1、第1课时双曲线及其标准方程 第三章 3.2.1双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 学 习 目 标 我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆.那么，与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹 是什么呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、双曲线的定义 二、双曲线的标准方程及其推导过程 三、双曲线定义的简单应用 内容索引 一、双曲线的定义 问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P 是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2， 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为 圆
2、心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在 线段AB上运动时，如果|F1F2|AB|，那么两圆 相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2| |AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹. 如图，在|F1F2|AB|的条件下，让P点在线段 AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数. 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两 焦点间的距离叫做双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 知识梳理 焦点 焦距 注意点：注意点： (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝
3、对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线 (包括端点). (4)当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 例1已知A(0，5)，B(0,5)，|PA|PB|2a，当a3或5时，P点的轨 迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 解析 当a3时，2a6，此时|AB|10， 点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a5时，2a10，此时|AB|10， 点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 反思感悟判断点
4、的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立 的充要条件. 跟踪训练1已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析F1，F2是定点， 且|F1F2|10， 所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线. 二、双曲线的标准方程及其推导过程 问题2类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲 线的标准方程？ 提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是 它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系
5、Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(c，0)，F2 (c，0)， 焦距为2c，c0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 |PF1|PF2|2a(a为大于0的常数)， 由双曲线的定义知，2c2a，即ca， 所以c2a20，类比椭圆标准方程的建立过程， 令b2c2a2，其中b0，代入上式， 类比椭圆标准方程的化简过程，化简， 问题3设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且 双曲线上的动点P满足|PF1|PF2|2a，其中ca0 ， 以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线 的标准方程是什么？ 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上
6、图形 双曲线的标准方程 知识梳理 标准方程 _ 焦点_ a，b，c的关系b2_ F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c) c2a2 注意点：注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y 轴上. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2a2b2. 解得a23，b25. 解设双曲线的方程为Ax2By21，AB0. 因为点P，Q在双曲线上， 反思感悟双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦 点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. 解得a28，b24， 三、双曲线定义的简单应用 A.11
7、 B.9 C.5 D.3 解析由题意得|PF1|PF2|6， |PF2|PF1|6，|PF2|9或3(舍去)，故选B. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64， 12 F PF S 反思感悟双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而 根据定义求该点到另一焦点的距离. (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾 股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体
8、思想 和一些变形技巧的灵活运用. 在PF1F2中，|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10， PF1F2为直角三角形， 1 2 PF F S 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程及其推导过程. (3)双曲线定义的简单应用. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 课堂小结 随堂演练 解析 设A(1,0)，B(1,0)， 所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 1234 A.2m2 B.m0 C.m0 D.|m|2 1234 解析已知方程表示双曲
9、线， (2m)(2m)0. 2m2. 1234 4.已知双曲线的焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且 |PF1|PF2|4，则双曲线的标准方程为 1234 解析由双曲线的定义可得c3,2a4， 即a2，b2c2a2945，且焦点在y轴上， 课时对点练 1.双曲线C的两焦点分别为(6,0)，(6,0)，且经过点(5，2)，则双曲线 的标准方程为 又c6，所以b2c2a2362016. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.(1，) B.(2，) C.(，1)(2，) D.(1,2) 12345678910 11 12 13 14 15
10、16 (m2)(m1)0， 解得1m0，b0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的 直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|m，则ABF2的周长为 A.4a B.4am C.4a2m D.4a2m 解析不妨设|AF2|AF1|， 由双曲线的定义，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a， 所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a， 于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知双曲线 上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到 坐标原点O的距离为 A.3或7 B.6或14 C.
11、3 D.7 解析设F2是双曲线的右焦点， 连接ON(图略)，ON是PF1F2的中位线， 12345678910 11 12 13 14 15 16 |PF1|PF2|4，|PF1|10， |PF2|14或6， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设焦点为F1(c，0)，F2(c，0)(c0)， 则由QF1QF2，得1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又c2a2b225，a216，b29. 12 QFQF kk 解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为 12345678910 11 12 13 14 15 16 设点P(x，y)， x2y
12、2100，即x2y210. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以设|PN|3k，|PM|4k，则|MN|5k. 由3k4k5k48，得k4. 所以|PN|12，|PM|16，|MN|20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由|PM|PN|4，得2a4，a2，a24. 由|MN|20，得2c20，c10，c2100， 所以b2c2a2100496， (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于 16，求点M到另一个焦点的距离； 12345678910 11 12 13 1
13、4 15 16 则a3，b4，c5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知|m16|2a6， 解得m10或m22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. 解P是双曲线左支上的点，|PF2|PF1|2a6， 则|PF2|22|PF1|PF2|PF1|236， 代入|PF1|PF2|32， 可得|PF1|2|PF2|236232100， 即|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100， 所以F1PF2为直角三角形， 12 F PF S (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2| 32，试求F1PF2的面积. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1234
14、5678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析设|PF1|d1，|PF2|d2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 22，得2d1d26. 而c2， 解析在双曲线x2y21中，ab1，c 设P在右支上，则|PF1|PF2|2a2， F1PF260， 在PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|PF1|PF2|， 即4c24a2|PF1|PF2|， 即|PF1|PF24c24a24b24. 12.双曲线x2y21的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上
15、的点P满足 F1PF260，则|PF1|PF2|等于 A.1 B.4 C.7 D.9 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.动圆与圆x2y21和x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2y21与x2y28x120的 圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|r1，|MO2|r2. |MO2|MO1|1， 又|O1O2|4， 动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 123456789
16、10 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2 PF F S 所以PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以选项D错误. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 12 8 PMFPMF SS 解析设PF1F2的内切圆的半径为R， 由双曲线的标准方程可知a4，b3，c5. 因为 ， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12 8 PMFPMF SS 所以R2， 1 2 MF F S 12345678910 11 12 13 14 15 16 12 F PF S 12 F PF S 解由题意得|PF1|PF2|2a， 在F1PF2中，由余弦定理得 12345678910 11 12 13 14 15 16 |PF1|PF2|4(c2a2)4b2. 由c2a，c2a2b2，得a24. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
