5 3 4 ，求直线 l 的方程 解(1)由题设知 b 3， c a 1 2， b2a2c2， 解得 a2，b 3，c1， 椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)由(1)知，以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21， 圆心到直线 l 的距离 d2|m| 5 ， 由 d1 得
12、|m|0. 由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23. |AB|1 1 2 2 m24m23 15 2 4m2. 由|AB| |CD| 5 3 4 ，得 4m2 54m21， 解得 m 3 3 ，满足. 直线 l 的方程为 y1 2x 3 3 或 y1 2x 3 3 . 反思感悟(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断 (2)一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具 跟踪训练 3已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，其焦点为 F 1，F2，离心率为 2 2 ，直线 l：x 2y20 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B. (1)若点 A 是椭圆 E
13、 的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|PF2|2a，求 a 的取值范围 解(1)由椭圆的离心率为 2 2 ，得 a 2c， 由 A(2,0)，得 a2， c 2，b 2， 椭圆方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由 e 2 2 ，设椭圆方程为x 2 a2 2y2 a2 1， 联立 x2 a2 2y2 a2 1， x2y20， 得 6y28y4a20， 若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|PF2|2a，则线段 AB 与椭圆 E 有公共点，等价于方程 6y2 8y4a20 在 y0,1上有解 设 f(y)6y28y4a2， 0， f00， 即 a
14、24 3， 4a20， 4 3a 24， 故 a 的取值范围是 2 3 3 ，2 . 四、圆锥曲线的综合问题 1圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思 路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解 2圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养 例 4已知抛物线 C：y22px(p0)经过点 P(2,2)，A，B 是抛物线 C 上异于点 O 的不同的两 点，其中 O 为原点 (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若 OAOB，求AOB 面积的最小值 解(1)由抛物线 C：y22px 经过点 P(2,2)知，4p4，解得
15、 p1. 则抛物线 C 的方程为 y22x. 抛物线 C 的焦点坐标为 1 2，0，准线方程为 x1 2. (2)由题意知，直线 AB 不与 y 轴垂直，设直线 AB：xtya， 由 xtya， y22x， 消去 x，得 y22ty2a0. 4t28a. 设 A (x 1，y1)，B (x 2，y2)，则 y1y22t，y1y22a. 因为 OAOB，所以 x1x2y1y20，即y 2 1y22 4 y1y20， 解得 y1y20(舍去)或 y1y24. 所以2a4，解得 a2.满足0. 所以直线 AB：xty2. 所以直线 AB 过定点(2,0) SAOB1 22 |y 1y2| y21y2
16、22y1y2 y21y228 2|y1y2|84. 当且仅当 y12，y22 或 y12，y22 时，等号成立 所以AOB 面积的最小值为 4. 反思感悟(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解(2)圆锥曲线的综合 问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想 与类比，使问题获解 跟踪训练 4已知动圆 P 与圆 O1：x2xy20 内切，且与直线 x1 相切，设动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)过曲线 C 上一点 M(2，y0)(y00)作两条直线 l1，l2与曲线 C 分别交于不同的两点 A，B，若 直线
17、l1，l2的斜率分别为 k1，k2，且 k1k21.证明：直线 AB 过定点 (1)解由题意可知，动圆圆心 P 到点 1 2，0的距离与到直线 x1 2的距离相等，所以点 P 的 轨迹是以 1 2，0为焦点，直线 x1 2为准线的抛物线，所以曲线 C 的方程为 y 22x. (2)证明易知 M(2,2)，设点 A (x 1，y1)，B (x 2，y2)，直线 AB 的方程为 xmyb， 联立 xmyb， y22x， 得 y22my2b0， 所以 y1y22m， y1y22b， 所以 x1x22m22b， x1x2b2， 因为 k1k2y12 x12 y22 x221， 即 y1y22 (y 1
18、y2)x1x22 (x 1x2)， 所以 b22b4m24m0， 所以(b1)2(2m1)2， 所以 b2m 或 b2m2. 当 b2m2 时，直线 AB 的方程为 xmy2m2 过定点(2,2)与 M 重合，舍去； 当 b2m 时，直线 AB 的方程为 xmy2m 过定点(0，2)，所以直线 AB 过定点(0，2) 1我们把方程分别为x 2 a2 y2 b21 和 y2 b2 x2 a21 的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同 的() A离心率B渐近线 C焦点D顶点 答案B 解析共轭双曲线x 2 a2 y2 b21 和 y2 b2 x2 a21 的 c a 2b2，设 a0，b0，可得
19、它们的焦点坐标 分别为(c,0)，(0，c)，渐近线方程均为 yb ax，离心率分别为 c a和 c b，它们的顶点坐标分别 为(a，0)，(0，b) 2(多选)已知 O 为坐标原点，M(1,2)，P 是抛物线 C：y22px 上的一点，F 为其焦点，若 F 与双曲线x 2 3 y21 的右焦点重合，则下列说法正确的有() A若|PF|6，则点 P 的横坐标为 4 B该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 3 C若POF 外接圆与抛物线 C 的准线相切，则该圆面积为 9 DPMF 周长的最小值为 3 5 答案ACD 解析因为双曲线的方程为x 2 3 y21， 所以 a23，b21，则 c a
20、2b22， 因为抛物线 C 的焦点 F 与双曲线x 2 3 y21 的右焦点重合， 所以p 22，即 p4， 选项 A，若|PF|6，则点 P 的横坐标为 x0|PF|p 24，所以选项 A 正确； 选项 B， 因为抛物线 C 的焦点 F 与双曲线x 2 3 y21 的右焦点重合， 所以抛物线的准线被双曲 线所截得的线段长度为2b 2 a 2 3 2 3 3 ，所以选项 B 错误； 选项 C，因为 O(0,0)，F(2,0)，所以POF 外接圆的圆心的横坐标为 1，又因为POF 外接圆 与抛物线 C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点 F 的距离等于半径，所以圆 心在抛物线上且到准
21、线的距离为 3，所以 r3，所以该外接圆面积为 Sr29，所以选项 C 正确； 选项 D，因为PMF 的周长为 C|PF|PM|MF|xPp 2|PM| 5(x P|PM|)2 5xM2 53 5，所以选项 D 正确 3椭圆 r：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2.焦距为 2c，若直线 y 3(xc)与 椭圆 r 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案31 解析注意到直线过点(c,0)即为左焦点 F1， 又斜率为 3，所以其倾斜角为 60， 即MF1F260. 又MF1F22MF2F1， 故MF2F130，那么F2MF190.
22、 |MF1|F1F2|cos 602c1 2c， |MF2|F1F2|sin 602c 3 2 3c，e2c 2a 2c |MF1|MF2| 2c 3cc 31. 4设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，M，N 是双曲线 C 上关于坐标原点对称的两点，P 为 双曲线 C 上的一动点，若 kPMkPN4，则双曲线 C 的离心率为_ 答案5 解析由题意，设 M(x1，y1)，P(x2，y2)， 则 N(x1，y1)， 所以 kPMkPNy2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y21 x22x21， 因为x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 所以两式相减可得y 2 2y21 b2 x 2 1x22 a2 0， 即y 2 2y21 x22x21 b2 a2， 因为 kPMkPN4， 所以b 2 a24， 则 ec a 1b 2 a2 5.
