1、3.1椭椭圆圆 31.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 学习目标1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标 准方程 导语 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用， 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究 椭圆的几何性质奠定基础？ 一、椭圆的定义 问题 1取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移 动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定 在图板中的两点 F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹
2、是什么曲线？ 在这 一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数 知识梳理 把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值 (2)定值必须大于两定点的距离 (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段 (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 问题 2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示观察可以发现椭圆具有
3、对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过 椭圆两焦点 F1， F2的直线为 x 轴， 线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 Oxy， 如图所示，此时，椭圆的焦点分别为 F1(c,0)和 F2(c,0) 根据椭圆的定义，设 M 与焦点 F1，F2的距离的和等于 2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点 集 PM|MF1|MF2|2a因为|MF1| xc2y2，|MF2| xc2y2， 所以 xc2y2 xc2y22a. 为了化简方程，我们将其左边一个根式移到右边，得 xc2y22a xc2y2. 对方程两边平方，得 (xc)2y24a24a xc2y2(xc)2y
4、2， 整理，得 a2cxa xc2y2， 对方程两边平方，得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2， 整理，得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)， 将方程两边同除以 a2(a2c2)， 得x 2 a2 y2 a2c21， 由椭圆的定义可知 2a2c0 ，即 ac0， 所以 a2c20. 令 b a2c2，那么方程就是x 2 a2 y2 b21(ab0) 我们将方程称为焦点在 x 轴上的椭圆方程 问题 3如图，如果焦点 F1，F2在 y 轴上，且 F1，F2的坐标分别是(0，c)，(0，c)，a，b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示 y2 a2 x2 b21(a
5、b0) 知识梳理 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) a，b，c 的关系b2a2c2 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为 2a. (2)x2项和 y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上 例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点 3 2， 5 2 ； (3)经过点 P 1 3， 1 3 ，Q 0，1 2 . 解
6、(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， 解得 a24， b21. 所以所求的椭圆的标准方程为y 2 4 x21. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 由椭圆的定义知， 2a 3 2 2 5 22 2 3 2 2 5 22 2 2 10， 即 a 10， 又 c2，所以 b2a2c26， 所以所求椭圆的标准方程为y 2 10 x2 6 1. (3)方法一当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准
7、方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 0 1 2 2 b2 1， 解得 a21 5， b21 4. 由 ab0，知不符合题意，故舍去； 当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2 a2 x2 b21(ab0) 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 1 2 2 a2 01， 解得 a21 4， b21 5. 所以所求椭圆的标准方程为y 2 1 4 x 2 1 5 1. 方法二设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn) 则 1 9m 1 9n1， 1 4n1， 解得 m5， n4. 所以所求椭圆的方程为
8、5x24y21， 故椭圆的标准方程为y 2 1 4 x 2 1 5 1. 反思感悟确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标 轴上，以判断方程的形式 (2)“定量”是指确定 a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解 跟踪训练 1求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2， 2)，1， 14 2； (2)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 9 1 有相同的焦点 解(1)方法一(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 由已知条件得 4 a2 2 b21，
9、1 a2 14 4b21， 解得 a28， b24. 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由已知条件得 4 b2 2 a21， 1 b2 14 4a21， 解得 b28， a24. 则 a2b0 矛盾，舍去 综上，所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 方法二(待定系数法)设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 将两点(2， 2)， 1， 14 2代入， 得 4A2B1， A14 4 B1， 解得 A1 8， B1 4， 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. (2
10、)因为所求椭圆与椭圆y 2 25 x2 9 1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它 的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点( 3， 5)在椭圆上，所以 5 2 a2 3 2 b2 1， 即 5 a2 3 b21. 由得 b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为 y2 20 x2 4 1. 三、椭圆的定义及其应用 例 2已知 P 为椭圆x 2 12 y2 3 1 上一点， F1， F2是椭圆的左、 右焦点， F1PF260， 求F1PF2 的面积 解由已知得 a2 3，b 3， 所以 c a2b2
11、1233， 从而|F1F2|2c6， 在F1PF2中， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即 36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. 由椭圆的定义得|PF1|PF2|4 3， 即 48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|. 由得|PF1|PF2|4. 所以 12 F PF S1 2|PF 1|PF2|sin 60 3. 延伸探究若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2的面积 解由已知得 a2 3，b 3， 所以 c a2b2 1233. 从而|F1F2|2c6. 在F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2|PF
12、1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|236， 又由椭圆定义知|PF1|PF2|22 34 3， 所以|PF2|4 3|PF1|. 从而有(4 3|PF1|)2|PF1|236， 解得|PF1| 3 2 . 所以F1PF2的面积 S1 2|PF 1|F1F2|1 2 3 2 63 3 2 ， 即F1PF2的面积是3 3 2 . 反思感悟椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化 (2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的 定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解 跟踪训练 2设 P 为
13、椭圆 C： x2 49 y2 241 上一点， F 1， F2分别是椭圆 C 的左、 右焦点， 且PF1F2 的重心为点 G，若|PF1|PF2|34，那么GPF1的面积为() A24B12C8D6 答案C 解析P 为椭圆 C：x 2 49 y2 241 上一点，|PF 1|PF2|34，|PF1|PF2|2a14， |PF1|6，|PF2|8. 又|F1F2|2c2 492410， 易知PF1F2是直角三角形， 1 2 PF F S1 2|PF 1|PF2|24. PF1F2的重心为点 G， 1 21 3 PF FGPF SS， GPF1的面积为 8. 1知识清单： (1)椭圆的定义及其应用
14、 (2)椭圆的标准方程 2方法归纳：待定系数法 3常见误区： (1)忽视椭圆定义中 a，b，c 的关系 (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程 1设 F1，F2为定点，|F1F2|6，动点 M 满足|MF1|MF2|6，则动点 M 的轨迹是() A椭圆B直线C圆D线段 答案D 解析|MF1|MF2|6|F1F2|， 动点 M 的轨迹是线段 2已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为() A.x 2 4 y 2 3 1B.x 2 4 y21 C.y 2 4 x 2 3 1D.y 2 4 x21 答案A 解析c1，由点 P(2,0)在椭圆上，可得 a2，b
15、23， 椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. 3若方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是() A(0，)B(0,2) C(1，)D(0,1) 答案D 解析方程 x2ky22，即x 2 2 y 2 2 k 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 2 k2，故 0k1.故选 D. 4已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x 2 3 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是() A2 3B6 C4 3D12 答案C 解析设在 BC 边上的另一个焦点为 F， 利用椭圆的定义， |BA|BF|2 3， |CA|CF|2
16、 3， 便可求得ABC 的周长为 4 3. 课时课时对点对点练练 1 (多选)已知在平面直角坐标系中， 点A(3,0)， B(3,0)， 点P为一动点， 且|PA|PB|2a(a0)， 下列说法中正确的是() A当 a2 时，点 P 的轨迹不存在 B当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 3 C当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 6 D当 a3 时，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆 答案AC 解析当 a2 时，2a4|AB|，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，B 错误，C 正确； 当 a3 时，2a6|AB|，故点 P 的轨迹为线段 AB，D 错误 2已知椭圆过点
17、 P 3 5，4和点 Q 4 5，3，则此椭圆的标准方程是() A.y 2 25x 21 B.x 2 25y 21 或 x2y2 251 C.x 2 25y 21 D以上都不对 答案A 解析设椭圆方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)， 由题意得 9 25A16B1， 16 25A9B1， 解得 A1， B 1 25. 所以此椭圆的标准方程为y 2 25x 21. 3已知 F1，F2是椭圆x 2 16 y2 9 1 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A，B 两点，若|AB|5， 则|AF1|BF1|等于() A9B10C11D12 答案C 解析根据椭圆定义，|AF1|AF2|2a8，|B
18、F1|BF2|2a8， 所以AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|16， 所以|AF1|BF1|16|AB|11. 4“2m0， 6m0， m26m， 解得 2m6 且 m4， 所以“2mb0)， 则 a2b24， 1 a2 4 5b21， 化简并整理得 5b411b2160， 故 b21 或 b216 5 (舍去)，a25， 故椭圆 M 的标准方程为x 2 5 y21. (2)由(1)知 F1(2,0)，F2(2,0)， 设 P(x0，y0)，则PF1F2的面积为1 24|y 0|1， 解得 y01 2. 又x 2 0 5 y201， 所以 x2015 4 ，x0 15 2 ， 所以点
19、P 有 4 个，它们的坐标分别为 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 ， 15 2 ，1 2 . 11椭圆x 2 12 y2 3 1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那 么点 M 的纵坐标为() A3 4 B 2 2 C 3 2 D 3 4 答案D 解析线段 PF1的中点 M 在 y 轴上且 O 是线段 F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， PF2x 轴，点 P 的横坐标是3， 点 P 在椭圆上，3 2 12 y2 3 1，即 y23 4，y 3 2 . 点 M 的纵坐标为 3 4 . 12设 P 是椭圆 x
20、2 25 y2 9 1 上一点，M，N 分别是圆 A：(x4)2y21 和圆 B：(x4)2y2 1 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为() A9,12B8,11 C8,12D10,12 答案C 解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA| |PB|2a10，连接 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最小， 最小值为|PA|PB|2r8.延长 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N两点，此时|PM| |PN|最大，最大值为|PA|PB|2r12，即最小值和最大值分别为 8,12. 13若椭圆 3x2ty26
21、的一个焦点为 F(0,2)，则实数 t_. 答案1 解析椭圆 3x2ty26 的标准方程为x 2 2 y2 6 t 1， 因为其一个焦点为 F(0,2)， 所以 a26 t，b 22， 所以6 t 24，解得 t1. 14 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)， 顶点 B 在椭圆x 2 25 y2 16 1 上，则sin Asin C 2sin B _. 答案 5 6 解析由椭圆的方程得 a5，b4，c3. ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆x 2 25 y2 161 上， |BC|AB|2a10， 由正弦定理可知sin
22、Asin C 2sin B |BC|BA| 2|AC| 2a 4c 5 6. 15 已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)， 过 F2的直线与 C 交于 A， B 两点 若|AF2|3 2|BF 2|， |BF1|2|BF2|，则椭圆 C 的方程为_ 答案 x2 5 y 2 4 1 解析设|BF2|2m，则|AF2|3m，|BF1|4m， 由椭圆定义知|BF1|BF2|AF1|AF2|6m， 所以|AF1|6m3m3m， 所以|AF1|AF2|， 故点 A 为椭圆的上(下)顶点，设 A(0，b)， 由AF2 3 2F 2B ，得 B 5 3， 2 3b，又点 B 在椭圆上，
23、故 25 9 a2 4 9b 2 b2 1， 解得 a25，又由 c1，可得 b2， 故椭圆的方程为x 2 5 y 2 4 1. 16某海域有 A，B 两个岛屿，B 岛在 A 岛正东 4 海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群 洄游的路线是曲线 C，曾有渔船在距 A 岛、B 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群，以 A，B 所 在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 (1)求曲线 C 的标准方程； (2)某日，研究人员在 A，B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)， A， B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 53， 你能否确定 P 处的位置(即点 P 的坐标)? 解(1)由题意知曲线 C 是以 A，B 为焦点且 2a 为 8 的椭圆，又 2c4，则 c2，a4，故 b 2 3， 曲线 C 的方程x 2 16 y2 121. (2)由于 A，B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为 53，因此设鱼群此时距 A，B 两岛的距离 比为 53，即鱼群分别距 A，B 两岛的距离为 5 海里和 3 海里，设 P(x，y)，B(2，0)，由|PB| 3，得 x22y23， x22y29， x2 16 y2 121， 4x4， 解得 x2， y3 或 x2， y3. 点 P 的坐标为(2,3)或(2，3)
