1、2.4.2圆的一般方程圆的一般方程 学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练 地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，现将其展开可得 x2y22ax2by a2b2r20.可见， 任何一个圆的方程都可以变形为 x2y2DxEyF0 的形式 请大 家思考一下， 形如 x2y2DxEyF0 的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一 方面的问题 一、圆的一般方程的辨析 问题 1如果方程 x2y2DxEyF0 能表示圆的方程，有什么条件？ 提示将方程
2、x2y2DxEyF0，配方可得 xD 2 2 yE 2 2D 2E24F 4 ，当 D2E2 4F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示圆 问题 2当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示什么图形？ 提示当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0，表示一个点 D 2 ，E 2 . 知识梳理 1圆的一般方程：当 D2E24F0 时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一 般方程 2方程 x2y2DxEyF0 表示的图形 条件图形 D2E24F0 表示以 D 2， E 2 为圆心，以 D2E24F 2 为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需 x2和
3、 y2的系数相同且不为 0，没有 xy 这样的二次项 (2)二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是 D2E24F0. 例 1若方程 x2y22mx2ym25m0 表示圆 (1)求实数 m 的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径 解(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2(2)24(m25m)0， 解得 m0 成立，则表示圆，否则不表示圆 (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 跟踪训练 1(1)若方程 2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为 _ 答案 a 2， a 2 ， 2|a| 2 解析方程 2x22y22ax2ay0(a0)， 可化为 x
4、a 2 2 ya 2 2a2 2 ， 故圆心坐标为 a 2， a 2 ，半径为 2|a| 2 . (2)点 M，N 在圆 x2y2kx2y40 上，且点 M，N 关于直线 xy10 对称，则该圆的 面积为_ 答案9 解析圆 x2y2kx2y40 的圆心坐标是 k 2，1， 由圆的性质，知直线 xy10 经过圆心， k 2110，得 k4， 圆 x2y24x2y40 的半径为1 2 4222163， 该圆的面积为 9. 二、求圆的一般方程 例 2已知 A(2,2)，B(5,3)，C(3，1) (1)求ABC 的外接圆的一般方程； (2)若点 M(a,2)在ABC 的外接圆上，求 a 的值 解(1
5、)设ABC 外接圆的一般方程为 x2y2DxEyF0， 由题意，得 22222D2EF0， 52325D3EF0， 32123DEF0， 解得 D8， E2， F12. 即ABC 的外接圆的方程为 x2y28x2y120. (2)由(1)知，ABC 的外接圆的方程为 x2y28x2y120， 点 M(a,2)在ABC 的外接圆上， a2228a22120， 即 a28a120，解得 a2 或 6. 反思感悟求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程 组
6、解出系数得到方程 跟踪训练 2已知圆 C：x2y2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在第二 象限，半径长为 2，求圆的一般方程 解圆心 C D 2， E 2 ， 圆心在直线 xy10 上， D 2 E 210， 即 DE2. 又半径长 r D2E212 2 2， D2E220. 由可得 D2， E4， 或 D4， E2. 又圆心在第二象限， D 20.则 D2， E4. 故圆的一般方程为 x2y22x4y30. 三、圆的轨迹问题 问题 3轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等轨迹方程是点的坐标满足的 关系式 例 3点 A(2,0)是圆 x2
7、y24 上的定点，点 B(1,1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程 解(1)设线段 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点公式，得点 P 的坐标为(2x2,2y) 点 P 在圆 x2y24 上， (2x2)2(2y)24， 故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设线段 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONPQ， |OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， x2y2(x1)2(
8、y1)24， 故线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x2y2xy10. 延伸探究 1.在本例条件不变的情况下，求过点 B 的弦的中点 T 的轨迹方程 解设 T(x，y) 因为点 T 是弦的中点，所以 OTBT. 当斜率存在时，有 kOTkBT1. 即y x y1 x11， 整理得 x2y2xy0. 当 x0 或 1 时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上 故所求轨迹方程为 x2y2xy0. 2本例条件不变，求 BP 的中点 E 的轨迹方程 解设点 E(x，y)，P(x0，y0) B(1,1)， xx01 2 ， yy01 2 . 整理得 x02x1，y02y1， 点
9、P 在圆 x2y24 上， (2x1)2(2y1)24， 整理得点 E 的轨迹方程为 x2y2xy1 20. 反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程 (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 跟踪训练 3已知ABC 的边 AB 长为 4， 若 BC 边上的中线为定长 3， 求顶点 C 的轨迹方程 解以直线 AB 为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图)， 则 A(2,0)，B(2,0)，设 C(x，y)，BC 的中点 D(x0，y0) 2x 2 x0， 0y 2 y0
10、. |AD|3，(x02)2y209. 将代入，整理得(x6)2y236. 点 C 不能在 x 轴上，y0. 综上，点 C 的轨迹是以(6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点 轨迹方程为(x6)2y236(y0) 1知识清单： (1)圆的一般方程 (2)求动点的轨迹方程 2方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法 3常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件 1若 x2y2xy2m0 是一个圆的方程，则实数 m 的取值范围是() A. ，1 4B. 1 4， C. 1 4，D. ，1 4 答案C 解析根据题意，得(1)2124(2m)0， 所以 m1 4. 2已知圆
11、x2y2DxEyF0 的圆心坐标为(2,3)，D，E 分别为() A4，6B4，6 C4,6D4,6 答案A 解析圆 x2y2DxEyF0 的圆心坐标为 D 2， E 2 ， 又已知该圆的圆心坐标为(2,3)， D 22， E 23， D4，E6. 3(多选)圆 x2y24x10() A关于点(2,0)对称 B关于直线 y0 对称 C关于直线 x3y20 对称 D关于直线 xy20 对称 答案ABC 解析x2y24x10(x2)2y25， 即圆心的坐标为(2,0) A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确； B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 y0
12、过圆心，故正确； C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 x3y20 过圆心，故正确； D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 xy20 不过圆心，故不正确 4已知ABC 的顶点 A(0,0)，B(4,0)，且 AC 边上的中线 BD 的长为 3，则顶点 C 的轨迹方程 是_ 答案(x8)2y236(y0) 解析设 C(x，y)(y0)， 则 D x 2， y 2 . B(4,0)，且 AC 边上的中线 BD 长为 3， x 24 2 y 2 29， 即(x8)2y236(y0) 课时课时对点对点练练 1(多选)若 a 2，0，1，2 3 ，方程 x2y22ax2ay2
13、a2a10 表示圆，则 a 的值可 以为() A2B0C1D.2 3 答案ABD 解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2(2a)24(2a2a1)0，解得 a0 答案ABD 解析AB 显然正确；C 中方程可化为(x1)2(y2)20，所以表示点(1，2)；D 正确 4已知圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)，则圆 C 的圆心的轨迹是() A点B直线 C线段D圆 答案D 解析圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)， (1a)2(0b)21， (a1)2b21， 圆 C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆 5圆 C：x2y24x2y0 关于直线 yx1
14、对称的圆的方程是() A(x1)2(y2)25B(x4)2(y1)25 C(x2)2(y3)25D(x2)2(y3)25 答案C 解析把圆 C 的方程化为标准方程为(x2)2(y1)25， 圆心 C(2，1) 设圆心 C 关于直线 yx1 的对称点为 C(x0，y0)， 则 y01 x02 1， y01 2 x02 2 1， 解得 x02， y03， 故 C(2,3)， 圆 C 关于直线 yx1 对称的圆的方程为(x2)2(y3)25. 6若当方程 x2y2kx2yk20 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y(k1)x2 的倾 斜角等于() A. 2 B. 4 C.3 4 D. 5 答案C 解
15、析x2y2kx2yk20 化为标准式为 xk 2 2(y1)213 4k 2， 所以当 k0 时圆的半 径最大，面积也最大，此时直线的斜率为1，故倾斜角为3 4 . 7过三点 O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为_ 答案x2y28x6y0 解析设过三点 O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则 F0， 11DEF0， 1644D2EF0， 解得 D8， E6， F0， 故所求圆的方程为 x2y28x6y0. 8已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的 距离为4 5 5 ，则圆 C
16、的一般方程为_ 答案x2y24x50 解析设圆 C 的圆心坐标为(a,0)(a0)， 由题意可得|2a| 5 4 5 5 ， 解得 a2(a2 舍去)， 所以圆 C 的半径为 22 523， 所以圆 C 的方程为 x2y24x50. 9已知方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490 表示一个圆 (1)求 t 的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程 解(1)圆的方程化为x(t3)2y(14t2)216t7t2. 由 7t26t10，得1 7t1. 故 t 的取值范围是 1 7，1. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t3,4t
17、21)，半径为 16t7t2. (3)r 7t26t1 7 t3 7 216 7 4 7 7 . 所以 r 的最大值为4 7 7 ，此时 t3 7， 故圆的标准方程为 x24 7 2 y13 49 216 7 . 10.如图，已知线段 AB 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x1)2y24 上运动，求线段 AB 的端点 B 的轨迹方程 解设 B 点坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)，由于点 C 的坐标是(4,3)且点 C 是线段 AB 的中点，所以 4x0 x 2 ，3y0y 2 ， 于是有 x08x ，y06y. 因为点 A 在圆(x1)2y24 上运动， 所以点
18、 A 的坐标满足方程(x1)2y24， 即(x01)2y204， 把代入，得(8x1)2(6y)24， 整理，得(x9)2(y6)24. 所以点 B 的轨迹方程为(x9)2(y6)24. 11圆 x2y2ax2y10 关于直线 xy10 对称的圆的方程是 x2y24x30，则 a 的值为() A0B1 C2D3 答案C 解析由于圆x2y2ax2y10的圆心为M a 2，1， 圆x2y24x30的圆心为N(2,0)， 又两圆关于直线 xy10 对称，故有 10 a 22 11，解得 a2. 12圆 x2y22x6y80 的面积为() A8B4 C2D 答案C 解析原方程可化为(x1)2(y3)2
19、2， 半径 r 2，圆的面积为 Sr22. 13已知圆 C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆 C 与两坐标轴的四个截距之和为_ 答案2 解析设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得 1644D2EF0， 19D3EF0， 2515DEF0， 解得 D2， E4， F20， 所以圆的方程为 x2y22x4y200. 令 x0，则 y24y200， 由根与系数的关系得 y1y24； 令 y0，则 x22x200， 由根与系数的关系得 x1x22， 故圆 C 与两坐标轴的四个截距之和为 y1y2x1x2422. 14设直线 2x3y10
20、 和圆 x2y22x30 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线的 方程是_ 答案3x2y30 解析圆的方程 x2y22x30，化为标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1,0)，由 kAB 2 3，得 AB 的垂直平分线的斜率为 3 2，且过圆心，从而所求直线方程为 y0 3 2(x1)，即 3x2y30. 15已知点 P(7,3)，圆 M：x2y22x10y250，点 Q 为圆 M 上一点，点 S 在 x 轴上， 则|SP|SQ|的最小值为() A7B8C9D10 答案C 解析由题意知圆 M 的方程可化为(x1)2(y5)21，所以圆心为 M(1,5)，半径为 1.如图 所示，作点
21、P(7,3)关于 x 轴的对称点 P(7，3)， 连接 MP，交圆 M 于点 Q，交 x 轴于点 S，此时|SP|SQ|的值最小，否则，在 x 轴上另取 一点 S，连接 SP，SP，SQ，由于 P 与 P关于 x 轴对称，所以|SP|SP|，|SP| |SP|，所以|SP|SQ|SP|SQ|PQ|SP|SQ|SP|SQ|. 故(|SP|SQ|)min|PM|1 17253219. 16在平面直角坐标系 xOy 中，长度为 2 的线段 EF 的两端点 E，F 分别在两坐标轴上运动 (1)求线段 EF 的中点 G 的轨迹 C 的方程； (2)设轨迹 C 与 x 轴交于 A1，A2两点，P 是轨迹
22、C 上异于 A1，A2的任意一点，直线 PA1交直 线 l：x3 于 M 点，直线 PA2交直线 l 于 N 点，求证：以 MN 为直径的圆 C 总过定点，并求 出定点坐标 解(1)设 G(x，y)，由中点坐标公式得 E(2x,0)，F(0,2y)， |EF| 2x22y22， 整理得 x2y21， 线段 EF 的中点 G 的轨迹 C 的方程为 x2y21. (2)由已知设 A1(1,0)，A2(1,0)， 设 P(x0，y0)，x01，x20y201， 直线 PA1的方程为 y y0 x01(x1)， 令 x3，得 y 4y0 x01， 则 M 3， 4y0 x01 ， 同理，可求 N 3， 2y0 x01 ，MN 的中点坐标为 3，13x0 y0，|MN| 4y0 x01 2y0 x01|2| 3x0 y0 |， 以 MN 为直径的圆 C 的方程为 (x3)2 y13x0 y0 23x0 2 y20 . 令 y0，得(x3)2 13x0 y0 23x0 2 y20 88x 2 0 y20 8. x32 2，圆 C 总过定点，定点坐标为(32 2，0)或(32 2，0)
